2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Иррациональная система уравнений
Сообщение18.06.2013, 11:55 


11/10/11
84
Уважаемые участники форума!

Помогите, пожалуйста, разобраться с иррациональной системой уравнений:

$$\begin{cases}
2(\sqrt{x}+\sqrt{y})=3\sqrt{xy} \\
x+y=5 \\
\end{cases}$$

-- 18.06.2013, 15:01 --

Сделаем замену $\sqrt{x}=a$, $\sqrt{y}=b$. Получим:

$$\begin{cases}
2(a+b)=3ab  \\
a^2+b^2=5
\end{cases}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Иррациональная система уравнений
Сообщение18.06.2013, 12:19 


26/08/11
2057
Возьмите за новые переменные $a+b \text { и } ab$. Можно и сразу. Последние две уберите.

 Профиль  
                  
 
 Re: Иррациональная система уравнений
Сообщение18.06.2013, 12:46 


11/10/11
84
Shadow
Большое спасибо. Сейчас попробую.

-- 18.06.2013, 15:53 --

$$
\begin{cases}
2(a+b)=3ab  \\
a^2+2ab+b^2=5+2ab
\end{cases}
$$

$$
\begin{cases}
2(a+b)=3ab  \\
(a+b)^2=5+2ab
\end{cases}
$$

Пусть $a+b=c$, $ab=d$, тогда

$$
\begin{cases}
2c=3d  \\
c^2=5+2d
\end{cases}
$$

-- 18.06.2013, 16:34 --

Решая эту систему, получим:

$$
\begin{cases}
d=2 \\
c=3 \\
\end{cases}
\qquad
\begin{cases}
d=-\frac{10}{9} \\
c=-\frac53
\end{cases}
$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Иррациональная система уравнений
Сообщение18.06.2013, 14:06 


11/10/11
84
Делая обратную замену, получим:

$$
\begin{cases}
ab=2 \\
a+b=3 \\
\end{cases}
\qquad
\begin{cases}
ab=-\frac{10}{9} \\
a+b=-\frac53
\end{cases}
$$

-- 18.06.2013, 17:48 --

Решая эти две системы, получаем четыре решения:
$$
\begin{cases}
a=1 \\
b=2 \\
\end{cases}
\qquad
\begin{cases}
a=-1 \\
b=1  \\
\end{cases}
\qquad
\begin{cases}
a=\frac{\sqrt{65}-15}{6} \\
b=\frac{\sqrt{65}-5}{6} \\
\end{cases}
\qquad
\begin{cases}
a=\frac{\sqrt{65}-5}{6} \\
b=\frac{-\sqrt{65}-5}{6} \\
\end{cases}
$$

Делая ещё раз обратную замену, получим:
$$
\begin{cases}
\sqrt{x}=1 \\
\sqrt{y}=2 \\
\end{cases}
\qquad
\begin{cases}
\sqrt{x}=-1 \\
\sqrt{y}=1  \\
\end{cases}
\qquad
\begin{cases}
\sqrt{x}=\frac{\sqrt{65}-15}{6} \\
\sqrt{y}=\frac{\sqrt{65}-5}{6} \\
\end{cases}
\qquad
\begin{cases}
\sqrt{x}=\frac{\sqrt{65}-5}{6} \\
\sqrt{y}=\frac{-\sqrt{65}-5}{6} \\
\end{cases}
$$
Вторая, третья и четвёртая системы уравнений решений не имеют.

-- 18.06.2013, 17:53 --

Помогите, пожалуйста, найти ошибку.

 Профиль  
                  
 
 Re: Иррациональная система уравнений
Сообщение18.06.2013, 15:08 


26/08/11
2057
ain1984, зачем усложняете себе жизнь? Вообще не надо рассматривать отрицательные $d,c,a,b$

$a=-1,b=1$ - откуда взялось такое решение?

 Профиль  
                  
 
 Re: Иррациональная система уравнений
Сообщение18.06.2013, 19:55 


11/10/11
84
Shadow
Спасибо. Конечно Вы правы. А вторая система, конечно, не
$\begin{cases}
a=-1 \\
b=1  \\
\end{cases}$
a
$\begin{cases}
a=2 \\
b=1  \\
\end{cases}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Иррациональная система уравнений
Сообщение18.06.2013, 20:11 


19/05/10

3940
Россия

(Оффтоп)

Тут не иррациональная система уравнений, а система иррациональных уравнений. Что значит исходный термин точно не скажу, это по всей видимости система неких уравнений ни одно из которых рационально через другие не выражается

 Профиль  
                  
 
 Re: Иррациональная система уравнений
Сообщение18.06.2013, 22:34 
Заслуженный участник


27/04/09
28128

(Оффтоп)

Было уже подумал, что это система, непонятно как появившаяся и приводящая разум в хаос.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group