2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 кратность точек касания кривых второго порядка
Сообщение01.07.2013, 08:09 


05/10/11
50
добрый день
допустим, у меня имеется две кривые второго порядка ( парабола и окружность), которые касаются. Если заданы их уравнения, можно что-нибудь выразить из одного и подставить в другое уравнение. Получится нечто четвертой степени. Но вот вопрос, почему точка касания имеет обязательно кратность два?
В курсе аналитической геометрии говорилось про кратность два, когда рассматривался случай касания прямой к конике.

 Профиль  
                  
 
 Re: касание кривых второго порядка
Сообщение01.07.2013, 09:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/10
1600
spb
laptop в сообщении #742039 писал(а):
Но вот вопрос, почему точка касания имеет обязательно кратность два?

Кривые проходят через одну и ту же точку, и в ней у них равны производные. Вот и два условия.

 Профиль  
                  
 
 Re: кратность точек касания кривых второго порядка
Сообщение01.07.2013, 09:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
laptop в сообщении #742039 писал(а):
Но вот вопрос, почему точка касания имеет обязательно кратность два?
Потому же, почему все кошки серы, а у всех твёрдых тел плотность 2.5.
Нипочему!
Не имеет!
Не обязательно!

 Профиль  
                  
 
 Re: кратность точек касания кривых второго порядка
Сообщение01.07.2013, 09:48 


05/10/11
50
Да. вот пример
$(x+4)^2+(y-\frac{7}{2})^2=\frac{125}{4},$
$y=x^2.$
точка (1,1) имеет кратность равную трем.

 Профиль  
                  
 
 Re: кратность точек касания кривых второго порядка
Сообщение01.07.2013, 20:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/10
1600
spb
А я прочитал - хотя бы два. Конечно, может и больше

 Профиль  
                  
 
 Re: кратность точек касания кривых второго порядка
Сообщение01.07.2013, 23:20 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
В примере laptop на самом деле трёх не будет, только два.

 Профиль  
                  
 
 Re: кратность точек касания кривых второго порядка
Сообщение01.07.2013, 23:28 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
svv в сообщении #742262 писал(а):
В примере laptop на самом деле трёх не будет, только два.

Нет, всё-таки три (во всяком случае, если отладить арифметику -- я её не проверял). Вот несомненный пример на ту же тему: $x^2+y^2=2$ и $y=-x^2+x+1$ в точке $(1;1)$.

Там пафос в том, что радиус кривизны параболы меняется монотонно. И если в точке касания радиусы совпадают -- точка в силу монотонности радиуса оказывается именно третьего порядка.

 Профиль  
                  
 
 Re: кратность точек касания кривых второго порядка
Сообщение01.07.2013, 23:36 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Я как раз про конкретную арифметику.

А так-то я не сомневаюсь. Я Вам и свой пример приведу. Берем параболу $y=x^2$ и пристраиваем к её нижней точке окружность так, чтобы кратность была $2$. Легко видеть, что на самом деле и третьи производные совпадают — обе равны нулю.

 Профиль  
                  
 
 Re: кратность точек касания кривых второго порядка
Сообщение01.07.2013, 23:42 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
svv в сообщении #742271 писал(а):
Берем параболу $y=x^2$ и пристраиваем к её нижней точке окружность так, чтобы кратность была $2$. Легко видеть, что на самом деле и третьи производные совпадают — обе равны нулю.

Ну в этом-то случае и ежу понятно, что или два, или четыре. Интуитивно не вполне очевидным мог бы показаться только несимметричный случай.

 Профиль  
                  
 
 Re: кратность точек касания кривых второго порядка
Сообщение01.07.2013, 23:48 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Погодите, что "или два, или четыре"? В моём примере, с Вашей точки зрения, кратность касания какая?

 Профиль  
                  
 
 Re: кратность точек касания кривых второго порядка
Сообщение01.07.2013, 23:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
ewert в сообщении #742273 писал(а):
Интуитивно не вполне очевидным мог бы показаться только несимметричный случай.

А почему? Берём овал, наклоняем влево. Берём его копию, наклоняем вправо. Совмещаем нижними точками. По-моему, интуитивно очевидно.

-- 02.07.2013 00:50:05 --

svv в сообщении #742275 писал(а):
В моём примере, с Вашей точки зрения, кратность касания какая?

Исходя из сказанного вами:
- то 2 по построению :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: кратность точек касания кривых второго порядка
Сообщение02.07.2013, 00:02 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Munin
после слов "так, чтобы кратность была $2$" пропущено "А оно — фиг".

 Профиль  
                  
 
 Re: кратность точек касания кривых второго порядка
Сообщение02.07.2013, 00:08 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
svv в сообщении #742275 писал(а):
В моём примере, с Вашей точки зрения, кратность касания какая?

Или два, или четыре.

Munin в сообщении #742276 писал(а):
А почему? Берём овал, наклоняем влево. Берём его копию, наклоняем вправо. Совмещаем нижними точками. По-моему, интуитивно очевидно.

Может, и очевидно, но я ничего не понял. Как наклоняем?... что с чем совмещаем?...

 Профиль  
                  
 
 Re: кратность точек касания кривых второго порядка
Сообщение02.07.2013, 01:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Берём эллипс, поворачиваем его вокруг центра на нецелое число $\times\tfrac{\pi}{4}.$ Его нижняя точка после поворота (с минимальным $y$) становится $P_1.$ Берём другой такой же эллипс, поворачиваем его на минус угол, на который был повёрнут первый эллипс. Нижняя точка второго эллипса $P_2.$ Параллельным переносом плоскости совмещаем $P_1$ и $P_2.$

И надеюсь, вы больше не будете такие вещи спрашивать, а будете сами учиться понимать простой русский язык.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group