2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: Диофантовые уравнения и тригонометрия.
Сообщение05.06.2013, 20:09 


26/08/11
1656
nnosipov в сообщении #733073 писал(а):
Параметризация $x=2t/(1+t^2)$, $y=(1-t^2)/(1+t^2)$ не позволяет получить только одну рациональную точку --- $(x,y)=(0,-1)$.
Потому что секущие проводят через нее и $(t,0)$. А нельзя ли сказать (условно), что она получается как предельная при $t\to \infty$? ...касательная к окружности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантовые уравнения и тригонометрия.
Сообщение05.06.2013, 20:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/07
692
sergei1961 в сообщении #733153 писал(а):
Жаль, что не видно применений этого семейства к диофантовым уравнениям. Мы в эту сторону и не думали. Или можно что-то придумать?

Неисповедимы пути математики :shock:

Продолжу.
4.Соотношения эквивалентности.
Обозначим множество всех квадратов рациональных чисел через $\mathbb{M}$
Примем, два рациональных числа эквивалентны, $a \sim b$,
если их отношение, $$\frac{a}{b} \in \mathbb{M}$
Некоторые соотношения.
$$S\left( {T_k } \right) = \frac{{2T_k }}{{1 + T_k ^2 }} = 2T_k 
C_k ^2  \sim 2T_k $
$$\begin{array}{l}
 T\left( {C_k } \right) \sim 2C_k  \\ 
 T\left( {S_k } \right) \sim 2S_k  \\ 
 \end{array}$

Пример.
Серпинский в своей книге "О решении уравнений в целых числах" в параграфе 11 приводит задачу, которой занимался Эйлер - найти три натуральных числа для которых каждое из шести чисел $ x \pm y,x \pm z,y \pm z $ является квадратом натурального числа. Эйлер нашёл вспомогательное уравнение, целочисленные решения которого позволяют находить эти числа
$t^2=(b^4-a^4)(d^4-c^4)$
и нашёл два числовых решения.
Покажем сначала, что функции
$z^2=(1-x^4)(1-y^4)$ и $z^2=T_x T_y $ рационально эквивалентны. То есть, существуют рациональные преобразования переводящие рациональные точки первой кривой во вторую, и обратно.

$$\left( {1 - m^4 } \right)\left( {1 - n^4 } \right) \sim C_m C_n  \sim T\left( {C_m } \right)T\left( {C_n } \right)$

$$T_t T_k  \sim S\left( {T_t } \right)S\left( {T_k } \right) \sim C\left( {\frac{{1 - T_t }}{{1 + T_t }}} \right)C\left( {\frac{{1 - T_k }}{{1 + T_k }}} \right) \sim \left( {1 - \left( {\frac{{1 - T_t }}{{1 + T_t }}} \right)^4 } \right)\left( {1 - \left( {\frac{{1 - T_k }}{{1 + T_k }}} \right)^4 } \right)$

Выше я приводил формулу
$$T_x \cdot T\left( {S\left( {T_x } \right)} \right) = \left[ {\frac{{2S_x }}{{\left( {C_x ^2 - S_x ^2 } \right)}}} \right]^2 \in \mathbb{M} $
Отсюда

$$T_t  \cdot T\left( {S\left( {T_k } \right)} \right) \sim \left( {1 - \left( {\frac{{1 - T_t }}{{1 + T_t }}} \right)^4 } \right)\left( {1 - \left( {\frac{{1 - T\left( {S\left( {T_k } \right)} \right)}}{{1 + T\left( {S\left( {T_k } \right)} \right)}}} \right)^4 } \right) \in \mathbb{M}$

То есть мы получили, довольно просто, параметрические решения уравнения $$z^2=(1-x^4)(1-y^4)$

$$x = \frac{{1 - T_k }}{{1 + T_k }},y = \frac{{1 - T\left( {S\left( {T_k } \right)} \right)}}{{1 + T\left( {S\left( {T_k } \right)} \right)}}$

Теперь самое страшное - приведём решения к нормальному виду.

