2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3
 
 Re: Не могу понять формулировку задачи
Сообщение12.08.2013, 00:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/12/11
640
Україна
Someone, спасибо за экскурс, я помню, как определяется степень с произвольным показателем. Только для этих целей можно обойтись вообще без понятия корня, а сказать, что $x^{\frac m n}$ - это такое число $y$, что $y^n=x^m$. И дальше выводить все свойства из этого определения. А ещё проще (в университетском, а не школьном курсе, естественно) определить вначале $\ln x$ как интеграл от $\frac 1 x$, потом $e^x$ как функцию, обратную $\ln x$, а потом $x^y$ как $e^{y \ln x}$.
Только я хотел сказать, что раз уж в комплексном анализе (а именно о нём идёт речь в данной теме) введено понятие корня из $-1$, абсурдное с точки зрения действительного анализа, то почему бы не расширить понятие корня на произвольный показатель степени как понятие функции, обратной возведению в степень?

 Профиль  
                  
 
 Re: Не могу понять формулировку задачи
Сообщение12.08.2013, 01:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва

(Dave)

Да ради бога, пользуйтесь каким хотите определением. Только, поскольку ваше определение корня очень сильно не общепринятое, Вам придётся предупреждать об этом каждый раз, когда Вы им пользуетесь.
А общепринятое определение (арифметического) корня $n$-ой степени сложилось исторически.

Dave в сообщении #754018 писал(а):
в комплексном анализе (а именно о нём идёт речь в данной теме) введено понятие корня из $-1$, абсурдное с точки зрения действительного анализа
А почему, собственно говоря? Это другая область, и в ней мы можем определять понятия без оглядки на старую область. Кроме того, эти определения не противоречат друг другу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Не могу понять формулировку задачи
Сообщение12.08.2013, 01:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/12/11
640
Україна
Так и моё (с namhel) определение не противоречит Вашему, а расширяет его. И, с точки зрения топологии, а не алгебры, логичнее было бы, чтобы корни из единицы представляли собой замкнутое множество, т.е. всю окружность.

 Профиль  
                  
 
 Re: Не могу понять формулировку задачи
Сообщение12.08.2013, 01:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва

(Dave)

Dave в сообщении #754021 писал(а):
Так и моё (с namhel) определение не противоречит Вашему
Это не моё определение, а исторически сложившееся. Но я его придерживаюсь, поскольку оно общепринятое.

И не забывайте, что понятие корня $n$-ой степени является чисто алгебраическим (и по существу одинаково в действительном и комплексном случае — это в обоих случаях решение уравнения $y^n=x$, с той разницей, что в действительном случае мы для неотрицательного $x$ можем выделить единственное значение, наложив условие неотрицательности $y$, и получить однозначную функцию, а в комплексном случае это невозможно), в то время как степень с действительным показателем — это порождение математического анализа.

 Профиль  
                  
 
 Re: Не могу понять формулировку задачи
Сообщение14.08.2013, 16:33 


11/08/13
20
Dave в сообщении #754018 писал(а):
А ещё проще (в университетском, а не школьном курсе, естественно) определить вначале $\ln x$ как интеграл от $\frac 1 x$, потом $e^x$ как функцию, обратную $\ln x$.

Кстати, мне кажется, что определять экспоненту через ряд Тейлора много проще. Ваше определение не очень удобно для введения комплексной экспоненты.

 Профиль  
                  
 
 Re: Не могу понять формулировку задачи
Сообщение15.08.2013, 17:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/12/11
640
Україна
А о таком понятии, как аналитическое продолжение, слышали?

 Профиль  
                  
 
 Re: Не могу понять формулировку задачи
Сообщение15.08.2013, 20:26 


11/08/13
20
Dave в сообщении #754964 писал(а):
А о таком понятии, как аналитическое продолжение, слышали?

Как Вы его строить будете без ряда Тейлора и без формулы Эйлера?

 Профиль  
                  
 
 Re: Не могу понять формулировку задачи
Сообщение15.08.2013, 20:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/12/11
640
Україна
А кто сказал, что без? Формулу Эйлера можно взять как аксиому. А ряд Тейлора, если он понадобится, для действительного переменного можно вывести как следствие из того, что $f'=f$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Не могу понять формулировку задачи
Сообщение16.08.2013, 12:43 


11/08/13
20
Dave в сообщении #755024 писал(а):
А кто сказал, что без? Формулу Эйлера можно взять как аксиому. А ряд Тейлора, если он понадобится, для действительного переменного можно вывести как следствие из того, что $f'=f$.

Если через формулу Эйлера, то это искусственный способ (формула Эйлера из рядов Телора легко следует, а с потолка ее взять не ясно как).

Ну а если Вы аналитическое продолжение с помощью ряда Тейлора строите, то, извините, вот Вам и определение через ряд Тейлора.

 Профиль  
                  
 
 Re: Не могу понять формулировку задачи
Сообщение16.08.2013, 17:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/12/11
640
Україна
Не забывайте про такую чудную вещь, как интеграл по контуру. Раз уж в действительном случае можно определить для всех $x>0$ $\ln x$ как $$\ln x=\int\limits_1^x \frac {dt} t,$$ то и в комплексном (многозначный) логарифм можно определить как $$\ln z=\int\limits_\gamma \frac {dt} t,$$ где $\gamma$ - любой контур, соединяющий точки $1$ и $z$ и не проходящий через $0$. Непосредственный подсчёт этого интеграла показывает, что $$\ln (e^r(\cos\varphi+i\sin \varphi))=r+(\varphi+2\pi k)i, \eqno(1)$$ где $r$ - любое действительное число, $e^r$ к этому моменту уже определено, $\varphi \in [0,2\pi)$, $k$ - любое целое число (зависит от того, как и сколько раз контур $\gamma$ обходит точку $0$). Обратная функция к таким образом определённой функции $\ln z$ уже будет однозначна и определена для любого $z \in \mathbb C$. Вот и назовём эту функцию $e^z$. Дальше можно вывести основные свойства: $e^{z_1+z_2}=e^{z_1}e^{z_2}$, $(e^z)'=e^z$, а потом уже ряд Тейлора и всё остальное. В частности, формула Эйлера получается из $(1)$ при $r=0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Не могу понять формулировку задачи
Сообщение16.08.2013, 22:50 


11/08/13
20
Dave в сообщении #755271 писал(а):
Не забывайте про такую чудную вещь, как интеграл по контуру.

Годное определение. В чем-то даже красивое. Однако, в качестве определения брать функцию, которая является обратной к функции, заданной на римановой поверхности -- не самый простой способ. Студентам, которые первый раз слушают ТФКП я бы не рискнул так определить. Хотя, тем, кто знаком с ТФКП может быть интересно.

ps: Кстати, спасибо. Возьму на заметку. =)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 41 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group