2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Для каждого значения b найдите все пары чисел (x,y)
Сообщение13.07.2013, 08:09 


18/05/12
335
\sqrt{ !}
Цитата:
Для каждого значения b найдите все пары чисел $(x,y)$, удовлетворяющие уравнению
$\[b\sin 2y + {\log _4}(x\sqrt[8]{{1 - 4{x^8}}}) = {b^2}\]$


пробовал собрать полный квадрат:
$\[\begin{array}{l}
b\sin 2y + {\log _4}(x\sqrt[8]{{1 - 4{x^8}}}) = {b^2} \Leftrightarrow \\
{\log _4}(x\sqrt[8]{{1 - 4{x^8}}}) = {b^2} - 2 \cdot b \cdot \frac{1}{2}\sin 2y + {(\frac{1}{2}\sin 2y)^2} - {(\frac{1}{2}\sin 2y)^2} \Leftrightarrow \\
{\log _4}(x\sqrt[8]{{1 - 4{x^8}}}) = {(b - \frac{1}{2}\sin 2y)^2} - {(\frac{1}{2}\sin 2y)^2}
\end{array}\]$

и все :?

 Профиль  
                  
 
 Re: Для каждого значения b найдите все пары чисел (x,y)
Сообщение13.07.2013, 08:31 


19/05/10

3940
Россия
Перенесите первое слагаемое левой части в правую часть (вы это уже сделали).
Какие значения могут принимать левая и правая части нового выражения?

 Профиль  
                  
 
 Re: Для каждого значения b найдите все пары чисел (x,y)
Сообщение13.07.2013, 08:58 


18/05/12
335
\sqrt{ !}
$\[\begin{array}{l}
b\sin 2y + {\log _4}(x\sqrt[8]{{1 - 4{x^8}}}) = {b^2} \Leftrightarrow \\
{\log _4}(x\sqrt[8]{{1 - 4{x^8}}}) = {b^2} - b\sin 2y
\end{array}\]$

в правой части квадратное уравнение относительно $b$. Дискриминант этого уравнения $\[D = {\sin ^2}2y \ge 0\]$. При $y=0$ квадратное уравнение имеет один корень, а при $y \neq 0$ - два корня.

Цитата:
Какие значения могут принимать левая и правая части нового выражения?

по графику видно, что $\[{\log _4}(x\sqrt[8]{{1 - 4{x^8}}})\] < 0$. Как это обосновать и использовать - разбираюсь

 Профиль  
                  
 
 Re: Для каждого значения b найдите все пары чисел (x,y)
Сообщение13.07.2013, 09:06 


19/05/10

3940
Россия
Щас попробую)
В левой части (полученного выражения) функция, в частности, у нее есть область определения и область значений
нас интересует область значений - какова она?
В правой части тоже функция, переменная y. При разных b (выбирите сами) тоже найдите ее область значений

 Профиль  
                  
 
 Re: Для каждого значения b найдите все пары чисел (x,y)
Сообщение13.07.2013, 09:38 


18/05/12
335
\sqrt{ !}
область определения функции $\[{\log _4}(x\sqrt[8]{{1 - 4{x^8}}})\]$:
$\[\left\{ \begin{array}{l}
x > 0\\
1 - 4{x^8} > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow x \in (0;\frac{1}{{\sqrt[4]{2}}})\]$
Значит, область ее значений: $\[( - \infty ; - \frac{1}{8})\]$

Не знаю, как найти область значений функции $f(y) = \[{b^2} - b\sin 2y\] $

 Профиль  
                  
 
 Re: Для каждого значения b найдите все пары чисел (x,y)
Сообщение13.07.2013, 09:45 
Заслуженный участник


25/02/08
2961
kis в сообщении #745593 писал(а):
Не знаю, как найти область значений функции $f(y) = \[{b^2} - b\sin 2y\] $

Печально.

$\[\sin 2y \in [ - 1;1]\]$

$\[{b^2} - b\sin 2y \in [{b^2} - b;{b^2} + b]\]$

 Профиль  
                  
 
 Re: Для каждого значения b найдите все пары чисел (x,y)
Сообщение13.07.2013, 09:52 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Такие задачи если решаются, то решаются грубо. Перенесите всё в правую часть. Коэффициент при первой степени $b$ будет не слишком большим по модулю. А свободный член, т.е. $-\frac18\log_4t(1-4t)$, где $t=x^8$, между прочим, не слишком маленьким. Максимальное значение подлогарифменного выражения (и, соответственно, минимальное значение свободного члена) очевидно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Для каждого значения b найдите все пары чисел (x,y)
Сообщение13.07.2013, 09:57 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
kis в сообщении #745593 писал(а):
Значит, область ее значений: $\[( - \infty ; - \frac{1}{8})\]$

Вот нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Для каждого значения b найдите все пары чисел (x,y)
Сообщение13.07.2013, 10:03 


19/05/10

3940
Россия
kis в сообщении #745593 писал(а):
...
Значит, область ее значений: $\[( - \infty ; - \frac{1}{8})\]$...