$$x = \frac{{1 - \frac{{2t}}{{1 - t^2 }}}}{{1 + \frac{{2t}}{{1 - t^2 }}}} = \frac{{1 - 2t - t^2 }}{{1 + 2t - t^2 }}$


$$
y = \frac{{1 - \frac{{2S\left( {T_k } \right)}}{{1 - S^2 \left( {T_k } \right)}}}}{{1 + \frac{{2S\left( {T_k } \right)}}{{1 - S^2 \left( {T_k } \right)}}}} = \frac{{1 - 2S\left( {T_k } \right) - S^2 \left( {T_k } \right)}}{{1 + 2S\left( {T_k } \right) - S^2 \left( {T_k } \right)}} = \frac{{1 - 2\frac{{4k\left( {1 - k^2 } \right)}}{{\left( {1 + k^2 } \right)^2 }} - \left( {\frac{{4k\left( {1 - k^2 } \right)}}{{\left( {1 + k^2 } \right)^2 }}} \right)^2 }}{{1 + 2\frac{{4k\left( {1 - k^2 } \right)}}{{\left( {1 + k^2 } \right)^2 }} - \left( {\frac{{4k\left( {1 - k^2 } \right)}}{{\left( {1 + k^2 } \right)^2 }}} \right)^2 }} = 
$

$$
 = \frac{{\left( {1 + k^2 } \right)^4  - 8k\left( {1 - k^2 } \right)\left( {1 + k^2 } \right)^2  - 16k^2 \left( {1 - k^2 } \right)^4 }}{{\left( {1 + k^2 } \right)^4  + 8k\left( {1 - k^2 } \right)\left( {1 + k^2 } \right)^2  - 16k^2 \left( {1 - k^2 } \right)^4 }}$

При $k=2$ получим

$x=-7,y=-1249/1151$

$(1-x^4)(1-y^4)=(40353600/1324801)^2$

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантовые уравнения и тригонометрия.
Сообщение06.06.2013, 01:09 
Заслуженный участник


16/02/13
2869
Владивосток
Как-то странно, что $x$ зависит от $t$, а $y$ — от $k$, нет?

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантовые уравнения и тригонометрия.
Сообщение06.06.2013, 10:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/07
692
iifat в сообщении #733319 писал(а):
Как-то странно, что $x$ зависит от $t$, а $y$ — от $k$, нет?

Это моя невнимательность, спасибо.
Конечно всё зависит от одного аргумента $k$
$$x = \frac{{1 - \frac{{2k}}{{1 - k^2 }}}}{{1 + \frac{{2k}}{{1 - k^2 }}}} = \frac{{1 - 2k - k^2 }}{{1 + 2k - k^2 }}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантовые уравнения и тригонометрия.
Сообщение21.06.2013, 00:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/07
692
Приведу ещё несколько формул
1).Пусть $(x_0 ,y_0 )$ рациональная точка эллиптической кривой $y^2  = x^3  - h^2 x$
$$ y_0 ^2  = x_0 \left( {x_0 ^2  - h^2 } \right)  $. Заменим $   x_0  = ht    $
Тогда $$ y_0 ^2  = h^3 t\left( {t^2  - 1} \right) \sim \left( { - 2h} \right)\frac{{2t}}{{1 - t^2 }} =  - 2hT_t $
Воспользовавшись эквивалентностью $T_t  \sim T\left( {S\left( {T_t } \right)} \right)$
( то есть их отношение равно квадрату) получим $  y_0 ^2  \sim \left( { - 2h} \right)T\left( {S\left( {T_t } \right)} \right)  $
Отсюда $   x_1  = hS\left( {T_t } \right)   $ также является решением исходного эллиптического уравнения. Конечно, его можно получить и по формуле удвоения.

2).Приведу ещё одно параметрическое решения эллиптического уравнения

$$z^2  = T_x T_y  = \frac{{2x}}{{1 - x^2 }} \cdot \frac{{2y}}{{1 - y^2 }}$

$$ x = \frac{{3 - C_k }}{{2C_k }},y = \frac{{3 + C_k }}{{2C_k }}$

3). Для рационального кубоида Эйлера со сторонами $a=T_x,b=T_y,c=1$
есть красивое параметрическое решение $ x=2S_t,y= 2C_t$

$$T^2 \left( {2S_k } \right) + T^2 \left( {2C_k } \right) = \left( {\frac{{T\left( {2S_k } \right)T\left( {2C_k } \right)}}{{4S_k C_k }}} \right)^2$

