2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Запутался в интеграле из ТФКП
Сообщение07.08.2013, 06:44 


06/08/13
151
Здравствуйте! Помогите пожалуйста найти ошибку в вычислениях:)
Имеется известный из всех учебников по ТФКП интеграл $\oint_C \frac {dz} {z-a} $ , где С - окружность, например, с центом в точке (1,0) радиуса 2: $ |z-1| = 2$.
По теореме Коши получается, что если число $a$ лежит внутри круга с границей С, то этот интеграл равен $2\pi i$
Если же решать в лоб, через параметризацию окружности и переход к определённому интегралу одного переменного, то у меня получается так: если $a=1$, то этот интеграл равен $2\pi i$; если же $a$ лежит внутри круга, но не совпадает с центром, то интеграл равен нулю.
Вот ход решения для $a=2$:
Параметризация: $x = 1+2 \cos t$ $y = 2 \sin t$ Тогда $z-2 = -1 + 2 $e^{i t}$ и $dz = 2 i $e^{i t} dt$
Преобразуем интеграл: $\oint_C = \int_0^{2\pi} \frac {2 i \exp(i t) d t}{2 \exp(it)-1}   $ Сделаем замену $u = $e^{i t}$, тогда верхний и нижний пределы перейдут в единицу, а интеграл будет равен $2 \int_1^1 \frac{du}{2u-1} = 0$
И вот где-то здесь я ошибаюсь, а где не вижу :(

 Профиль  
                  
 
 Re: Запутался в интеграле из ТФКП
Сообщение07.08.2013, 08:03 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
robot80 в сообщении #752761 писал(а):
замену $u = e^{i t}$, тогда верхний и нижний пределы перейдут в единицу

А значит, это не замена. Хорошая замена должна быть, в частности, биекцией.

 Профиль  
                  
 
 Re: Запутался в интеграле из ТФКП
Сообщение07.08.2013, 08:09 


06/08/13
151
Хм, но ведь при $a=1$ всё работает. Или это случайность?
И как тогда считать этот интеграл: по полуокружности, а потом умножить на 2?

-- 07.08.2013, 11:13 --

Или его вообще в лоб сосчитать нельзя? Ну, если число $a$ не совпадает с центром? Собственно для этого формула Коши и потребовалась, наверно...

 Профиль  
                  
 
 Re: Запутался в интеграле из ТФКП
Сообщение07.08.2013, 08:13 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
При $a=1$ замена не нужна, все сокращается. Так, по крайней мере, бывает в норме. :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Запутался в интеграле из ТФКП
Сообщение07.08.2013, 08:15 


06/08/13
151
Да, знаю, что не нужна :)
Так как, можно его сосчитать или нет? :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Запутался в интеграле из ТФКП
Сообщение07.08.2013, 08:15 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
robot80 в сообщении #752766 писал(а):
Или его вообще в лоб сосчитать нельзя? Ну, если число $a$ не совпадает с центром? Собственно для этого формула Коши и потребовалась, наверно...

В принципе, можно. Первообразная есть, считается, формулу Ньютона-Лейбница применить можно (проверьте). Но зачем? Или задание такое?

Вся проблема в том, что там у Вас попрут логарифмы, а с комплексными логарифмами надо уметь работать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Запутался в интеграле из ТФКП
Сообщение07.08.2013, 08:32 


06/08/13
151
Хе-хе, я не студент, я хуже - я преподаватель молодой. Сейчас разбираюсь в примерах к лекциям для студентов.
Методологическая идея такая: сосчитать интеграл в принципе известными методами (определённый интеграл от функции действительного переменного) - это будет долго и сложно.
Потом изложить теорему и формулу Коши и показать, что этот же интеграл считается в одну строку.
Вот... стал разбираться, брать примеры не как в учебниках и запутался.

 Профиль  
                  
 
 Re: Запутался в интеграле из ТФКП
Сообщение07.08.2013, 08:40 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
robot80 в сообщении #752771 писал(а):
я хуже - я преподаватель молодой.

А, это хорошо.
Если методологически - не надо Вам его считать через Ньютона-Лейбница, потому что комплексные логарифмы, по логике вещей, материал более тяжелый и рассказывается обычно после.

Для кого Вы рассказываете? Если для математиков, можно пробовать считать его просто по определению, он относительно неплохо считается. Традиционное определение (на всякий случай) - это с помощью разделения вещественной и мнимой частей. Но учтите, что Вы угробите на это полпары (если люди сами будут решать). Я бы пожмотилась.

-- 07.08.2013, 10:59 --

robot80 в сообщении #752771 писал(а):
Методологическая идея такая: сосчитать интеграл в принципе известными методами (определённый интеграл от функции действительного переменного) - это будет долго и сложно.

ЗЫ И еще. Хоть Ваша задумка и привлекательна на первый взгляд, но лучше все же новый материал рассказывать на свежую голову (студента), чем загрузить его с непонятной для него целью технически сложными, но идейно не новыми вещами до полного одурения, а когда он уже одуреет, осчастливить наконец. Велик риск, что этих прелестей уже никто не оценит.

Можно попробовать наоборот: дать формулу, примеры, посчитать, порешать и выделить некоторое время под конец пары, мол, вот интеграл, который вы все умеете уже решать (дружно решаем в одну строчку), а теперь попробуйте ручками. Пять минут пробуем, с подсказками, со всем, - оценили? оценили.

Ну, а Вам решать, как Вы сделаете.