Вывод неверный.
Производную надо считать (подлогарифмического выражения), по другому вроде хуже, что-то типа среднее степенное порядка 8 не меньше среднего геометрического

 Профиль  
                  
 
 Re: Для каждого значения b найдите все пары чисел (x,y)
Сообщение13.07.2013, 10:05 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
mihailm в сообщении #745600 писал(а):
Производную надо считать (подлогарифмического выражения), по другому вроде хуже, что-то типа среднее степенное порядка 8 не меньше среднего геометрического

Не надо производную. ewert дал верное указание.

 Профиль  
                  
 
 Re: Для каждого значения b найдите все пары чисел (x,y)
Сообщение13.07.2013, 10:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Ms-dos4 в сообщении #745594 писал(а):
$\[\sin 2y \in [ - 1;1]\]$

$\[{b^2} - b\sin 2y \in [{b^2} - b;{b^2} + b]\]$
Неправильно.

P.S. Столь примитивные задачи не следует решать за вопрошающего. Достаточно было намекнуть: а какое, дескать, множество значений у функции $\sin 2y$?
Вообще, цель здесь не решить задачу во что бы то ни стало, даже если вопрошающий вообще ничего не понимает, а попытаться его чему-то научить. А решает пусть он.

 Профиль  
                  
 
 Re: Для каждого значения b найдите все пары чисел (x,y)
Сообщение13.07.2013, 10:10 


19/05/10

3940
Россия
Ms-dos4 в сообщении #745594 писал(а):
...
$\[\sin 2y \in [ - 1;1]\]$

$\[{b^2} - b\sin 2y \in [{b^2} - b;{b^2} + b]\]$

модуль там

-- Сб июл 13, 2013 10:12:35 --

Otta в сообщении #745602 писал(а):
...
Не надо производную. ewert дал верное указание.

Не посмотрел, ну да. Можно и без среднего порядка 8

 Профиль  
                  
 
 Re: Для каждого значения b найдите все пары чисел (x,y)
Сообщение14.07.2013, 18:46 


18/05/12
335
\sqrt{ !}
Открылся ларчик :-)
$\[{\log _4}(x\sqrt[8]{{1 - 4{x^8}}}) = {b^2} - b\sin 2y\]$

нужно найти область значений левой и правой функции (в правой функции принять $b$ за переменную, а $y$ - параметр). область значений левой функции $(-inf;-1/4]$, а правой $\[( - \frac{{{{\sin }^2}2y}}{4}, + \inf )\]$. Так как область значений синуса $[-1;1]$, то наименьшее возможное значения минимума правой функции достигается при $\[{{{\sin }^2}2y} = 1\]$. То есть, минимум правой функции при таком значении синуса будет равен $-1/4$, что совпадает с максимумом левой функции. При любом другом значении синуса максимальное значение левой функции будет меньше минимального значения правой функции.

 Профиль  
                  
 
 Re: Для каждого значения b найдите все пары чисел (x,y)
Сообщение14.07.2013, 19:31 


19/05/10

3940
Россия
а что с b?

 Профиль  
                  
 
 Re: Для каждого значения b найдите все пары чисел (x,y)
Сообщение14.07.2013, 20:08 


18/05/12
335
\sqrt{ !}
kis в сообщении #745906 писал(а):
а правой $\[( - \frac{{{{\sin }^2}2y}}{4}, + \inf )\]$.

скобка квадратная, а не круглая.

mihailm в сообщении #745920 писал(а):
а что с b?

Вычислить $b$ можно из следующих соображений. Так как $\sin{2y} = \pm 1$ и $\[{\log _4}(x\sqrt[8]{{1 - 4{x^8}}}) =  - \frac{1}{4}\]$ (см. выше), то $b$ можно найти из исходного уравнения $\[b\sin 2y + {\log _4}(x\sqrt[8]{{1 - 4{x^8}}}) = {b^2}\]$, учтя найденные равенства.
$\[\left[ \begin{array}{l}
{b^2} - b =  - \frac{1}{4}\\
{b^2} + b =  - \frac{1}{4}
\end{array} \right. \Rightarrow b =  \pm 1/2\]$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 21 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group