4).Если система

$$ \left\{ \begin{array}{l}
 a^2  + b^2  = m^2  \\ 
 a^2  - b^2  = n^2  \\ 
 \end{array} \right. $
не имеет нетривиальных рациональных решений, то система

$$ \left\{ \begin{array}{l}
 \left( {a^2  + b^2 } \right)\left( {c^2  + d^2 } \right) = m^2  \\ 
 \left( {a^2  - b^2 } \right)\left( {c^2  - d^2 } \right) = n^2  \\ 
 \end{array} \right.$

уже имеет даже параметрические решения

$$\begin{array}{l}
 a = C_k  + S_k  \\ 
 b = C_k  - S_k  \\ 
 c = C\left( {S\left( {T_k } \right)} \right) + S\left( {S\left( {T_k } \right)} \right) \\ 
 d = C\left( {S\left( {T_k } \right)} \right) - S\left( {S\left( {T_k } \right)} \right) \\ 
 \end{array}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантовые уравнения и тригонометрия.
Сообщение22.06.2013, 00:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/07
692
5. Применение к некоторым нелинейным рекуррентным последовательностям.

В самом начале мы ввели комплексную функцию

$$ E\left( x \right) = \frac{{1 - x^2 }}{{1 + x^2 }} + 
i\frac{{2x}}{{1 + x^2 }} = C_x  + iS_x   $

со свойством

$$ E\left( x \right)E\left( y \right) = E\left( {\frac{{x + y}}{{1
 - xy}}} \right) = C\left( {\frac{{x + y}}{{1 - xy}}} \right) + iS\left(
 {\frac{{x + y}}{{1 - xy}}} \right)$

Далее. Для двух чисел $  x,y  $ введём коммутативную бинарную операцию

$$\left[ x \right]\left[ y \right] = \left[ {\frac{{x + y}}{{1 - 
xy}}} \right]  $

Мы получили группу с коммутативной бинарной операцией, с единицей $ [0] $, с обратным элементом к [x] равным [-x]
$$ [x][y]=[y][x]$

$$ [x][0]=[x]$

Будем считать, что $$[x]^n=[x][x]...[x]$ - последовательное применение бинарной операции $n$ раз
В частности

$$ \[
\left[ x \right]^2  = \left[ {\frac{{2x}}{{1 - x^2 }}} \right] = \left[ {
 - i\frac{{\left( {1 + ix} \right)^2  - \left( {1 - ix} \right)^2 
}}{{\left( {1 + ix} \right)^2  + \left( {1 - ix} \right)^2 }}} \right]
\]  $

Индукцией по $n$ доказывается формула

$$ \[
\left[ x \right]^n  = \left[ { - i\frac{{\left( {1 + ix} \right)^n  - 
\left( {1 - ix} \right)^n }}{{\left( {1 + ix} \right)^n  + \left( {1 - 
ix} \right)^n }}} \right]
\]$
1)Рассмотрим рекуррентное соотношение

$$x_n  = \frac{{2x_{n - 1} }}{{1 - x_{n - 1}^2 }}$


Тогда
$$\left[ {x_n } \right] = \left[ {\frac{{2x_{n - 1} }}{{1 - x_{n - 1} ^2 }}} \right] = \left[ {x_{n - 1} } \right]^2  $

$$\left[ {x_n } \right] = \left[ {x_{n - 1} } \right]^2  = \left[ {x_{n - 2} } \right]^{2^2 }  = \left[ {x_{n - 3} } \right]^{2^3 }  = ... = \left[ {x_0 } \right]^{2^n }  = \left[ { - i\frac{{\left( {1 + ix_0 } \right)^{2^n }  - \left( {1 - ix_0 } \right)^{2^n } }}{{\left( {1 + ix_0 } \right)^{2^n }  + \left( {1 - ix_0 } \right)^{2^n } }}} \right]$

$$x_n  =  - i\frac{{\left( {1 + ix_0 } \right)^{2^n }  - \left( {1 - ix_0 } \right)^{2^n } }}{{\left( {1 + ix_0 } \right)^{2^n }  + \left( {1 - ix_0 } \right)^{2^n } }}$

