2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: Корни из единицы
Сообщение11.08.2013, 20:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5420
Нов-ск
namhel в сообщении #753958 писал(а):
TOTAL в сообщении #753955 писал(а):
Кто сказал, что нужно? Так как он будет выглядеть?

Ну если Вы настаиваете, то, например, так $z^n + z + 1$. Много членов? Значит многочлен.
А в общем виде?

 Профиль  
                  
 
 Re: Корни из единицы
Сообщение11.08.2013, 20:45 


11/08/13
20
TOTAL в сообщении #753960 писал(а):
А в общем виде?

А кому он нужен в общем виде и зачем? Да, кстати, это же Вы ввели термин многочлен для ненатурального $n$, вот Вам и карты в руки.

 Профиль  
                  
 
 Re: Корни из единицы
Сообщение11.08.2013, 20:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5420
Нов-ск
namhel в сообщении #753963 писал(а):
TOTAL в сообщении #753960 писал(а):
А в общем виде?

А кому он нужен в общем виде и зачем? Да, кстати, это же Вы ввели термин многочлен для ненатурального $n$, вот и вроде как Вам и карты в руки.
Оставьте карты себе, ведь это Вы посчитали, что в сформулированной задаче могут быть такие "корни".

 Профиль  
                  
 
 Re: Корни из единицы
Сообщение11.08.2013, 20:52 


11/08/13
20
TOTAL в сообщении #753964 писал(а):
Оставьте карты себе, ведь это Вы посчитали, что в сформулированной задаче могут быть такие "корни".

Про многочлены Вы заговорили. А теперь вспомните, что Вы ответили на мой вопрос как многочлены связаны с исходной задачей. Если забыли, можете перечитать.

А то, что я так посчитал -- да, я привык, что корни как и степени имеют право быть ненатуральными.

 Профиль  
                  
 
 Re: Не могу понять формулировку задачи
Сообщение11.08.2013, 21:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/12/11
640
Україна
Я считаю, что стартовый вопрос namhel, а также этот пост:
namhel в сообщении #753932 писал(а):
$3/5+4i/5 = \sqrt[n]{1}$, где $n = \frac{2 \pi}{\arctg(3/4)}$.
с заменой $\arctg(3/4)$ на $\arctg(4/3)$, не лишены оснований.
Когда речь идёт о действительном анализе, то корень из $1$ только один (если не рассматривать алгебраические корни, тогда максимум, что добавляется - это $-1$).
Когда же речь идёт о комплексном анализе, здесь ещё важно, какой степени извлекается корень. И вполне может получиться, как в рассматриваемом случае, что корней счётное число. Поэтому никогда не лишним будет уточнить, что подразумевается именно корень натуральной степени из $1$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Не могу понять формулировку задачи
Сообщение11.08.2013, 21:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Есть общепринятый алгебраический термин "корень из единицы" (root of unity), который означает корень многочлена вида $z^n - 1$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Не могу понять формулировку задачи
Сообщение11.08.2013, 21:23 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Dave в сообщении #753969 писал(а):
Когда же речь идёт о комплексном анализе
Задача алгебраическая и вполне содержательная. Если понимать корень как степень с произвольным показателем, то задачи никакой нет. Неужели это не настораживает?

 Профиль  
                  
 
 Re: Не могу понять формулировку задачи
Сообщение11.08.2013, 21:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/04/10
3152
namhel в сообщении #753965 писал(а):
я привык, что корни как и степени имеют право быть ненатуральными.

Отучайтесь, если хотите понимать и быть понятым.

 Профиль  
                  
 
 Re: Не могу понять формулировку задачи
Сообщение11.08.2013, 21:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/12/11
640
Україна
nnosipov в сообщении #753972 писал(а):
Dave в сообщении #753969 писал(а):
Когда же речь идёт о комплексном анализе
Задача алгебраическая и вполне содержательная. Если понимать корень как степень с произвольным показателем, то задачи никакой нет. Неужели это не настораживает?
Но ведь Вы же сами писали, что условие той задачи написано небрежно. А если автор допустил одну небрежность, то возможны и другие.
nikvic в сообщении #753979 писал(а):
namhel в сообщении #753965 писал(а):
я привык, что корни как и степени имеют право быть ненатуральными.

Отучайтесь, если хотите понимать и быть понятым.
А как же тогда сформулировать задачу: "Является ли $\pi^e$ трансцендентным числом"? Выходит, что это вообще не число? А тогда что?

 Профиль  
                  
 
 Re: Не могу понять формулировку задачи
Сообщение11.08.2013, 22:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Dave в сообщении #753983 писал(а):
А как же тогда сформулировать задачу: "Является ли $\pi^e$ трансцендентным числом"? Выходит, что это вообще не число? А тогда что?
Видите ли, степень $x^y$ определяется для любых действительных $x>0$ и $y$. Когда я учился в школе, это построение входило в школьную программу (не очень строго, поскольку понятия предела не было). Что касается значка $\sqrt[n]{x}$, то он определяется только для натуральных $n\geqslant 2$ (причём, $n=2$ принято явно не указывать).

