2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Быстрая оценка квадратичной суммы
Сообщение27.06.2013, 12:25 
Аватара пользователя


05/06/08
470
Необходимо вычислить сумму:
$\frac{1}{{{{\left( {N - 1} \right)}^2}}}\sum\limits_{i = 1}^N {\sum\limits_{j = 1}^N {\left( {1 - {\delta _{ij}}} \right)\left| {{{\bf{r}}_i} - {{\bf{r}}_j}} \right|} } 
$
${{{\bf{r}}_i}}$ - случайная величина в 3D пространстве с неизвесным распределением.
Главное условие - вычислительная сложность должна быть не $O\left( {{N^2}} \right)$(точная оценка), а $O\left( N \right)$.
Очевидно, что так как распределение случайной величины заранее не известно, то "быстрая" оценка будет приближением.
Поэтому вопрос, как достичь лучшего приближения? Наверняка ведь такая задача кем-то решена. Естесвенно, через различные моменты, первые, вторые.

P.S. ${\delta _{ij}}$ - дельта Кронекера. Несущесвенный элемент.

 Профиль  
                  
 
 Re: Быстрая оценка квадратичной суммы
Сообщение27.06.2013, 12:56 
Супермодератор
Аватара пользователя


20/11/12
5728
Думаю, надо что-то сказать о $\delta_{ij}$, иначе только $O(N^2)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Быстрая оценка квадратичной суммы
Сообщение27.06.2013, 13:27 
Аватара пользователя


05/06/08
470
Deggial в сообщении #741008 писал(а):
Думаю, надо что-то сказать о $\delta_{ij}$, иначе только $O(N^2)$.

${\delta _{ij}}$ - дельта Кронекера. Не особо сущесвенный элемент.
Сумма, по сущесву, среднее расстояние между всеми элементами выборки.
Я понимаю, что точная оценка только со сложностью $O(N^2)$. Но наверняка грубое приближение как-то коррелирует с корреляционной матрицей выборки. Разве нет?

-- Чт июн 27, 2013 14:52:32 --

лишнюю цитату стёр

Вообще-то дельта Кронекера излишняя.
Там и так ноль. Можно похерить. Но почему-то первый пост не правиться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Быстрая оценка квадратичной суммы
Сообщение27.06.2013, 14:08 
Супермодератор
Аватара пользователя


20/11/12
5728
Ещё:
MGM в сообщении #740999 писал(а):
${{{\bf{r}}_i}}$ - случайная величина в 3D пространстве с неизвесным распределением.
Опять же: если распределение совсем отфонарное, то и приближения быть не может тоже. Надо какие-то слабые условия налагать. Например, существует матожидание координат $\bf{r}_i$.
Если есть матожидание $m=M(|\bf{r}_i-\bf{r}_j|)$, то будет примерно $\frac{N-1}{N}m$. Матожидание можно оценить по случайно выбранным $O(N)$ членам.

MGM в сообщении #741016 писал(а):
Но почему-то первый пост не правиться.
Через час возможность править сообщения исчезает.

 i  Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Перенёс в соответствующий раздел

 Профиль  
                  
 
 Re: Быстрая оценка квадратичной суммы
Сообщение27.06.2013, 14:32 
Аватара пользователя


05/06/08
470
Deggial в сообщении #741024 писал(а):
Ещё:
MGM в сообщении #740999 писал(а):
${{{\bf{r}}_i}}$ - случайная величина в 3D пространстве с неизвесным распределением.
Опять же: если распределение совсем отфонарное, то и приближения быть не может тоже. Надо какие-то слабые условия налагать. Например, существует матожидание координат $\bf{r}_i$.
Если есть матожидание $m=M(|\bf{r}_i-\bf{r}_j|)$, то будет примерно $\frac{N-1}{N}m$. Матожидание можно оценить по случайно выбранным $O(N)$ членам.

Очень не хотелось бы делать случайную выборку. По ряду причин. И соседству по индексам.
А, допустим, распределение по Гауссу относительно мат. ожидания самой величины? Есть формулы?

 Профиль  
                  
 
 Re: Быстрая оценка квадратичной суммы
Сообщение01.07.2013, 11:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9490
Москва
Ну, начну с того, что значение матожидания тут совсем не важно. Они вычитаются и взаимоуничтожаются (с меня фуражка прапорщика Ясненько не слетела?) Вот существенно ли то, что оно существует - сходу не скажу, но, видимо, если у нас распределение вовсе без МО, то, значит, и у искомой величины МО нет, и оценивать странненько. Дисперсия или ещё какая мера разброса - существены. Если задана корреляционная матрица для r, то можно будет получить распределение для разности r.

 Профиль  
                  
 
 Re: Быстрая оценка квадратичной суммы
Сообщение01.07.2013, 19:37 
Заслуженный участник


03/01/09
1677
москва
Можно получить верхнюю оценку этой суммы со сложностью $O(N)$ независимо от того, известны ли нам характеристики распределения случайных величин. Для этого поместим начало координат в "центр масс", то есть перейдем к векторам $\vec q_i=\vec r_i- \vec a$, где $$\vec a=\frac {\sum \limits _{i=1}^{N}\vec r_i}N$$
Очевидно $|\vec r_i-\vec r_j|=|\vec q_i-\vec q_j|$ и, кроме того: $$\sum \limits _{i=1}^{N}\vec q_i=\vec 0\qquad (1)$$ Из равенства (1),возводя его в квадрат, получим :$$-2\sum \limits _{1\leq i<j\leq N}\vec q_i\vec q_j=\sum \limits _{i=1}^{N}q_i^2\qquad (2)$$С помощью неравенства Коши-Буняковского и с учетом равенства (2) получим верхнюю оценку :$$S_1^2=\left (\sum \limits _{1\leq i<j\leq N}|\vec q_i-\vec q_j|\right )^2\leq \frac {N(N-1)}2\sum \limits _{1\leq i<j\leq N}(\vec q_i-\vec q_j)^2=\frac {N^2(N-1)}2\sum \limits _{i=1}^{N}q_i^2\qquad (3)$$Исходная сумма с учетом неравенства (3) удовлетворяет неравенству:$$S=\frac 2{(N-1)^2}S_1\leq \sqrt 2\left (\frac N{N-1}\right )^{\frac 32}\sqrt {q_0^2},$$где $q_0^2=\dfrac {\sum \limits _{i=1}^Nq_i^2}N$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group