2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 принцип наименьшего действия
Сообщение19.08.2013, 14:16 


10/02/11
6786
Речь пойдет об одном простом факте, который называется теоремой Серре, формулируют ее в книжках крайне редко, а доказательства я и вовсе никогда не видел. Математический фольклор одним словом. Теорема Серре мотивирует до некоторой степени название "принцип наименьшего действия".

Рассмотрим натуральную систему с лагранжианом
$$L=\frac{1}{2}g_{ij}(x)\dot x^i\dot x^j-V(x),\qquad x=(x^1,\ldots,x^m)\in M\subset\mathbb{R}^m,$$
все функции в лагранжане являются гладкими в некоторой области $M$ и ,конечно, $g_{ij}=g_{ji}$.

Под натуральностью будем понимать следующее: $$g_{ij}(x)\xi^i\xi^j\ge c|\xi|^2,\quad |\xi|^2=\sum_i(\xi^i)^2\qquad (*)$$. Через $c$ будем обозначать несущественные положительные константы.
Пусть $\tilde x(t)\in C^2[0,T]$ -- решение уравнений Лагранжа. Выберем на этом решении две точки $x_0,x_1$ так, что $\tilde x(0)=x_0,\quad \tilde x(T)=x_1$, где $T>0$ -- некоторое число.
Введем метрическое пространство $W_T=\{x(t)\in H^1[0,T]\mid x(0)=x_0,\quad x(T)=x_1\}$ с метрикой $\rho(f,g)=\|f-g\|_{H^1[0,T]}$.

Теорема. (Серре) Предположим, что число $T$ достаточно мало. Тогда функция $\tilde x$ является локальным минимумом функционала
$$F(x(\cdot))=\int_0^TL(x,\dot x)\,dt$$ на множестве $W_T$.



Доказательство.

Мы проверим, что вторая вариация
$$G(h)=\frac{d^2}{d\epsilon^2}\Big|_{\epsilon=0}F(\tilde x(\cdot)+\epsilon h(\cdot))$$ сильно положительна на пространстве функций $H_0^1[0,T]=\{h\in H^1[0,T]\mid h(0)=h(T)=0\} .$ Т.е. $G(h)\ge c\|h\|^2_{H^1[0,T]}.$

Проверка основана на двух наблюдениях.

1) Пусть $w_{ij}(t)\in C^1[0,T]$ -- симметричный по нижним индексам набор функций: $w_{ij}=w_{ji}$. Тогда с помощью интегрирования по частям находим:
$$\int_0^Tw_{ij}\dot h^ih^jdt=-\frac{1}{2}\int_0^T\dot w_{ij}h^ih^jdt\qquad (h^i\in H^1_0[0,T]).$$
В силу этого наблюдения вторая вариация имеет вид
$$G(h)=\int_0^T\Big(g_{ij}(\tilde x(t))\dot h^i(t)\dot h^j(t)+f_{ij}(t)h^i(t)h^j(t)\Big)dt.$$

2) Для любой скалярной функции $u(t)\in H^1[0,T],\quad u(0)=0$ справедливо неравенство
$$\int_0^Tu^2(t)dt\le \frac{T^2}{2}\int_0^T\dot u^2(t)dt.\qquad (**)$$
Вместе в формулой (*) это наблюдение и завершает доказательство теоремы.
Для гладких функций формула (**) вытекает из неравенства Йенсена:
$$\int_0^Tu^2(t)dt=\int_0^T\Big(\int_0^t\dot u(s)ds\Big)^2dt\le\int_0^Tt\int_0^t\dot u^2(s)dsdt.$$

 Профиль  
                  
 
 Re: принцип наименьшего действия
Сообщение19.08.2013, 18:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Может быть, вы этого и не видели, а в физических книжках (хоть и не в строгом виде, и без упоминания фамилии Серре (Serret)) это доказательство фигурирует довольно часто.

 Профиль  
                  
 
 Re: принцип наименьшего действия
Сообщение19.08.2013, 18:38 


10/02/11
6786
А в каких именно книжках?

 Профиль  
                  
 
 Re: принцип наименьшего действия
Сообщение19.08.2013, 19:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Не уверен насчёт Ландау-Лифшица "Механика", но в "Фейнмановских лекциях по физике" точно было. Ещё смутно помнится Савельев "Теорфизика". Разумеется, уровень строгости вас нисколько не удовлетворит, но сам факт "на пальцах" для физиков не нов.

Более того, принято уже давно обсуждать случаи, когда $T$ не мало, так что действие остаётся экстремальным, но перестаёт быть минимальным.

 Профиль  
                  
 
 Re: принцип наименьшего действия
Сообщение19.08.2013, 20:13 


10/02/11
6786
в ЛЛ-1 есть в сноске -- только что такое "достаточно малый участок траектории" вот это надо правильно понимать

 Профиль  
                  
 
 Re: принцип наименьшего действия
Сообщение19.08.2013, 22:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
И только в этом трудность? Вроде, в пределах эпсилон-дельта-определений это каждый первокурсник понимает.

 Профиль  
                  
 
 Re: принцип наименьшего действия
Сообщение20.08.2013, 08:36 


10/02/11
6786
что-то я с пунктом 1) перемудрил.

Выражение для $G(h)$ выглядит так
$$G(h)=\int_0^T\Big(g_{ij}(\tilde x(t))\dot h^i(t)\dot h^j(t)+f_{ij}(t)h^i(t)h^j(t)+w_{ij}(t)h^i\dot h^j\Big)dt$$

Член вида $\int_0^Tw_{ij}(t)h^i\dot h^jdt$, где $w_{ij}$ набор гладких функций не обязательно симметричный по индексам. Это выражение оценивается следующим образмом:
$$\Big|\int_0^Tw_{ij}(t)h^i\dot h^jdt\Big|\le c\|h\|_{L^2[0,T]}\|\dot h\|_{L^2[0,T]}\le c T\|\dot h\|_{L^2[0,T]}^2$$
Последнее неравенство следует из формулы (**)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group