 Профиль  
                  
 
 Re: Не могу понять формулировку задачи
Сообщение11.08.2013, 22:05 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Dave в сообщении #753983 писал(а):
А если автор допустил одну небрежность, то возможны и другие.
Небрежности --- да, бывают, но считать автора задачи идиотом (пардон) apriori не стоит. И потом, есть же контекст. Наконец, решение задачи можно почитать.
Dave в сообщении #753983 писал(а):
А как же тогда сформулировать задачу: "Является ли $\pi^e$ трансцендентным числом"? Выходит, что это вообще не число? А тогда что?
Вспомните теорему Гельфонда о числах вида $\alpha^\beta$ --- проблемы нет, просто фиксируется (произвольным образом) ветвь логарифма, и в оценках участвуют параметры этой ветви.

 Профиль  
                  
 
 Re: Не могу понять формулировку задачи
Сообщение11.08.2013, 22:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/12/11
640
Україна
Someone в сообщении #753987 писал(а):
Что касается значка $\sqrt[n]{x}$, то он определяется только для натуральных $n\geqslant 2$
Впервые об этом слышу. Я всегда считал, что не будет ничего страшного, если написать, к примеру, $\sqrt[e] {\pi}$. Другое дело, что пишут обычно $\pi^{\frac 1 e}$. Но это вопрос удобства для того, кто пишет.

-- 11.08.2013, 22:19 --

nnosipov в сообщении #753988 писал(а):
Вспомните теорему Гельфонда о числах вида $\alpha^\beta$ --- проблемы нет, просто фиксируется (произвольным образом) ветвь логарифма, и в оценках участвуют параметры этой ветви.
Так ведь $\pi$ - не алгебраическое число и теорема Гельфонда здесь неприменима.

 Профиль  
                  
 
 Re: Не могу понять формулировку задачи
Сообщение11.08.2013, 22:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/04/10
3152
А как же тогда сформулировать задачу: "Является ли $\pi^e$ трансцендентным числом"? Выходит, что это вообще не число? А тогда что?
Без проблем. Показатель степени - любое действительное, а вот использование термина корень всеми математиками понимается как "целый корень".

 Профиль  
                  
 
 Re: Не могу понять формулировку задачи
Сообщение11.08.2013, 22:32 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Dave в сообщении #753990 писал(а):
Так ведь $\pi$ - не алгебраическое число и теорема Гельфонда здесь неприменима.
Само собой, не применима. Вы же спрашивали, что такое $\pi^e$, а это можно понимать, например, так, как понимается выражение $\alpha^\beta$ в теореме Гельфонда. А можно понимать и по-простому --- как вещественное число $\pi^e$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Не могу понять формулировку задачи
Сообщение11.08.2013, 23:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва

(Dave)

Dave в сообщении #753990 писал(а):
Someone в сообщении #753987 писал(а):
Что касается значка $\sqrt[n]{x}$, то он определяется только для натуральных $n\geqslant 2$
Впервые об этом слышу. Я всегда считал, что не будет ничего страшного, если написать, к примеру, $\sqrt[e] {\pi}$. Другое дело, что пишут обычно $\pi^{\frac 1 e}$. Но это вопрос удобства для того, кто пишет.
Нет. Выражение $\pi^{\frac 1 e}$ вполне осмысленное, а вот $\sqrt[e]{\pi}$ — нет.
Это связано с последовательностью определения понятия степени. На каждом из перечисленных ниже шагов нужно доказывать основные свойства степени, включая монотонность по показателю.
1) Степень с натуральным показателем определяется по индукции: $x^1=x$, $x^n=x^{n-1}\cdot x$ при $n>1$.
2) $x^0=1$ (при $x\neq 0$; основано на свойстве степени $x^{m-n}=\frac{x^m}{x^n}$).
3) $x^{-n}=\frac 1{x^n}$ (основано на том же свойстве степени).
Теперь у нас есть определение степени для любого целого показателя.
4) Для $x\geqslant 0$ и натурального $n\geqslant 2$ определяем корень $n$-ой степени $\sqrt[n]{x}$ как неотрицательное число $y$, удовлетворяющее условию $y^n=x$.
При нечётном $n$ обычно доопределяют корень для отрицательных чисел: $\sqrt[n]{x}=-\sqrt[n]{-x}$ при $x<0$.
5) Для рационального числа $r=\frac mn$ и $x>0$ определяем степень $x^r=\left(\sqrt[n]{x}\right)^m$.
6) Произвольное иррациональное число $p$ зажимаем сверху и снизу сходящимися к нему монотонными последовательностями рациональных чисел (знаки которых предполагаем совпадающими со знаком числа $p$) $r_1<r_2<\ldots<p<\ldots<r'_2<r'_1$ и определяем $x^p$ ($x>0$) из условия $x^{r_1}<x^{r_2}<\ldots<x^p<\ldots<x^{r'_2}<x^{r'_1}$ или $x^{r'_1}<x^{r'_2}<\ldots<x^p<\ldots<x^{r_2}<x^{r_1}$ (в зависимости от возрастания-убывания).
Разумеется, здесь очень много технической работы, которой в школе в значительной степени пренебрегали. Но даже и в том виде построение было длинным.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 41 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group