2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Закон сохранения силовых линий
Сообщение25.06.2013, 18:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
63219
"Закон сохранения" и "уравнение непрерывности" для линий электрического и магнитного поля.

ВСЕ МЫ знаем (я рассчитываю на это) релятивистскую картину электромагнитного поля: тензор поля $F_{\mu\nu}=(\mathbf{E},\mathbf{H}),$ вектор тока $j^\mu=(\rho,\mathbf{j}),$ преобразования Лоренца
$$F'_{\mu\nu}=\Lambda_\mu{}^\rho \Lambda_\nu{}^\sigma F_{\rho\sigma},\quad j'^\mu=\Lambda^\mu{}_\nu j^\nu,\qquad \text{где}\quad g_{\mu\nu}\Lambda^\mu{}_\rho\Lambda^\nu{}_\sigma=g_{\rho\sigma},\quad\operatorname{det}\Lambda=+1,\quad\Lambda^0{}_0\geqslant+1,$$ уравнения
$$f^\mu=F^{\mu\nu}u_\nu\qquad\varepsilon^{\mu\nu\rho\sigma}\partial_\nu F_{\rho\sigma}=0\quad\partial_\mu F^{\mu\nu}=4\pi j^\nu\qquad\partial_\mu j^\mu=0$$ $$T^{\mu\nu}=\dfrac{1}{4\pi}\Bigl(-F^{\mu\rho}F^\nu{}_\rho+\dfrac{1}{4}g^{\mu\nu}F_{\rho\sigma}F^{\rho\sigma}\Bigr)\quad\partial_\mu T^\mu_\nu=-F_{\nu\rho}j^\rho$$ и те же формулы в трёхмерных обозначениях.

В ТО ЖЕ время, знакомимся мы с электродинамикой ещё в школе на языке "силовых линий" (линий поля), и некоторые явления объясняются именно на этом языке. Потом приходится состыковывать картину линий и картину векторных/тензорных полей. По большей части, это довольно просто, если использовать математические результаты - теоремы Гаусса и Стокса, и разложение Гельмгольца (любое векторное поле раскладывается в сумму безроторного и бездивергентного). При этом, соблюдается разделение физических и математических утверждений, типа:

    М. (математическая теорема Гаусса) Линии поля начинаются на источниках, и дальше продолжаются непрерывно, пересекая любую поверхность:
    $$\int\limits_V\operatorname{div}\mathbf{E}\,dV=\oint\limits_{S(V)}(\mathbf{E}\mathbf{n})dS.$$

    Ф. (физическая теорема Гаусса) Источниками электрического поля являются заряды и только заряды, а там, где нет зарядов, линии поля не начинаются и не заканчиваются:
    $$\operatorname{div}\mathbf{E}=4\pi\rho,$$ или эквивалентно (в силу (М.)),
    $$\oint\limits_{S(V)}(\mathbf{E}\mathbf{n})dS=4\pi Q(V)\equiv 4\pi\int\limits_V\rho\,dV.$$

НО есть аспект, в котором такое сопоставление не очевидно для студента, и недостаточно прояснено в учебниках (по крайней мере, тех, которые я читал). Это ситуация движущихся линий поля. Стандартное пояснение к линиям поля таково: линии поля проводятся так, чтобы их направление совпадало с направлением вектора поля в точке (или в достаточно малой области, где поле можно считать однородным), а плотность линий поля совпадала с величиной вектора поля. Здесь ничего не говорится о движении линий поля. Можно себе представить, что для каждого отдельного момента времени $t$ картина линий поля восстанавливается "заново" из векторного поля, и никак не связана с картиной линий поля в предыдущий момент времени. Однако, движение линий поля используется при объяснении закона электромагнитной индукции (и аналогично, при объяснении тока смещения, но отложим это). А именно, закон электромагнитной индукции иногда формулируется в таком виде:

    Электродвижущая сила (ЭДС) в участке провода равна количеству линий магнитного поля, пересекающих этот провод в единицу времени. (ИУ)

Более осторожная формулировка:

    Электродвижущая сила (ЭДС) в замкнутом контуре равна изменению количества линий магнитного поля, проходящих через этот контур, в единицу времени. (ИК)

Очевидно, что более осторожная формулировка оставляет у студентов меньше вопросов, но позволяет решать меньше задач - только задачи с замкнутыми контурами, и даже в них - вызывает затруднения в случае сложных контуров, как в теме «Неконсервативность электрического поля». В то же время, первая формулировка привлекает своей "локальностью".

ИТАК, что хотелось бы получить? Хорошо определённую математическую величину (на допустимом в физике уровне строгости), позволяющую чётко сформулировать закон индукции из языка линий поля, и без затруднений перейти от него к точным векторным/тензорным формулировкам. Математические соотношения для этой величины, достаточные для этой задачи. И наконец, собственно все эти формулировки, с разделением фактов (М) и (Ф).