2)Сразу же можно получить решение следующей рекуррентной последовательности

$$x_n  = \frac{{2x_{n - 1} }}{{1 + x_{n - 1} ^2 }} \to \left( {ix_n } \right) = \frac{{2\left( {ix_{n - 1} } \right)}}{{1 - \left( {ix_{n - 1} } \right)^2 }}$

$$
ix_n  =  - i\frac{{\left( {1 - x_0 } \right)^{2^n }  - \left( {1 + x_0 } \right)^{2^n } }}{{\left( {1 - x_0 } \right)^{2^n }  + \left( {1 + x_0 } \right)^{2^n } }} \to x_n  = \frac{{\left( {1 + x_0 } \right)^{2^n }  - \left( {1 - x_0 } \right)^{2^n } }}{{\left( {1 + x_0 } \right)^{2^n }  + \left( {1 - x_0 } \right)^{2^n } }}
$

3)Рассмотрим ещё одну рекуррентную последовательность

$$y_n  = \frac{{a + by_{n - 1} }}{{c + dy_{n - 1} }}$

С помощью последовательных замен переменных её можно свести к виду

$$x_n  = \frac{{h + x_{n - 1} }}{{1 - hx_{n - 1} }}$

Сначала заменой $ y_n  = u_n  + t$ и выбором

$$t = \frac{{b - d - 1}}{d}$

мы приводим к виду

$$u_n  = \frac{{m + u_{n - 1} }}{{1 + ku_{n - 1} }}$

Затем заменой

$$ u_n \sqrt { - \frac{k}{m}}  = x_n$

мы и приходим последовательность к нужному виду. Далее


$$x_n  = \frac{{h + x_{n - 1} }}{{1 - hx_{n - 1} }} \to \left[ {x_n } \right] = \left[ {\frac{{h + x_{n - 1} }}{{1 - hx_{n - 1} }}} \right] = \left[ h \right]\left[ {x_{n - 1} } \right]$

$$\[
\left[ {x_n } \right] = \left[ h \right]\left[ {x_{n - 1} } \right] = \left[ h \right]^2 \left[ {x_{n - 2} } \right] = ... = \left[ h \right]^n \left[ {x_0 } \right] = \left[ { - i\frac{{\left( {1 + ih} \right)^n  - \left( {1 - ih} \right)^n }}{{\left( {1 + ih} \right)^n  + \left( {1 - ih} \right)^n }}} \right]\left[ {x_0 } \right]
\]

$

Окончательно

$$ \[
x_n  = \frac{{x_0  - i\frac{{\left( {1 + ih} \right)^n  - \left( {1 - ih} \right)^n }}{{\left( {1 + ih} \right)^n  + \left( {1 - ih} \right)^n }}}}{{1 + x_0 i\frac{{\left( {1 + ih} \right)^n  - \left( {1 - ih} \right)^n }}{{\left( {1 + ih} \right)^n  + \left( {1 - ih} \right)^n }}}} = \frac{{x_0 \left( {\left( {1 + ih} \right)^n  + \left( {1 - ih} \right)^n } \right) - i\left( {\left( {1 + ih} \right)^n  - \left( {1 - ih} \right)^n } \right)}}{{x_0 \left( {\left( {1 + ih} \right)^n  + \left( {1 - ih} \right)^n } \right) + i\left( {\left( {1 + ih} \right)^n  - \left( {1 - ih} \right)^n } \right)}}
\]
$

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантовые уравнения и тригонометрия.
Сообщение29.06.2013, 14:57 
Заслуженный участник


17/09/10
1617
Пусть $x,y$ - рациональные числа такие, что $S(x)\ne{S(y)}$. При каком наименьшем натуральном $k$ найдутся $x,y$ такие, что $S(x)=2^k{S(y)}$ ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантовые уравнения и тригонометрия.
Сообщение16.07.2013, 15:49 
Заслуженный участник