 Профиль  
                  
 
 Re: Запутался в интеграле из ТФКП
Сообщение07.08.2013, 09:22 


06/08/13
151
Нет, не для математиков, для студентов технического вуза специальность физические процессы горного или нефтегазового производства.
На разделение действительной и мнимой частей (криволинейные интегралы, да?) у меня пример уже есть :-)
Это должен был быть пример на параметризацию кривой и переход к определённому интегралу.
Если для $a \not= 1$ всё так сложно, то я, может быть, и разберусь с Вашей помощью, а вот студенты пожалуй уснут, а я буду сам с собой у доски разговаривать :-) .
Может, тогда для лекции оставить случай $a=1$, а для остальных значений $a$ сказать что интеграл считается сложно, поэтому мы перейдём к рассмотрению формулы Коши, которая как раз всё легко считает?
Вы рассказываете про логарифмы после интегралов? А чем мотивируете возврат к рассмотрению функций? Просто логично было бы рассмотреть все элементарные функции, а уж потом переходить к производным и интегралам.

 Профиль  
                  
 
 Re: Запутался в интеграле из ТФКП
Сообщение07.08.2013, 09:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Otta в сообщении #752770 писал(а):
Первообразная есть, считается, формулу Ньютона-Лейбница применить можно (проверьте).
Как раз в круге с выколотой точкой первообразной нет... А если бы была, то интеграл был бы равен нулю.
Если его ещё разрезать от выколотой точки до края, то будет.

Otta в сообщении #752770 писал(а):
Вся проблема в том, что там у Вас попрут логарифмы, а с комплексными логарифмами надо уметь работать.
Да. Там за аргументом следить и всё такое прочее.

robot80 в сообщении #752771 писал(а):
Методологическая идея такая: сосчитать интеграл в принципе известными методами (определённый интеграл от функции действительного переменного) - это будет долго и сложно.
Ну, добросовестно вычислите это логарифм, который получается при интегрировании (замену переменной не делайте).

 Профиль  
                  
 
 Re: Запутался в интеграле из ТФКП
Сообщение07.08.2013, 09:34 


06/08/13
151
Otta, про Ваше дополнение. Хороший совет, спасибо. :-)

-- 07.08.2013, 12:46 --

Цитата:
Ну, добросовестно вычислите это логарифм, который получается при интегрировании (замену переменной не делайте).

Я не совсем понимаю, как этот логарифм получить, откуда он вообще берётся?

 Профиль  
                  
 
 Re: Запутался в интеграле из ТФКП
Сообщение07.08.2013, 09:46 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
robot80 в сообщении #752784 писал(а):
Вы рассказываете про логарифмы после интегралов? А чем мотивируете возврат к рассмотрению функций? Просто логично было бы рассмотреть все элементарные функции, а уж потом переходить к производным и интегралам.

Вы имеете право делать все, что хотите. Только что Вы собираетесь делать с неоднолистной функцией при интегрировании по контуру , обходящему окрестность точки ветвления с будущими нефтегазовиками и горнистами)), и зачем это нужно, мне очень интересно. :)

Можете провести творческий эксперимент, конечно... но лучше не нана.

Чем мотивирую? Мотивирую областью применимости основных теорем, не зря же они в таком порядке рассказываются.

Слов "считается сложно", по опыту, лучше избегать. Совсем необязательно что-то говорить, в конце концов. Если Вы теоремы доказываете, то интеграл $$\int_{|z-a|=\rho}\frac{dz}{z-a}$$ Вам понадобится все равно и Вы вынуждены будете рассказывать его, например, в виде леммы. А про остальные можно скромно промолчать, имхо.

-- 07.08.2013, 11:51 --

Someone в сообщении #752785 писал(а):
Как раз в круге с выколотой точкой первообразной нет... А если бы была, то интеграл был бы равен нулю.

Я имела в виду уже интеграл по отрезку. К нему-таки формула НЛ применяется, в отличие от интеграла по контуру. Хотя криво применяется, надо следить, как же выглядит образ отрезка на самом деле.

 Профиль  
                  
 
 Re: Запутался в интеграле из ТФКП
Сообщение07.08.2013, 09:54 


06/08/13
151
Мда, наверно лучше действительно оставить только самый простой случай. В конце концов, в большинстве учебников именно он и рассказывается, и это неспроста.

 Профиль  
                  
 
 Re: Запутался в интеграле из ТФКП
Сообщение07.08.2013, 09:56 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
robot80
Разумно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Запутался в интеграле из ТФКП
Сообщение07.08.2013, 15:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
robot80 в сообщении #752786 писал(а):
Я не совсем понимаю, как этот логарифм получить, откуда он вообще берётся?
$$\int\limits_C\frac{dz}{z-a}=\int\limits_0^{2\pi}\frac{2ie^{i\varphi}d\varphi}{2e^{i\varphi}+1-a}=\operatorname{Ln}\left(2e^{i\varphi}+1-a\right)\Big|_0^{2\pi}=\ln\left\lvert 2e^{i\varphi}+1-a\right\rvert\Big|_0^{2\pi}+i\operatorname{Arg}\left(2e^{i\varphi}+1-a\right)\Big|_0^{2\pi}=2\pi i$$ Подстановка в логарифм модуля даёт, естественно, $0$. Что касается аргумента, то надо нарисовать простенькую картинку, где показать, что при изменении $\varphi$ от $0$ до $2\pi$, то есть, при обходе окружности $C$ в положительном направлении, аргумент увеличивается на $2\pi$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 17 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group