Во многих гипотезах о простых числах делается предпосылка, что вероятность большого натурального числа х быть простым равна

.
Указанная предпосылка основана на асимптотическом законе простых чисел:

(1)
Реальное значение

имеет отклонение от

. Различные оценки этого отклонения приведены в работе:
http://www.encyclopediaofmath.org/index ... ReferencesПри предположении выполнения гипотезы Римана справедлива наиболее точная оценка, приведенная в указанной работе:

(2)
Поэтому на основании (2) отклонение реальной плотности простых чисел на интервале [2,x) от

:

(3)
В работе Дона Цагира "Первые 50 миллионов простых чисел" (рис. 6) показано, что отклонение

при

примерно равно 100, а при

- 300.
Таким образом,

(4)
Следовательно, при

и

при определении

справедливы только первые 4 знака значения

.
В теме "Асимптотическая плотность и гипотезы о простых числах" было показано, что плотность строго возрастающей последовательности f(n) на ограниченном интервале [A,B):

(5)
где

- количество членов последовательности f(n) на интервале [A,B), является значением конечной вероятностной меры

.
Поэтому плотность последовательности простых чисел

на интервале [2,x) -

, где х - фиксированное натуральное число, является значением вероятностной меры

или просто вероятностью, что х является простым числом.
В случае, если х большое натуральное число, то точность формулы (5):

(6)
Таким образом, для рассмотренных выше случаев -

, т.е точность равна соответственно 6 или 7 знаков после запятой.
Поэтому, вероятность числа

быть простым на основании асимптотического закона простых чисел равна

(с точностью 4 знака после запятой), что с запасом укладывается в вероятностную меру

с точностью 6 знаков после запятой. Вероятность числа

быть простым на основании асимптотического закона простых чисел равна

(с точностью 4 знака после запятой), что с запасом укладывается в вероятностную меру

с точностью 7 знаков после запятой.
В общем случае, из формул (3), (6) для большого натурального х следует:

(7)