2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 О геометрической интерпретации нулей дзета-функции Римана
Сообщение14.07.2013, 18:38 


26/04/08

1039
Гродно, Беларусь
Введём обозначение:
$
\begin{equation*}
	|\rho|_{\pm 1}=|e^{z}|_{\pm 1}=
\begin{cases}
	|e^{z}|_{2} \mbox{~если~} |e^{z}|_{2}\in[0,1]\\
	|e^{z}|_{2}-2 \mbox{~если~} |e^{z}|_{2}\in ]1,2[,
\end{cases}
\end{equation}
$
где $z\in \mathbb{R}$, $|\rho|_{2}\in[0,2[$, $|\rho|_{2}:\rho'\equiv \rho  \pmod 2$.

Тогда сумма
$\begin{equation*}
	S(a,b)=\sum_{1}^{\infty}\frac{1}{n}|e^{t_n-at_{n}}|_{\pm 1}e^{ibt_{n}},
\end{equation}$
где $t_{n}=\ln (n)$, представляет собой дзета-функцию Римана $\zeta (s)$.

В самом деле, поскольку
$\begin{equation*}
	S(s>1)=\sum_{1}^{\infty}\frac{1}{n^{s}},
\end{equation}$
где $s=a+ib$, то осталось доказать сходимость суммы $S(s<1)$, которая скорее всего выполняется в силу того, что $|S(s<1)|$ меньше суммы гармонического ряда, так как почти всегда
$\begin{equation*}
	\left|\frac{1}{n}|e^{(1-s)t_{n}}|_{\pm 1}\right|<\frac{1}{n}.
\end{equation}
$

Таким образом, если это утверждение верно, то нули дзета-функции можно будет интерпретировать как некое равномерное распределение (при суммировании по Риссу, т.е. с весовыми коэффициентами $\frac{1}{n}$) точек на плоскости, натянутой на сферу.

 Профиль  
                  
 
 Re: О геометрической интерпретации нулей дзета-функции Римана
Сообщение14.07.2013, 19:24 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Бред какой то.
Ясно, что

$\begin{equation*}
	S(a,b)=\sum_{1}^{\infty}\frac{1}{n}|e^{t_n-at_{n}}|_{\pm 1}e^{ibt_{n}}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{a-ib}}=\zeta(\bar{s}),
\end{equation}$
сходится только при $a>1$. Всякие помыслы с переобозначениями ни к чему не приводят.

 Профиль  
                  
 
 Re: О геометрической интерпретации нулей дзета-функции Римана
Сообщение14.07.2013, 19:36 


25/08/11

1074
Известно, что они неравномерно распределены. Можно почитать книгу Дербишира или спецлитературу, Монтгомери.

 Профиль  
                  
 
 Re: О геометрической интерпретации нулей дзета-функции Римана
Сообщение15.07.2013, 18:50 


26/04/08

1039
Гродно, Беларусь
Руст в сообщении #745917 писал(а):
Бред какой то.
Ясно, что

Может быть и бред, но мне это не ясно. Буду благодарен Вам за пояснения.
sergei1961 в сообщении #745924 писал(а):
Известно, что они неравномерно распределены.

Кто они? Например В.В. Козлов в конце второго параграфа статьи пишет, что последовательность $\{c\ln n\}$, $c\ne 0$, будет $(R, 1/n)$-рр. Спасибо за отсыл к литературе, но я, наверно, недостаточно подготовлен для понимания того, что там написано.

 Профиль  
                  
 
 Re: О геометрической интерпретации нулей дзета-функции Римана
Сообщение15.07.2013, 19:49 
Заслуженный участник


08/04/08
8556
bayak в сообщении #746230 писал(а):
Например В.В. Козлов в конце второго параграфа статьи
пишет, что последовательность $\{c\ln n\}$, $c\ne 0$, будет $(R, 1/n)$-рр.
Что значит это обозначение? Нетрудно доказать, что для $c>0$ последовательность $\{c\ln n\}$ не равномерно распределена по модулю 1. Можете посмотреть Кейперса Нидеррайтера Равномерное распределение - там этот факт в самом начале встречается несколько раз.

