2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Детские задачи
Сообщение28.06.2013, 08:22 


04/06/12
393
Всем доброго времени суток!
1. Существуют ли такие натуральные числа $x$ и $y$, что выполняется равенство $\frac{1}{x}-\frac{1}{y}$
Решение: вычислим сумму в левой части. Для этого прибавим к ней $\frac{1}{1\cdot2}$. Получим $\frac{n}{n+1}$ (в нашем случае $n = 2012$). Таким образом, имеем, что наша сумма имеет вид $\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}$. Ответ: $\{x, y\}=\{2, 2013\}$. Баллы: 9.
2. Найти знаменатель дроби, полученной после сокращения $\frac{1000!}{21^{400}}$.
Решение: подсчитаем число троек и семерок в разложении 1000!. Получим, что троек будет 494, а семерок - 164. Ответ: $7^{236}$. Баллы: 7.
3. Решить неравенство $\log_{2-5x}3+\frac{1}{\log_2(2-5x)}\leqslant\frac{1}{\log_{6}(6x^2-6x+1)}$.
Решение: вначале найдем ОДЗ. Оно описывается условиями $x<\frac{2}{5},\ x\neq\frac{1}{5},\ x\neq0, \ x\neq1, \ x\in \left(-\infty,\ \frac{3-\sqrt3}{6}\right)\cup \left(\frac{3+\sqrt3}{6},\ \infty\right) $. После этого преобразуем выражение на ОДЗ: $\log_{2-5x}6\leqslant\log_{6x^2-6x+1}6$. отсюда, если $2-5x>1$, то $2-5x>6x^2-6x+1$. А если $2-5x<1$, то и $2-5x<6x^2-6x+1$. Решая 2 системы неравенств находим ответ: $x \in \left[-\frac{1}{3},\ 0\right)\cup\left[\frac{1}{2}, \ +\infty\right)$. Баллы: 11.
4. Доказать, что число $\frac{3^{200}+22\ldots2-10^{82}+1}{27}$ (243 двойки) является целым, и, к тому же, составным.
Решение: числитель является суммой двух нечетных чисел и одного четного. Кроме того, все слагаемые делятся на 81. Баллы: 5.
5. Решить неравенство $\frac{11x-9}{x+5}\geqslant x$
Решение: рассмотрим случаи, когда $x>-5$ и $x<-5$. В первом случае умножим обе части на знаменатель без замены знака. Получим неравенство $x^2-6x+9\leqslant0$, имеющее решение $x=3$. Во втором случае будет неравенство $x^2-6x+9\geqslant0$, решения которого лежат в $(-\infty,\ -5)\cup(-5,\ +\infty)$. В итоге получаем ответ: $x \in (-\infty,\ -5), x=3$. Баллы: 9.
6. Вычислить сумму, состоящую из 2013 слагаемых $11+121+\ldots+122\ldots21$. Решение: все слагаемые делятся на 11. Вынесем его за скобки, и найдем сумму $1+11+\ldots+11\ldots1$. Она равна $\frac{(10^1-1)+(10^2-1)+\ldots+10^{2012}-1}{9}$ $=$ $\frac{10^{2013}-10}{81}-\frac{2012}{9}$. Как итог: $11\left(\frac{10}{81}\left(10^{2012}-1\right)-\frac{2012}{9}\right)$. Баллы: 11.
$7.$ Решить уравнение $\sqrt{4x-x^2}=x^3-12x+18$.
Решение: левая часть определена при $0\leqslant x\leqslant 4. $. При этом, ее значение не больше 2. Значит, $x^3-12x+16 \leqslant0$. Равносильно $(x-2)^2(x+4)\leqslant0$, откуда $x=2$. Баллы:14.
8. Решить уравнение $\log_{{\sqrt{9+4\sqrt5}}^{\frac{1}{\sqrt[3]{\sin x}}}}{{\sqrt{9-4\sqrt5}}^{{\frac{1}{\sqrt[3]{\sin x}}}}}=2$.
Решение: сводится к $\log_t \frac1t=2$. Решений нет. Баллы: 11.
9. Сравнить числа $\sqrt[3]4+\sqrt2$ и $\sqrt[3]{25}+\sqrt[4]{\frac{3+\sqrt3}{6}}$. (Без калькулятора).
Решение: задача довольно простая. Немного посмотрев на числа около 1,5, можно заметить, что $\sqrt[3]4\approx1,59$, но при этом, меньше. Корень 2 и вовсе очень легко найти - $\approx1,4142$. В сумме - 3.00...
Число $\sqrt[3]25$ больше, чем 2,9. А число $\sqrt[4]{\frac{3+\sqrt3}{6}}$ не меньше 0,9. Отсюда видно, какая сумма больше. Баллы: 12.
10. Решить уравнение x^2\cdot3^{x-2}+3^{\sqrt x+2}=3^x+x^2\cdot3^{\sqrtx}
Решение: сгруппируем. x^2\left(3^{x-2}-3^{\sqrtx}\right) = 3^2\left(3^{x-2}-3^{\sqrt x}\right). Одно из решений – когда скобка равна 0, в этом случае x = 4. Пусть x\neq4. Тогда x^2 = 3^2, откуда, в силу ОДЗ, x = 3. Ответ: x = 3, x =4. Баллы: 12.

Нужно проверить одного чела, перешедшего в 10-й класс. Подойдут ли эти задачи? Какие баллы бы вы проставили за кажудю? (в сумме нужно 100).

