2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Определение положительности квадр. формы по значениям
Сообщение05.08.2013, 20:49 
Аватара пользователя
lepetal в сообщении #752291 писал(а):
Давайте ориентироваться на способность решать с ходу вот такие билеты, т.к. здесь всё в кучу, хотя я ещё не собираюсь поступать в ШАД. http://download.yandex.ru/company/shad/exam.pdf

Заинтересовала последняя задача (за остальные пока не брался). Условие: Есть неизвестная нам квадратичная форма в конечномерном пространстве. Задав вопрос, можно узнать значение этой формы в любой точке. Какое минимальное кол-во вопросов надо задать, чтобы убедиться, что эта форма пол. определённая. По моему скромному мнению меньшим, чем счётным числом вопросов не обойдёшься. Какие будут соображения?

 
 
 
 Re: Самообучение, освежение знаний
Сообщение05.08.2013, 20:55 
Аватара пользователя
мат-ламер в сообщении #752310 писал(а):
Заинтересовала последняя задача (за остальные пока не брался). Условие: Есть неизвестная нам квадратичная форма в конечномерном пространстве. Задав вопрос, можно узнать значение этой формы в любой точке. Какое минимальное кол-во вопросов надо задать, чтобы убедиться, что эта форма пол. определённая. По моему скромному мнению меньшим, чем счётным числом вопросов не обойдёшься. Какие будут соображения?
Ну это Вы загнули. С помощью $n + C_n^2$ вопросов можно определить всю квадратичную форму.

 
 
 
 Re: Самообучение, освежение знаний
Сообщение05.08.2013, 20:59 
Аватара пользователя
Xaositect в сообщении #752312 писал(а):
Ну это Вы загнули.

Я сейчас тоже сам сообразил. Мне показалось, что нам сообщают только знак кв. формы в точке. А зная значение, мы можем вычислить вообще все коэффициенты кв. формы.

 
 
 
 Re: Самообучение, освежение знаний
Сообщение05.08.2013, 21:02 
Аватара пользователя
Да, и меньше нельзя: ответ $Q(v) = a$ дает нам одно линейное ограничение на квадратичную форму, и очевидно доказывается, что на любой прямой в аффинном пространстве $S^2V^*$ всех квадратичных форм есть отрицательно определенные, поэтому нужно получить $\dim S^2V^*$ линейных ограничений.

 
 
 
 Re: Самообучение, освежение знаний
Сообщение05.08.2013, 21:03 
Аватара пользователя
Всего у кв. формы $n(n+1)/2$ кооэффициентов. И для их определения надо столько же уравнений. (И столько же вопросов). А откуда член $n$ взялся?

 
 
 
 Re: Самообучение, освежение знаний
Сообщение05.08.2013, 21:05 
Аватара пользователя
мат-ламер в сообщении #752317 писал(а):
Всего у кв. формы $n(n+1)/2$ кооэффициентов. И для их определения надо столько же уравнений. (И столько же вопросов). А откуда член $n$ взялся?
Я просто отдельно брал диагональные и недиагональные элементы. $n + \frac{n(n-1)}{2} = \frac{n(n+1)}{2}$

 
 
 
 Re: Определение положительности квадр. формы по значениям
Сообщение05.08.2013, 23:01 
Аватара пользователя
 i  Отделено от темы «Самообучение, освежение знаний»

 
 
 [ Сообщений: 7 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group