 Профиль  
                  
 
 Re: О геометрической интерпретации нулей дзета-функции Римана
Сообщение15.07.2013, 20:06 


26/04/08

1039
Гродно, Беларусь
Sonic86 в сообщении #746253 писал(а):
Что значит это обозначение?

Означает суммирование по Риссу (с весовыми коэффициентами $1/n$). Кейперса, Нидеррайтера я смотрел, но там рассматривается равномерное распределение по модулю 1 с арифметическим суммированием.

Кстати, до меня дошло, что sergei1961 имел в виду нули дзета-функции. Я же говорю о каждом нуле дзета-функции как о равномерном распределении точек ($\rho_n, \varphi_n$) на плоскости, причём под равномерностью понимается попадание центра "тяжести" последовательности точек в нулевую точку плоскости.

 Профиль  
                  
 
 Re: О геометрической интерпретации нулей дзета-функции Римана
Сообщение15.07.2013, 20:49 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
bayak в сообщении #746257 писал(а):
Sonic86 в сообщении #746253 писал(а):
Что значит это обозначение?

Означает суммирование по Риссу (с весовыми коэффициентами $1/n$). Кейперса, Нидеррайтера я смотрел, но там рассматривается равномерное распределение по модулю 1 с арифметическим суммированием.

Кстати, до меня дошло, что sergei1961 имел в виду нули дзета-функции. Я же говорю о каждом нуле дзета-функции как о равномерном распределении точек ($\rho_n, \varphi_n$) на плоскости, причём под равномерностью понимается попадание центра "тяжести" последовательности точек в нулевую точку плоскости.

Пробежался по статье Козлова. Он этим занялся с эргодической точки зрения. Хотя тут тоже по сути подгонка к равномерному распределению с помощью преобразования. Встречаются случаи, когда (как первые цифры $2^n$ в десятичной записи) не являются равномерными в обычном (по Вейлю) смысле. Логарифмическим суммированием (с весами $\frac 1n$) по Риссу приводится к равномерности.

Но в этой статье ничего нет относительно дзета функции, о чем хотел обсудить bayak. Даже если $e^{\rho_n}$ по Риссу равномерно распределена на круге радиуса $\sqrt{e}$, то это ничего не дает. Это сильнее гипотезы Римана, так как для начала надо доказать, что все нетривиальные нули имеют действительную часть $\frac 12$. Соответственно, даже выдвигать это предположение (которое сильнее Г.Р) в виде гипотезы преждевременно, так как не видно, что оно дает для теории чисел.

 Профиль  
                  
 
 Re: О геометрической интерпретации нулей дзета-функции Римана
Сообщение15.07.2013, 22:13 


26/04/08

1039
Гродно, Беларусь
Руст в сообщении #746272 писал(а):
Соответственно, даже выдвигать это предположение (которое сильнее Г.Р) в виде гипотезы преждевременно, так как не видно, что оно дает для теории чисел.

А если я Вам скажу, что аргумент дзета-функции определяет параметры спирали, на которой сидят точки ($\rho_n, \varphi_n$), а её значение задаёт центр "тяжести" этой последовательности, то это даст что-то для теории чисел?

 Профиль  
                  
 
 Re: О геометрической интерпретации нулей дзета-функции Римана
Сообщение15.07.2013, 22:35 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
bayak в сообщении #746290 писал(а):
А если я Вам скажу, что аргумент дзета-функции определяет параметры спирали, на которой сидят точки ($\rho_n, \varphi_n$), то это даст что-то для теории чисел?

Мне не понятна ваша фраза. Что такое "аргумент дзета функции"? Если об аргументе $\zeta(\rho_n)$ то он не определен, так как по определению $\zeta(\rho_n)=0$. Какая спираль, если $Re (\rho_n)=\frac 12$, то $e^{\rho_n)$ лежит на окружности радиуса $\sqrt(e)$?

Вообщем, выражайтесь точнее, чтобы вас поняли.

 Профиль  
                  
 
 Re: О геометрической интерпретации нулей дзета-функции Римана
Сообщение15.07.2013, 23:15 


25/08/11

1074
О чём речь идёт, уточните, пожалуйста. Что нули дзеты распределены на критической прямой равномерно? Или что-то другое?

