2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 равенство скалярного произведения на разных матемемат языках
Сообщение04.06.2013, 19:18 


22/06/12
417
из геометрического определения имеем:
$ab=\sqrt{(a^1)^2+(a^2)^2+(a^3)^2}\sqrt{(b^1)^2+(b^2)^2+(b^3)^2}\cos\widehat{ab}$
из тензорного определения имеем:
$ab=a^1b^1+a^2b^2+a^3b^3$

вопрос: есть ли способ как доказать равенства правых частей?

 Профиль  
                  
 
 Re: равенство скалярярного произведения на разных матем языках
Сообщение04.06.2013, 19:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Есть. Для этого надо, очевидно, выразить $\cos \angle(ab)$ через координаты векторов $a$ и $b$.

 Профиль  
                  
 
 Re: равенство скалярного произведения на разных матемемат языках
Сообщение04.06.2013, 19:23 


22/06/12
417
$ab/(\sqrt{(a^1)^2+(a^2)^2+(a^3)^2}\sqrt{(b^1)^2+(b^2)^2+(b^3)^2})=\cos\widehat{ab}$ ?

 Профиль  
                  
 
 Re: равенство скалярного произведения на разных матемемат языках
Сообщение04.06.2013, 19:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Угу, только это надо доказать.

 Профиль  
                  
 
 Re: равенство скалярного произведения на разных матемемат языках
Сообщение04.06.2013, 19:25 


19/05/10

3940
Россия
illuminates в сообщении #732569 писал(а):
...
вопрос: есть ли способ как доказать равенства правых частей?

есть, в любом учебнике по аналитической геометрии

 Профиль  
                  
 
 Re: равенство скалярного произведения на разных матемемат языках
Сообщение04.06.2013, 19:29 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
illuminates в сообщении #732569 писал(а):
есть ли способ как доказать равенства правых частей?

Есть, но это не мгновенная история. Если за основу принять первое, геометрическое определение, то некоторую трудность представляет доказательство линейности скалярного произведения. Но если оно доказано, то второй вариант получается мгновенно из разложения по базисным ортам. И есть тут ещё один нюанс.

 Профиль  
                  
 
 Re: равенство скалярного произведения на разных матемемат языках
Сообщение04.06.2013, 19:40 


22/06/12
417
mihailm
вот я честно смотрел. так и не нашёл.

-- 04.06.2013, 20:42 --

ewert
давайте предположим что оно линейно. Вопрос, как разложить это дело по базисным ортам?

 Профиль  
                  
 
 Re: равенство скалярного произведения на разных матемемат языках
Сообщение04.06.2013, 19:45 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
illuminates в сообщении #732594 писал(а):
давайте предположим что оно линейно. Вопрос, как разложить это дело по базисным ортам?

Банально -- взять и разложить. А вот предполагать линейность никак нельзя, она заранее совсем не очевидна. Она лишь может показаться очевидной, и то лишь потому, что привычна со школы.

 Профиль  
                  
 
 Re: равенство скалярного произведения на разных матемемат языках
Сообщение04.06.2013, 19:47 


19/05/10

3940
Россия
illuminates в сообщении #732594 писал(а):
mihailm
вот я честно смотрел. так и не нашёл.
...

учебник?

 Профиль  
                  
 
 Re: равенство скалярного произведения на разных матемемат языках
Сообщение04.06.2013, 20:05 


22/06/12
417
mihailm
да. можете меня носом ткнуть где вы видели доказательство?

ewert
я честное слово, даже представить себе не могу как разложить первое дело по базису. Раскладывать мы можем вектора, а это скаляр.

 Профиль  
                  
 
 Re: равенство скалярного произведения на разных матемемат языках
Сообщение04.06.2013, 20:14 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
illuminates в сообщении #732623 писал(а):
я честное слово, даже представить себе не могу как разложить первое дело по базису.

А я как раз могу себе представить, почему не можете себе представить. Дело в том, что у Вас первое определение неправильное в том смысле, что это никакое не определение. Правильное определение: $\vec a\cdot\vec b=|\vec a|\cdot\vec b|\cdot\cos\widehat{\vec a\vec b}$. Именно для этого определения и следует доказывать линейность. А то, что длины векторов выражаются через координаты -- это уже теорема. И следует это проще всего, между прочим, из второго, чисто координатного представления для скалярного произведения (хотя можно и без него).

 Профиль  
                  
 
 Re: равенство скалярного произведения на разных матемемат языках
Сообщение04.06.2013, 21:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/10
1600
spb
Линейность скалярного произведения, введенного как
ewert в сообщении #732628 писал(а):
: $\vec a\cdot\vec b=|\vec a|\cdot\vec b|\cdot\cos\widehat{\vec a\vec b}$

удобно доказывать, зная свойства проекций (точнее, предварительно их доказав)

 Профиль  
                  
 
 Re: равенство скалярного произведения на разных матемемат языках
Сообщение05.06.2013, 00:47 
Заслуженный участник


11/05/08
32166

(Оффтоп)

SpBTimes в сообщении #732661 писал(а):
удобно доказывать, зная свойства проекций (точнее, предварительно их доказав)

Я ровно так всегда и поступал. Это несколько извивисто с логической точки зрения (что не есть хорошо), но зато каждый следующий шаг не требует размышлений и получается на автомате (что хорошо есть).

 Профиль  
                  
 
 Re: равенство скалярного произведения на разных матемемат языках
Сообщение05.06.2013, 11:08 


22/06/12
417
ewert
ewert в сообщении #732628 писал(а):
Правильное определение: $\vec a\cdot\vec b=|\vec a|\cdot\vec b|\cdot\cos\widehat{\vec a\vec b}$

Давайте с начала. Допустим я доказал линейность, но я всеравно не понимаю как доказывать. Через теорему косинусов получается, но это как то не интересно. Не из первых принципов так сказать. Есть еще варианты?

 Профиль  
                  
 
 Re: равенство скалярного произведения на разных матемемат языках
Сообщение05.06.2013, 11:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Из первых принципов получится, что это равенство должно являться определением какого-то из участвующих в нём понятий (либо "косинус", либо "угол").

-- Ср, 2013-06-05, 12:46 --

ну, то есть если Вам теорема косинусов не нравится.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 17 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group