Уравнение в целых числах

[SpBTimes]

Как методами 8-ого класса решить уравнение в целых числах: $m^2 - n^3 = 1$?
Я делал так: $n^3 = (m - 1)(m + 1)$, причем $(m-1, m+1) = 2$, или $(m-1, m+1) = 1$. Если они взаимно просты, то вроде бы все просто. А вот если $(m-1, m+1) = 2$, то как?
Очевидно, в таком случае $m-1 = 2a^3, m + 1 = 4b^3$. И нужно исследовать уравнение $1 = 2b^3 - a^3$. Но это чуть ли не сложнее, чем исходное. Или я чего-то не вижу?

[angor6]

SpBTimes
Теория чисел изучается на четвёртом курсе математического факультета университета. Вряд ли она доступна ученику восьмого класса школы...

Может быть, подойдёт следующая идея, основанная на использовании формулы Виета для свободного члена кубического уравнения $n^3+(1-m^2)=0:$

$1(1-m)(1+m)=-c_1c_2c_3$

$(c_1,~c_2,~c_3)$ - корни уравнения, с учётом того, что $m^2\geqslant 0$ и поэтому $n^3\geqslant -1,~n\geqslant -1.$

В частности, можно установить, положив $c_1=-1,$ что решением уравнения является $n=-1,~m=0.$ Положив $c_2=1-m,$ найдём решение $n=0,~m=1.$ Положив $c_3=1+m,$ найдём решение $n=0,~m=-1.$

[Otta]

angor6
Ну и попробуйте найти, где Вы при Ваших рассуждениях потеряли решение (3,2). Например.

[apriv]

angor6 в сообщении #739754 писал(а):

SpBTimes
Теория чисел изучается на четвёртом курсе математического факультета университета.

Это Вы смешно пошутили. Эйлер в 1738 году нашел все не то что целые, а рациональные решения этого уравнения. Понять его рассуждения вполне может восьмиклассник, поскольку они совершенно элементарны: там устраивается бесконечный спуск. Придумать такое рассуждение, конечно, может не всякий восьмиклассник (но тот, кто знаком с методом бесконечного спуска и разобрал несколько примеров попроще — может). Если нужны лишь целые решения, оно вроде бы упрощается, я не проверял. Вся необходимая для этого теория чисел изучается на первом курсе математического факультета университета (а талантливыми школьниками — еще раньше в кружках, летних школах и математических классах). Конечно, это элементарное решение Эйлера сложнее, чем современные методы борьбы с целыми точками на эллиптических кривых.

[angor6]

Otta
Где-то потерял... Наверное, подход предложенный мной, неверен. Буду иметь в виду.

-- 24.06.2013, 05:59 --

apriv
Я не шутил - это не по мне. Теория чисел как дисциплина действительно изучается на седьмом семестре. Первоначальные сведения даются на первом курсе.

А про исследование этого уравнения Эйлером я ничего не знал. Поэтому благодарю за информацию!

-- 24.06.2013, 06:00 --

SpBTimes
Как показали в мини-форуме, мой подход неверен. Прошу извинить!

-- 24.06.2013, 06:50 --

SpBTimes Otta
Можно продолжить предложенное мной решение. Подставляя в заданное уравнение числа $1-m,~1+m,$ получим два кубических уравнения относительно $m,$ после чего найдём остальные целые корни уравнения по виду свободного члена (используя формулу Виета). Думаю, найдётся и потерянный мной корень. Извините, если снова ошибся.

Не стал бы возвращаться к этой задаче, если бы не считал, что там, где можно обойтись методами, доступными "среднему" ученику, не нужно использовать методы, которые не входят в школьную программу. Хотя формулы Виета сами по себе в школе не изучаются, но являются обобщением темы "Квадратные уравнения". Моя учительница математики уделила этим формулам несколько минут, и они с тех пор запомнились мне. А я в математике ещё даже не подмастерье...

[nnosipov]

apriv в сообщении #739771 писал(а):

Понять его рассуждения вполне может восьмиклассник, поскольку они совершенно элементарны: там устраивается бесконечный спуск.