 Профиль  
                  
 
 Re: Детские задачи
Сообщение28.06.2013, 14:59 


01/09/12
174
Подойдут они ему или нет, зависит от его уровня подготовки. Если он хочет хорошо сдать егэ, то подойдут, если он хочет стать профессионалом-математиком, то тоже подойдут, но в 10м классе уже и посодержательнее задачи надо решать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Детские задачи
Сообщение28.06.2013, 15:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Terraniux в сообщении #741208 писал(а):
1. Существуют ли такие натуральные числа $x$ и $y$, что выполняется равенство $\frac{1}{x}-\frac{1}{y}$
А где равенство-то?

 Профиль  
                  
 
 Re: Детские задачи
Сообщение28.06.2013, 16:11 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Terraniux в сообщении #741208 писал(а):
Нужно проверить одного чела ...
Проверить на что? Подбор задач зависит от ответа на этот вопрос.

 Профиль  
                  
 
 Re: Детские задачи
Сообщение28.06.2013, 22:12 


04/06/12
393
Xaositect в сообщении #741337 писал(а):
Terraniux в сообщении #741208 писал(а):
1. Существуют ли такие натуральные числа $x$ и $y$, что выполняется равенство $\frac{1}{x}-\frac{1}{y}$
А где равенство-то?

Xaositect

Поправит не дает, увы.
1. Существуют ли такие натуральные числа $x,\ y$, что выполняется равенство $\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot4}+\ldots+\frac{1}{2012\cdot2013}=\frac{1}{x}-\frac{1}{y}$

nnosipov
, проверить уровень его математической подготовленности.

(Оффтоп)

При переходе в 10 класс (мне тогда исполнилось 14 лет) лично мне удавалось решить задачи уровня вступительных в СУНЦ, правда не все, но бо'льшую часть.

А его расхваливают как "математического гения".

(Оффтоп)

Вот и задело за живое :facepalm:

 Профиль  
                  
 
 Re: Детские задачи
Сообщение28.06.2013, 23:12 


04/06/12
393
Я профейлился :oops:
В 4-й задаче должно быть $10^{81}$, вместо $10^{82}$ :oops:
Ну да ладно, бывают задачи и такого типа: опровергнуть то, что надо "доказать", даже если в условии так написано. Однако, тот парень даже не угадал идею док-ва (делимость на 27).

Все же, согласны ли вы с разбалловкой? Оставить так, или где-то повысить, где-то понизить? Завтра он сдает задачи.

 Профиль  
                  
 
 Re: Детские задачи
Сообщение28.06.2013, 23:21 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Terraniux
Ну что Вы, в самом деле. Оставите Вы или измените, это ничего не поменяет. Оставьте.

А попробуйте для прикола первым номером спросить решение неравенства $1/x<1$. Ну так, любопытно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Детские задачи
Сообщение28.06.2013, 23:38 
Заслуженный участник


25/02/08
2961
Otta в сообщении #741448 писал(а):
А попробуйте для прикола первым номером спросить решение неравенства $1/x<1$. Ну так, любопытно.

И в чём подвох? Что то я проблем не вижу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Детские задачи
Сообщение28.06.2013, 23:42 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Ms-dos4
Ну это ж не Вам, что Вы. ))

(Оффтоп)

Я каждое свое "тестирование" вновь обретенного школьника (абитуриента) начинаю с этого вопроса. Уже много лет. Ну, иногда числитель другой пишу, 2, например. И Вы знаете, ни разу еще никто не ответил верно. Сама удивляюсь. Заколдованное неравенство какое-то. :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Детские задачи
Сообщение28.06.2013, 23:53 
Аватара пользователя


17/05/08
358
Анк-Морпорк
Terraniux в сообщении #741432 писал(а):
А его расхваливают как "математического гения".


Интересно-интересно, поделитесь, пожалуйста, результатами проверки.

Мне ещё нравится задача о нахождении минимального натурального числа, которое, будучи записанным дважды подряд, образует точный квадрат.

 Профиль  
                  
 
 Re: Детские задачи
Сообщение29.06.2013, 13:12 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Terraniux в сообщении #741432 писал(а):
А его расхваливают <…>
Многие люди любят расхваливать, когда не до конца разобрались в ситуации. Спросите у того человека, согласен ли он с расхваливаниями.

 Профиль  
                  
 
 Re: Детские задачи
Сообщение29.06.2013, 14:27 


01/09/12
174
arseniiv в сообщении #741527 писал(а):
Terraniux в сообщении #741432 писал(а):
А его расхваливают <…>
Многие люди любят расхваливать, когда не до конца разобрались в ситуации. Спросите у того человека, согласен ли он с расхваливаниями.


И как бы то ни было, человек не согласится :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Детские задачи
Сообщение29.06.2013, 14:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
General в сообщении #741455 писал(а):
минимального натурального числа, которое, будучи записанным дважды подряд, образует точный квадрат.

Убит поэт, невольник чести. Как я раньше не слышал про эту красоту?

 Профиль  
                  
 
 Re: Детские задачи
Сообщение29.06.2013, 15:20 


26/08/11
2057
ИСН в сообщении #741563 писал(а):
Как я раньше не слышал про эту красоту?
Досадно искать квадраты среди делителей $10^k+1$ без компа. (ведь наименьшее такое $k=11$).

 Профиль  
                  
 
 Re: Детские задачи
Сообщение29.06.2013, 15:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Shadow в сообщении #741574 писал(а):
Досадно искать квадраты среди делителей $10^k+1$ без компа. (ведь наименьшее такое $k=11$).
Суть не в том. Суть в том, что $4^2>10$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 22 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group