ПРЕДЛАГАЮ ввести "скорость движения линий поля" - векторное поле $\mathbf{v},$ такое что линия поля $d\pmb{\ell}$ считается смещающейся перпендикулярно самой себе за единицу времени на $\mathbf{v}\sin(\widehat{\mathbf{v}\,d\pmb{\ell}}).$ Скорость движения линий поля дефинирована, самое лучшее, с точностью до слагаемого, параллельного линии поля. Пару $(\mathbf{v},d\pmb{\ell})$ удобно рассматривать как бивектор (площадку, натянутую на пару векторов, заданную площадью и ориентацией), или в трёхмерном случае - как векторное произведение $[\mathbf{v}\,d\pmb{\ell}].$ Эта величина задаёт "ток линий поля", имеющий физический смысл (измеримый) как ЭДС, действующая на участок провода $d\mathbf{L},$ пересекаемый этим током линий поля:
$$d\mathcal{E}=([\mathbf{v}\,d\pmb{\ell}]d\mathbf{L})\equiv\langle\mathbf{v},d\pmb{\ell},d\mathbf{L}\rangle.$$ Другой вариант измерения этой величины - наблюдать за заряженными частицами, они должны получать ускорение перпендикулярно току линий поля (перпендикулярно и самой линии поля, и её скорости). Очевидно, это то же самое ускорение, которое сообщается заряженной частице индуцированным электрическим полем, и не требует отдельного учёта, если мы вычисляем индуцированное электрическое поле по уравнениям Максвелла. Но предлагаемый аппарат должен позволить вычислить это ускорение и без такого вычисления.

ДЛЯ того, чтобы этот математический аппарат оказался работоспособен, необходимо научиться вводить поле скорости $\mathbf{v}$ из физических условий, и вывести закон сохранения линий поля, пересекающих данный (произвольно выделенный в пространстве) контур (записана версия для неподвижного контура):
$$\dfrac{d\Phi_S}{dt}=\dfrac{d}{dt}\int\limits_S(d\pmb{\ell}\,\mathbf{n})dS=-\oint\limits_{L(S)}([\mathbf{v}\,d\pmb{\ell}]d\mathbf{L}),$$ или то же в дифференциальном виде (уравнение непрерывности для тока линий поля):
$$\dfrac{d}{dt}d\pmb{\ell}=-\lim_{S\to 0}\oint\limits_{L(S)}([\mathbf{v}\,d\pmb{\ell}]d\mathbf{L}).$$ Этот закон необходим для связи между собой формулировок (ИУ) и (ИК).

 Профиль  
                  
 
 Re: Закон сохранения силовых линий
Сообщение26.06.2013, 15:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
63219
Дифференциальный оператор
$$\lim_{S\to 0}\oint\limits_{L(S)}([\mathbf{v}\,d\pmb{\ell}]d\mathbf{L})$$ можно представить себе как "дивергенцию бивектора", если дивергенцию понимать как операцию $\mathop{\star}\mathop{\,\!d}\mathop{\star}$ (где $\mathop{\star}$ - звёздочка Ходжа). На языке векторных операций, это будет
$$\operatorname{rot}[\mathbf{v}\,d\pmb{\ell}],$$ и переход от интегральной к дифференциальной форме происходит по закону Стокса - математическое утверждение (М).

 Профиль  
                  
 
 Re: Закон сохранения силовых линий
Сообщение26.06.2013, 18:08 
Заблокирован
Аватара пользователя


03/03/10

4558
Munin в сообщении #740392 писал(а):
НО есть аспект, в котором такое сопоставление не очевидно для студента, и недостаточно прояснено в учебниках (по крайней мере, тех, которые я читал). Это ситуация движущихся линий поля.
Думаю, эта "ситуация" - предельно ясна. "Движущиеся линии поля" - совершенно безнадежная концепция в релятивистской теории, вот на ней и не заостряют внимания (даже в ФЛФ, помнится, есть довольно очевидные аргументы в пользу этого). Нет мальчика.

 Профиль  
                  
 
 Re: Закон сохранения силовых линий
Сообщение26.06.2013, 18:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
63219
myhand в сообщении #740762 писал(а):
"Движущиеся линии поля" - совершенно безнадежная концепция в релятивистской теории

Разумеется. Однако, многим тензора поля и релятивистской теории не дают. А вне неё, есть недоговорённость: внутри контура $\operatorname{rot}\mathbf{E}\ne 0,$ но как именно распределена $\mathbf{E}_\text{индукции}$ по контуру - не сказано. Или у вас есть в кармане однозначное решение?

 Профиль  
                  
 
 Re: Закон сохранения силовых линий
Сообщение26.06.2013, 20:45 


24/01/09
536
Украина, Днепропетровск
Тут забавен случай появления и исчезновения поля вообще. Как при движении мимо неподвижного заряда.

 Профиль  
                  
 
 Re: Закон сохранения силовых линий
Сообщение26.06.2013, 21:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
63219
Вот оно не просто появляется и исчезает, а откуда-то приходит, и куда-то уходит, что сия абстракция и призвана отобразить.

Я всё не могу понять, поле бивекторов $(\mathbf{v},d\pmb{\ell})$ восстанавливается однозначно или не однозначно, и из каких данных. Если мы задаём движение источников магнитного поля, то должно быть однозначно. Но такая информация редко доступна, а чаще мы имеем максвелловские поля и их производные на границе области.

