2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Условный экстремум
Сообщение30.05.2013, 12:38 


04/01/13
21
2 вопроса по задаче на условный экстремум:
Найти экстремум функции $u=xy^2z^3$ при условии $x+y^2+z^3=1$ $(x>0, y>0, z>0)$.
Функция Лагранжа: $L=xy^2z^3 - \lambda(x+y^2+z^3-1)$.
Берем частные производные, получаем систему:
$\left\{%
\begin{array}{cl}
y^2z^3-\lambda=0; \\
xyz^3-\lambda y =0; \\
xy^2z^2 - \lambda z^2=0; \\
x+y^2+z^3 =1; \\
\end{array}%
\right.$$
От нее можно перейти к системе
$\left\{%
\begin{array}{cl}
\lambda(x-y^2)=0; \\
\lambda(x-z^3)=0; \\
\lambda(y^2-z^3)=0; \\
x+y^2+z^3=1; \\
\end{array}%
\right.$$
Получаем точку $(1/3,1/\sqrt{3},1/\sqrt[3]{3})$ со значением $\lambda=1/9$.
1) А стоит ли рассматривать значение $\lambda=0$? Ведь тогда условие пропадает.
Далее, когда я брал вторые частные производные, последовательность знаков угловых миноров в матрице Якоби получилась такая: $ 0 - +$, поэтому я решил что у функции $L $ нет экстремума, однако в задачнике Демидовича написано следующее:
Вопрос о существовании и характере условного экстремума в простейшем случае решается на основании исследования знака второго дифференциала $d^2L(P_0)$ в стационарной точке $P_0$ фунции $L(P)$ при условии, что переменные $dx_1, \cdots , dx_n$ связаны соотношениями
$\sum_{j=0}^n\frac{\partial \phi_i}{\partial x_j} dx_j =0  (i=1,\cdots,m)$ (тут предполагается что условий не одно, а m).
2) Правильно ли я понимаю, что в моем случае нужно записать $dx+2ydy+3z^2dz=0$, выразить $dx$ например, подставить в $d^2L$, составлять матрицу из частных производных уже по $z$ и $y$ и смотреть, является ли она положительно или отрицательно определенной?

 Профиль  
                  
 
 Re: Условный экстремум
Сообщение30.05.2013, 12:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Абоминация какая-то. Зачем столько букв? Тупо берём за новые переменные $x,\,y^2,\;\text{и}\;z^3$

 Профиль  
                  
 
 Re: Условный экстремум
Сообщение30.05.2013, 12:53 


04/01/13
21
ИСН, спасибо, а так можно? Дифференциал будет совсем другой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Условный экстремум
Сообщение30.05.2013, 12:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
В условии задачи нет слова "дифференциал". Я предлагаю заменить задачу на другую, эквивалентную ей, но которую, возможно, легче решать. Каким методом решать - Ваше дело. Хоть дифференциалами, хоть марсианскими голубошёрстными котиками. Сам процесс решения, вероятно, будет отличаться от Вашего первоначального - разумеется, ведь это другая задача.

 Профиль  
                  
 
 Re: Условный экстремум
Сообщение30.05.2013, 15:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/07/09
1178
ИСН в сообщении #730338 писал(а):
Абоминация какая-то. Зачем столько букв? Тупо берём за новые переменные $x,\,y^2,\;\text{и}\;z^3$

Ещё менее абоминированно будет взять за новые переменные только $u=x$ и $v=y^2$, а $z^3$ выразить.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group