2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 про матрицу Якоби один вопрос
Сообщение25.08.2013, 17:29 


11/04/08
632
Марс
Чисто по терминологии вопрос. У меня возникла некоторая путаница.
Вот скажем есть связь полярных и декартовых координат:
$ x^1 = r \cos \phi, ~ x^2 = r \sin \phi $
и соответственно матрица Якоби
$$ \begin{pmatrix}
\cos \phi  & -r \sin \phi \\
\sin \phi & r \cos \phi  
\end{pmatrix}$$
почему она называется матрицей перехода от декартовых к полярным координатам, а не матрицей перехода от полярных к декартовым координатам? Или это без разницы куда переходить?

 Профиль  
                  
 
 Re: про матрицу Якоби один вопрос
Сообщение25.08.2013, 19:43 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Когда наука дерзко принялась за изучение этой темы, было обнаружено следующее.
В каждой точке можно ввести две взаимно обратных матрицы, назовём их $A$ (именно её Вы выписали) и $B$.

Компоненты матрицы $A$ — это:
компоненты полярных базисных векторов $\mathbf e_{\rho}, \mathbf e_{\varphi}$ в декартовом базисе $\mathbf e_{x}, \mathbf e_{y}$, то есть
коэффициенты в выражении полярных базисных векторов через декартовы;
производные декартовых координат по полярным, то есть
коэффициенты в выражении декартовых компонент векторов через полярные.

Компоненты матрицы $B$ — это:
компоненты декартовых базисных векторов $\mathbf e_{x}, \mathbf e_{y}$ в полярном базисе $\mathbf e_{\rho}, \mathbf e_{\varphi}$, то есть
коэффициенты в выражении декартовых базисных векторов через полярные;
производные полярных координат по декартовым, то есть
коэффициенты в выражении полярных компонент векторов через декартовы.

Решили матрицу $A$ назвать матрицей перехода от декартовых координат к полярным, а матрицу $B$ — матрицей перехода от полярных координат к декартовым. Т.е. во главу угла ставится преобразование базисных векторов, остальное вторично.

 Профиль  
                  
 
 Re: про матрицу Якоби один вопрос
Сообщение27.08.2013, 23:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Ну, потому что, если вы перейдете от одних координат (скажем, синих) к другим (скажем, красным), то в результате в формулах у вас останутся красные координаты. Ну вот, а в ваших формулах присутствуют полярные координаты, видимо, к ним и переходили. Соответственно, и в формуле замены переменных в двойном интеграле определитель этой матрицы используется именно при переходе к полярным координатам.

 Профиль  
                  
 
 Re: про матрицу Якоби один вопрос
Сообщение28.08.2013, 13:10 


25/08/11

1074
А я привык наоборот называть, мне кажется это действительно логичней.
Даны полярные координаты. Переходим по этим формулам к прямоугольным. От первых к вторым. Хотя это просто слова, конечно.

 Профиль  
                  
 
 Re: про матрицу Якоби один вопрос
Сообщение28.08.2013, 14:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
sergei1961 в сообщении #758381 писал(а):
А я привык наоборот называть, мне кажется это действительно логичней.
Даны полярные координаты. Переходим по этим формулам к прямоугольным. От первых к вторым. Хотя это просто слова, конечно.

Да, на любителя. Но все же "перейти к новым координатам" означает скорее "выразить все через них", а не "вычислить через них через старые". По-моему, это естественней.

Ну, например, дано уравнение $x^3+y^3=3xy$ и предложено в нем перейти к полярным координатам. Как будете делать? :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: про матрицу Якоби один вопрос
Сообщение28.08.2013, 15:08 


25/08/11

1074
Сами формулы перехода -это одно. А задача о переходе к другой системе координат-это другое. Хотя я начал сомневаться, так что спасибо. за тему.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group