 Профиль  
                  
 
 Re: Закон сохранения силовых линий
Сообщение27.06.2013, 00:17 
Заблокирован
Аватара пользователя


03/03/10

4558
Munin в сообщении #740778 писал(а):
Разумеется. Однако, многим тензора поля и релятивистской теории не дают.
Тогда дают векторный анализ, урчп и проч. А формализм, который заведомо лажает - лучше забыть и гнать ссаной тряпкой, начиная со школьных учебников...

 Профиль  
                  
 
 Re: Закон сохранения силовых линий
Сообщение27.06.2013, 16:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
63219
Понятно. Вы не любите силовых линий. От вас помощи не жди.

А я люблю. Они соответствуют вектору поля. Они соответствуют ТЭИ. Ничего, "заведомо лажающего", в них нет. Так что позвольте мне этой задачей поинтересоваться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Закон сохранения силовых линий
Сообщение27.06.2013, 17:30 
Заблокирован
Аватара пользователя


03/03/10

4558
Munin в сообщении #741074 писал(а):
Они соответствуют ТЭИ.
Они попусту не могут соответствовать чему-то в релятивистской физике.
Munin в сообщении #741074 писал(а):
Так что позвольте мне этой задачей поинтересоваться.
Да пожалуйста. Просто не расчитывайте на содержательный результат, исключая давно известный отрицательный...

 Профиль  
                  
 
 Re: Закон сохранения силовых линий
Сообщение27.06.2013, 18:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
63219
myhand в сообщении #741089 писал(а):
Они попусту не могут соответствовать чему-то в релятивистской физике.

Я вам это уже демонстрировал, вы запамятовали. Возьмём поле $F_{\mu\nu}=(E_x\mathbf{i},0).$ Для него силовые линии понятно как расположены. Считаем ТЭИ: $T^{00}=-T^{11}=T^{22}=T^{33}=W=E_x^2/8\pi.$ Итого, полю соответствует натяжение в направлении силовых линий, и давление в поперечном направлении.

myhand в сообщении #741089 писал(а):
Да пожалуйста. Просто не расчитывайте на содержательный результат, исключая давно известный отрицательный...

Моя цель здесь - результат методический, а не новое слово в теории поля per se.

Собственно, рассматривал помещение темы в "Вопросы преподавания", но поскольку поначалу не был уверен в некоторых аспектах (и сейчас не уверен, но в меньшем количестве), то обратился за помощью в их допостроении. Жаль, что вы ничего сказать не хотите.

 Профиль  
                  
 
 Re: Закон сохранения силовых линий
Сообщение27.06.2013, 22:09 
Заблокирован
Аватара пользователя


03/03/10

4558
Munin в сообщении #741095 писал(а):
Я вам это уже демонстрировал, вы запамятовали. Возьмём поле $F_{\mu\nu}=(E_x\mathbf{i},0).$ Для него силовые линии понятно как расположены. Считаем ТЭИ: $T^{00}=-T^{11}=T^{22}=T^{33}=W=E_x^2/8\pi.$ Итого, полю соответствует натяжение в направлении силовых линий, и давление в поперечном направлении.
Не вижу никакой демонстрации. Ну "определили" вы в одной ИСО некоторого крокодила, для одной конкретной задачи. И што?

Фейнмана-то посмотрели? :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Закон сохранения силовых линий
Сообщение27.06.2013, 22:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
63219
myhand в сообщении #741143 писал(а):
Фейнмана-то посмотрели? :)

Тридцать раз, ещё в детстве.

myhand в сообщении #741143 писал(а):
Не вижу никакой демонстрации.

Ну, больше я ничем помочь не могу. Давайте в этой теме диалог закончим? Мне всё-таки задача интересна.

 Профиль  
                  
 
 Re: Закон сохранения силовых линий
Сообщение28.06.2013, 20:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
7392
Может некоторым образом квантонУть? Вон в классике $dq dp$ практически какие угодно, а в квантАх - грубо говоря порциями.

 Профиль  
                  
 
 Re: Закон сохранения силовых линий
Сообщение12.01.2017, 19:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
63219
По вот этому определению:
мифический вектор $[\mathbf{v}\,d\pmb{\ell}]$ есть просто $\mathbf{E}_\text{индукции}.$

Получается, вопроса, как его находить, это всё не снимает: необходимо решать глобально ДУЧП либо для $\mathbf{E},$ либо для $\mathbf{v},$ один фиг. Плюс во втором случае неоднозначность выделения слагаемого $\mathbf{E}_\text{индукции}$ из $\mathbf{E}$ с точностью до гармонического слагаемого.

 Профиль  
                  
 
 Re: Закон сохранения силовых линий
Сообщение12.01.2017, 19:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/04/13
1355
Москва
Интересная тема. Навела на мысли определённые. Только вот уточнить бы хотелось.
Munin в сообщении #740392 писал(а):
линия поля $d\pmb{\ell}$

Можно бы точную формулировку того, что Вы понимаете под этим обозначением?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 21 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: profrotter, Jnrty, Парджеттер, Pphantom, whiterussian, Aer, photon, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group