2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Математическая индукция для нескольких переменных
Сообщение18.06.2013, 17:37 


06/12/12
24
Добрый день! Иду по учебнику Алфутовой, попался интересный пример, в связи с чем парочка вопросов:
Собственно сама задача:
$2^{m+n-2}\geqslant mn
Мои идеи по решению были следующие.
Проверить базу индукции для $m,n=1
Сделать индукционное предположение о верности неравенства:
$2^{x+y-2}\geqslant xy
Далее делаем индуктивный шаг, получаем:
$4\cdot 2^{m+n-2}\geqslant xy+(x+y)+1
Из того что x,y - натуральные, я получаю
$xy\geqslant (x+y-1)
поэтому получаю следующее
$2\cdot 2^{m+n-2}\geqslant (xy-2^{x+y-2})+(xy-2^{x+y-2})+2
Скобки уничтожаются из индуктивного предмоложения, остается следующее:
$2^{m+n-2}\geqslant 1
Что справедливо исходя из натуральности $x\,y
Правильно или нет решение/суждения?
Мне сказали что это сильная математическая индукция (википедия сказала что это трансфинитивная индукция, ну я так ее понял)
Если нет, то как доказывать случаи:
$f(x,y)\geqslant g(x,y)
Да и для случая более чем 2-х переменных?
что почитать, автора/статьи? Знаний пока достаточно мало, в алфутовой ничего не говорится о трансфинитивной индукции.
Спасибо большое.

 i  Deggial: звездочку $*$ либо убрал, либо заменил на \cdot.

 Профиль  
                  
 
 Re: Математическая индукция для нескольких переменных
Сообщение18.06.2013, 17:57 


26/08/11
2057
Не лучше ли переписать неравенство в виде $2^{m-1} \times 2^{n-1} \ge m \times n$ и доказывать только $2^{x-1} \ge x$

-- 18.06.2013, 18:19 --

При индукционном переходе Вы одновременно увеличиваете x и y на единичку, таким образом доказываете, что если верно для $(x,y)$, верно и для $(x+1,y+1)$, но не доказали, что верно для $(x+1,y)$ например. Тоесть, доказали только случай $m=n$

 Профиль  
                  
 
 Re: Математическая индукция для нескольких переменных
Сообщение18.06.2013, 18:42 


06/12/12
24
Спасибо большое, в таком случае реально сработает, я даже и не догадался!
А насчет трансфинитной индукции, о ней где лучше почитать? Авторы/учебники и т.д.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group