17/09/10
1617
Ответ здесь $k=4$. $k=5$ тоже дает решение. (А $k=6$ уже не даёт)
Это ответ нетривиальный. Полагал, что развитый аппарат автора, возможно, может дать ответ. Но, насколько я понял, теория здесь молчит.
Тогда такой вопрос. При каком наименьшем $N>1$ - натуральном, возможно равенство $S(x)=NS(y)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантовые уравнения и тригонометрия.
Сообщение19.07.2013, 14:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/07
692
scwec в сообщении #741567 писал(а):
Пусть $x,y$ - рациональные числа такие, что $S(x)\ne{S(y)}$. При каком наименьшем натуральном $k$ найдутся $x,y$ такие, что $S(x)=2^k{S(y)}$ ?


scwec в сообщении #746465 писал(а):
Ответ здесь $k=4$. $k=5$ тоже дает решение. (А $k=6$ уже не даёт)
Это ответ нетривиальный. Полагал, что развитый аппарат автора, возможно, может дать ответ. Но, насколько я понял, теория здесь молчит.
Тогда такой вопрос. При каком наименьшем $N>1$ - натуральном, возможно равенство $S(x)=NS(y)$


Я уже отмечал ранее, что данный "аппарат" кроме существенного упрощения решений некоторых частных диофантовых задач, выявления интересных связей, ничего нового не даёт, ибо он не даёт никаких новых теорем. Единственное, что он ("аппарат") может сказать для данной задачи, что если для некоторых $x,y$ выполняется соотношение $S(x)=NS(y)$, то оно выполняется и для соотношения

$$S\left( {T_x C_y } \right) = N \cdot S\left( {T_y C_x } \right)$

что уже не очевидно при нахождении других решений обычными методами.
Да и вообще он больше "заточен" под рациональные числа, когда известно некоторое частное решение. Хотя некоторые задачи решаемы и без начальных частных решений. Примеры я приводил выше. Но вот выделение из них целочисленных решений ему не под силу. Слабоват. :x

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантовые уравнения и тригонометрия.
Сообщение20.07.2013, 15:06 
Заслуженный участник


17/09/10
1617
Коровьев в сообщении #747442 писал(а):
если для некоторых $x,y$ выполняется соотношение $S(x)=NS(y)$, то оно выполняется и для соотношения $S(T_x{C_y})=N\cdot{S(T_y}{C_x})$

Вы уже удачно приводили эту формулу в другой теме. Я это помню.
Конечно, жаль, что находить начальные решения не стало проще. Может быть, позже я открою тему по поводу решения уравнения $S(x)=NS(y)$.
Вообще, Ваши построения мне понравились.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантовые уравнения и тригонометрия.
Сообщение01.02.2015, 19:39 


05/02/07
266
Коровьев в сообщении #733045 писал(а):
Во многих учебниках по теории чисел просто доказывается, что при взаимно простых целых числах $a,b$ уравнение
$$\left( {2ab} \right)^2  + \left( {a^2  - b^2 } \right)^2  = \left( {a^2  + b^2 } \right)^2$
Описывает все целочисленные пифагоровы треугольники.
---------------------

В книге Рибенбойма П. Последняя теорема Ферма для любителей, стр. 19-20. http://www.vixri.com/d/Ribenbojm%20P.%20_Poslednjaja%20teorema%20Ferma.pdf
есть другая целочисленная параметризация (автор Боттари, 1908 г., стр. 19-20):
$x=2^{2s-1}a^2+2^{s}ab$,
$y=b^2+2^{s}ab$,
$z=2^{2s-1}a^2+b^2+2^{s}ab$.
Тривиально, из неё получаем рациональные решения уравнения $z^2=x^2+y^2$.
Будет ли такая параметризация давать все рациональные решения этого уравнения?

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантовые уравнения и тригонометрия.
Сообщение18.03.2015, 01:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/07
692
6.Формула Герона.