 Профиль  
                  
 
 Re: О геометрической интерпретации нулей дзета-функции Римана
Сообщение16.07.2013, 08:04 


25/08/11

1074
В книге Дербишира "Простая одержимость" (есть в инете) есть и спиральки, на которые накручивается критическая прямая, чтобы понять ход дзета-функции в комплексной плоскости. Есть про то, что нули чем дальше, тем расположены гуще-то есть совсем неравномерно, насколько я помню. Есть про найденную загадочную корреляционную функцию нулей, что тоже исключает равномерное распределение.

А методами преобразования последовательности в равномерно распределённые не стоит на мой взгляд особо увлекаться: любую последовательность можно превратить например в последовательность только из единиц. Всего то надо взять весовое преобразование-умножить на подходящие множители!

А центр тяжести нулей, если я правильно понял о чём речь, конечно лежит на действительной оси, ведь нули на критической прямой расположены симметричными парами, сверху и снизу.

 Профиль  
                  
 
 Re: О геометрической интерпретации нулей дзета-функции Римана
Сообщение16.07.2013, 08:26 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
sergei1961 в сообщении #746352 писал(а):
Есть про то, что нули чем дальше, тем расположены гуще-то есть совсем неравномерно, насколько я помню. Есть про найденную загадочную корреляционную функцию нулей, что тоже исключает равномерное распределение.

Неправильно понимаете. Речь идет о распределении $e^{\rho_n}$, что эквивалентно распределению $\frac{T_n}{2\pi} \mod 1$, где $\rho_n=\frac 12 +iT_n$.
Как бы не сгущалась сама $T_n$, взяв их по модулю 1 обычно приведется к равномерности. Даже в более строгом смысле (как у в моей теме равномерность), чем в слабом (по Вейлю) смысле. Пример последовательности $x_n=\sqrt{n}$, на прямой распределение сгущается, но если брать по модулю 1, то получается равномерное распределение даже в строгом (как у меня) смысле.
Цитата:
А методами преобразования последовательности в равномерно распределённые не стоит на мой взгляд особо увлекаться: любую последовательность можно превратить например в последовательность только из единиц. Всего то надо взять весовое преобразование-умножить на подходящие множители!

Да, это надо делать только в некоторых особых случаях. Например, когда $x_n$ экспоненциально разрежалось и не подводилось к равномерности $x_n\mod 1$. Соответственно логарифмическим суммированием (с весами$\frac 1n)$ можно подвести к равномерности. Относительно нулей дзета функции (взятых по модулю $2\pi$) ничего не надо делать.

Цитата:
А центр тяжести нулей, если я правильно понял о чём речь, конечно лежит на действительной оси, ведь нули на критической прямой расположены симметричными парами, сверху и снизу.
[/quote]
Да, Риман свел задачу равномерности распределения простых к действительной части нулей дзета функции. Однако, это то же просто новая и бесполезная переформулировка исходной задачи о равномерности (в более строгом смысле) распределения простых чисел.

 Профиль  
                  
 
 Re: О геометрической интерпретации нулей дзета-функции Римана
Сообщение16.07.2013, 09:46 


25/08/11

1074
То есть расстояние между нулями дзеты распределено равномерно, то есть примерно одинаково?

 Профиль  
                  
 
 Re: О геометрической интерпретации нулей дзета-функции Римана
Сообщение16.07.2013, 10:18 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
sergei1961 в сообщении #746367 писал(а):
То есть расстояние между нулями дзеты распределено равномерно, то есть примерно одинаково?

абсолютно нет. Я приводил пример $\sqrt n$, дробные доли которых распределены равномерно, а сами сгущаются. Речь идет о равномерности при наматывании на окружность, т.е. при рассмотрении по модулю 1.

 Профиль  
                  
 
 Re: О геометрической интерпретации нулей дзета-функции Римана
Сообщение16.07.2013, 10:48 


25/08/11

1074
Так дробные доли распределены равномерно, это известно для дзеты?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 26 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group