По-моему, Вы приукрашиваете. То доказательство, что мне известно, использует лемму Эйлера о том, когда число вида $A^2+3B^2$ является точным кубом. Доказательство этой леммы неэлементарно, во всяком случае, оно не для 8-классника, не говоря уж о том, что сам Эйлер её не доказал. Если Вам известно более простое доказательство, напишите его, обсудим.

apriv в сообщении #739771 писал(а):

Если нужны лишь целые решения, оно вроде бы упрощается, я не проверял.

Проще ничуть не становится, можете сами попробовать упростить доказательство.

Кстати, в некоторых сборниках олимпиадных задач это уравнение легко "решается" в целых числах, но только потому, что авторы не видят своих ошибок.

apriv в сообщении #739771 писал(а):

Конечно, это элементарное решение Эйлера сложнее, чем современные методы борьбы с целыми точками на эллиптических кривых.

Не кокетничайте, это неправда.

-- Пн июн 24, 2013 16:56:16 --

SpBTimes в сообщении #739715 писал(а):

Как методами 8-ого класса решить уравнение в целых числах: $m^2 - n^3 = 1$?

Никак, если Вы не имеете в виду 8-й класс в какой-нибудь 239-й школе.

[temp03]

SpBTimes
У меня получилось так:
$m^2=n^3+1=(n+1)(n^2-n+1)=(n+1)((n+1)^2-3(n+1)+3)$. Откуда
$\begin{cases} n+1=3a^2\\ (n+1)^2-3(n+1)+3=3b^2 \end{cases}$

Получается квадратное уравнение: $9(a^2)^2-9a^2+3-3b^2=0$ или $3p^2-3p+1-b^2=0$, дискриминант которого равен $12b^2-3=q^2$. Или $3(4b^2-1)=q^2$. Откуда $4b^2-1=3u^2$. Далее берём что $4b^2=t^2$ и приходим к $t^2-1=3u^2$. Это известное уравнение Пелля.

(Оффтоп)

но не в 8-м классе

[nnosipov]

temp03 в сообщении #739899 писал(а):

Это известное уравнение Пелля.

Угу. А вот дальше начинается самое интересное. Пожалуйста, продолжайте.

[temp03]

(Оффтоп)

не-а

[apriv]

nnosipov в сообщении #739891 писал(а):

По-моему, Вы приукрашиваете. То доказательство, что мне известно, использует лемму Эйлера о том, когда число вида $A^2+3B^2$ является точным кубом. Доказательство этой леммы неэлементарно, во всяком случае, оно не для 8-классника, не говоря уж о том, что сам Эйлер её не доказал. Если Вам известно более простое доказательство, напишите его, обсудим.

http://www.math.uconn.edu/~kconrad/blur ... yeuler.pdf

nnosipov в сообщении #739891 писал(а):

Не кокетничайте, это неправда.

Отчего же? Концептуальное решение всегда проще элементарного.

[SpBTimes]

nnosipov в сообщении #739891 писал(а):

Никак, если Вы не имеете в виду 8-й класс в какой-нибудь 239-й школе.

А если из 239?
Просто все равно все упирается у меня в теорию, которую и там не рассказывают - возню с кубическими корнями. А задача из какой-то там олимпиады для 8ых классов.

[nnosipov]

SpBTimes в сообщении #739975 писал(а):

А задача из какой-то там олимпиады для 8ых классов.

Ссылку приведите. Может, опечатка в условии? Скажем, уравнение $m^4-n^3=1$ вполне годится для такой олимпиады. Если же опечатки нет, то очень странно --- ничего более элементарного, кроме метода спуска, предложить не удаётся. Да и давать на олимпиаде классический результат в виде задачи --- зачем?

apriv в сообщении #739970 писал(а):

http://www.math.uconn.edu/~kconrad/blur ... yeuler.pdf

Да, есть такой вариант бесконечного спуска. Что-то подобное есть у Серпинского, где уравнение $x^3+y^3=2z^3$ решается сведением к уравнению $a^4+9a^2b^2+27b^4=c^2$, а последнее исследуется методом спуска. Не производит впечатления более простого по сравнению с классическим вариантом. Хотя, формально, это более элементарное рассуждение.

apriv в сообщении #739970 писал(а):

Концептуальное решение всегда проще элементарного.

Можно подумать, концептуальное решение --- это бесплатно. Да и "проще" можно понимать по-разному.