Случайно вышел на интересное тригонометрическое тождество, полученное из формулы Герона.
Пусть
$$\[
\left\{ \begin{array}{l}
 a = \sin \left( \alpha  \right) \\ 
 b = \sin \left( \beta  \right) \\ 
 c = \sin \left( {\alpha  + \beta } \right) \\ 
 \end{array} \right.
\]$
тогда
$$\[
16S^2  = \left( {a + b + c} \right)\left( {a + b - c} \right)\left( {a - b + c} \right)\left( { - a + b + c} \right) = \left( {2\sin \left( \alpha  \right)\sin \left( \beta  \right)\sin \left( {\alpha  + \beta } \right)} \right)^2 
\]$
Заменив тригонометрические функции на их диофантовые аналоги
$$\[
\left\{ \begin{array}{l}
a= S\left( t \right) = \frac{{2t}}{{1 + t^2 }} \\ 
b = S\left( k \right) = \frac{{2k}}{{1 + k^2 }} \\ 
c = S\left( {\frac{{k + t}}{{1 - kt}}} \right) = \frac{{2\left( {\frac{{k + t}}{{1 - kt}}} \right)}}{{1 + \left( {\frac{{k + t}}{{1 - kt}}} \right)^2 }} = \frac{{2\left( {k + t} \right)\left( {1 - kt} \right)}}{{\left( {1 + k^2 } \right)\left( {1 + t^2 } \right)}} \\ 
 \end{array} \right.
\]$
получим параметризацию уравнения Герона.
$$\[
\left( {a + b + c} \right)\left( {a + b - c} \right)\left( {a - b + c} \right)\left( { - a + b + c} \right) = \left( {2S\left( k \right)S\left( t \right)S\left( {\frac{{k + t}}{{1 - kt}}} \right)} \right)^2  = \left( {\frac{{16kt\left( {k + t} \right)\left( {1 - kt} \right)}}{{\left( {1 + k^2 } \right)^2 \left( {1 + t^2 } \right)^2 }}} \right)^2 
\]$
Покажем, что эта параметризация охватывает все рациональные решения для уравнения Герона с точностью до общего постоянного рационального множителя для $a,b,c$.
Возьмём треугольник с рациональными длинами сторон $a,b,c$ и рациональной площадью.
1)В треугольнике с рациональными длинами сторон любая высота делит основание на рациональные отрезки.
2)В треугольнике с рациональными длинами сторон и рациональной площадью все высоты рациональны.
3)Если для рациональных $a,b,c$ выполняется $a^2  + b^2  = c^2$, то существует такое рациональное $k$ что выполняются соотношения
$$\[
\left\{ \begin{array}{l}
 a = cS\left( k \right) = c\frac{{2k}}{{1 + k^2 }} \\ 
 b = cC\left( k \right) = c\frac{{1 - k^2 }}{{1 + k^2 }} \\ 
 \end{array} \right.
\]$


В данном треугольнике высота $h$ опущенная на сторону $c$ делит её на рациональные отрезки $x,c-x$
тогда имеем
$$\[
\begin{array}{l}
 a^2  = x^2  + h^2  \\ 
 \left\{ \begin{array}{l}
 x = aC_k  \\ 
 h = aS_k  \\ 
 \end{array} \right. \\ 
 \end{array}
\]$

$$\[
\begin{array}{l}
 b^2  = \left( {c - x} \right)^2  + h^2  \\ 
 \left\{ \begin{array}{l}
 c - x = bC_t  \\ 
 h = bS_t  \\ 
 \end{array} \right. \\ 
 \end{array}
\]$

$$\[
b = a\frac{{S_k }}{{S_t }}
\]$

$$\[
c = a\left( {C_k  + \frac{{S_k }}{{S_t }}C_t } \right) = a\frac{{S_k C_t  + S_t C_k }}{{S_t }} = a\frac{{S \left( {\frac{{k + t}}{{1 - kt}}} \right)}}{{S_t }}
\]$
Домножив все стороны на ${S_t }$ получим треугольник со сторонами
$$\[
\left\{ \begin{array}{l}
 A = aS\left( t \right) = a\frac{{2t}}{{1 + t^2 }} \\ 
  \\ 
 B = aS\left( k \right) = a\frac{{2k}}{{1 + k^2 }} \\ 
  \\ 
 C = aS\left( {\frac{{k + t}}{{1 - kt}}} \right) = a\frac{{2\left( {k + t} \right)\left( {1 - kt} \right)}}{{\left( {1 + k^2 } \right)\left( {1 + t^2 } \right)}} \\ 
 \end{array} \right.
\]$

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантовые уравнения и тригонометрия.
Сообщение07.08.2015, 14:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/07
692
7. Обратные функции.

