2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Доказать неравенство
Сообщение23.07.2013, 17:44 


29/05/12
239
Как доказать:
$n \cdot \ln(\ln(n+1))<(n+1) \cdot  \ln(\ln(n))$ :?:

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать неравенство
Сообщение23.07.2013, 17:56 
Аватара пользователя


12/05/12
604
Оттуда
Рассмотреть функцию
$$f(x)=\frac{\ln\ln x}{x} $$
и вычислить её производную. Дальше подход стандартный.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать неравенство
Сообщение23.07.2013, 19:35 


25/08/11

1074
Мелочь, но нужно добавить: $n\ge 3$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать неравенство
Сообщение23.07.2013, 20:33 


29/05/12
239
cool.phenon в сообщении #748638 писал(а):
Рассмотреть функцию
$$f(x)=\frac{\ln\ln x}{x} $$
и вычислить её производную. Дальше подход стандартный.


$$f'(x)=\frac{1}{x^2\ln x} - \frac{\ln\ln x}{x^2} $$

и далее :oops:

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать неравенство
Сообщение23.07.2013, 20:44 
Заслуженный участник


08/04/08
8556
Далее нужно доказывать, что функция $f(x)$ монотонно убывает при $x>x_0$, что равносильно $f'(x)>0$ при $x>x_0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать неравенство
Сообщение23.07.2013, 21:09 


29/05/12
239
megamix62 в сообщении #748636 писал(а):
Как доказать:
$n \cdot \ln(\ln(n+1))<(n+1) \cdot  \ln(\ln(n))$ :?:



Что-то не врублюсь...мне надо доказать

$n \cdot \ln(\ln(n+1))<(n+1) \cdot  \ln(\ln(n))$ :? :oops:

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать неравенство
Сообщение23.07.2013, 21:12 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Что равносильно $f(n+1)<f(n)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать неравенство
Сообщение24.07.2013, 00:39 
Заслуженный участник


16/02/13
4105
Владивосток
Sonic86 в сообщении #748700 писал(а):
$f(x)$ монотонно убывает при $x>x_0$, что равносильно $f'(x)>0$
$f'(x)<0$

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать неравенство
Сообщение24.07.2013, 08:10 


25/08/11

1074
Задача не такая простая, если всё доделать аккуратно. Максимум функции $y(x)=\frac{\ln(\ln(x))}{x}, x>1$ выражается через функцию Ламберта:
$$
x_{max}=\exp(\frac{1}{W(x)})\approx 5.8312,
$$
так что функция имеет единственный максимум в этом значении и только начиная с него монотонно убывает. Поэтому исходное неравенство верно, причём только начиная с $n\ge6$!

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать неравенство
Сообщение24.07.2013, 10:57 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
sergei1961 в сообщении #748799 писал(а):
Задача не такая простая, если всё доделать аккуратно.

Если бы она не была целочисленной, то с Вами можно было бы согласиться. А так: ясно, что начиная с некоторой точки производная становится отрицательной, причем навсегда, а что это за точка (в целых числах), легко установить перебором.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать неравенство
Сообщение31.07.2013, 07:23 


29/05/12
239
Спасибо Вам Всем !

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group