Наряду с диофантовыми аналогами тригонометрических функций можно рассмотреть и их обратные функции.
Правда, куда их приткнуть практически, я не нашёл. Но у них тоже есть аналоги с обратными тригонометрическими функциями.

Введём обозначения для обратных функций

$$
\[
AS\left( t \right) = \frac{{1 - \sqrt {1 - t^2 } }}{t},S\left( t \right) = \frac{{2t}}{{1 + t^2 }}
\]
$

$$
\[
AC\left( t \right) = \sqrt {\frac{{1 - t}}{{1 + t}}} ,C\left( t \right) = \frac{{1 - t^2 }}{{1 + t^2 }}
\]
$

$$
\[
AT\left( t \right) = \frac{{ - 1 + \sqrt {1 + t^2 } }}{t},T\left( t \right) = \frac{{2t}}{{1 - t^2 }}
\]
$

Есстественно выполняются соотношения

$$
\[
\begin{array}{l}
 AS\left( {S\left( t \right)} \right) = S\left( {AS\left( t \right)} \right) = t \\ 
 AC\left( {C\left( t \right)} \right) = C\left( {AC\left( t \right)} \right) = t \\ 
 AT\left( {T\left( t \right)} \right) = T\left( {AT\left( t \right)} \right) = t \\ 
 \end{array}
\]
$

Но, что интересно, выполняются и соотношения, аналогичные соотношениям между обратными тригонометрическими функциями.

$$
\[
AS\left( x \right) = AC\left( {\sqrt {1 - x^2 } } \right) \to {\rm{\arcsin}}\left( x \right){\rm{ = \arccos}}\left( {\sqrt {1 - x^2 } } \right)
\]
$

$$
\[
AS\left( x \right) = AT\left( {\frac{x}{{\sqrt {1 - x^2 } }}} \right) \to {\rm{\arcsin}}\left( x \right){\rm{ = \arctan}}\left( {\frac{x}{{\sqrt {1 - x^2 } }}} \right)
\]
$

$$
\[
AT\left( x \right) = AS\left( {\frac{x}{{\sqrt {1 - x^2 } }}} \right) \to {\rm{\arctan}}\left( x \right){\rm{ = \arcsin}}\left( {\frac{x}{{\sqrt {1 - x^2 } }}} \right)
\]
$

$$
\[
AT\left( x \right) = AC\left( {\frac{1}{{\sqrt {1 - x^2 } }}} \right) \to {\rm{\arctan}}\left( x \right){\rm{ = \arccos}}\left( {\frac{1}{{\sqrt {1 - x^2 } }}} \right)
\]
$


Прослеживается и связь с тригонометрическим тождеством

$$
\[
{\rm{\arcsin}}\left( x \right) + {\rm{\arccos}}\left( x \right) \equiv \frac{\pi }{2} \to \sin \left( {{\rm{\arcsin}}\left( x \right) + {\rm{\arccos}}\left( x \right)} \right) \equiv 1
\]
$

$$
\[
\frac{{AS\left( x \right) + AC\left( x \right)}}{{1 - AS\left( x \right) \cdot AC\left( x \right)}} \equiv 1 \to S\left( {\frac{{AS\left( x \right) + AC\left( x \right)}}{{1 - AS\left( x \right) \cdot AC\left( x \right)}}} \right) \equiv 1
\]$

Конечно, виды тождеств немного разняться, ввиду разного подхода к сложению аргументов, но если разложить

$$
\[
\sin \left( {{\rm{\arcsin}}\left( x \right) + {\rm{\arccos}}\left( x \right)} \right)
\]
$
и

$$
\[
S\left( {\frac{{AS\left( x \right) + AC\left( x \right)}}{{1 - AS\left( x \right) \cdot AC\left( x \right)}}} \right)
\]
$
по формулам разложения, то аналог будет полный.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантовые уравнения и тригонометрия.
Сообщение08.08.2015, 19:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/07
692
8. Об обратной функции для E(x)

Ранее была введена функция E(x) со свойствами показательной функции

$$
\[
E\left( x \right) = C\left( x \right) + S\left( x \right)i = \frac{{1 - x^2 }}{{1 + x^2 }} + \frac{{2x}}{{1 + x^2 }}i
\]$

аналогичная формуле Эйлера

$$
\[
e^{ix}  = \cos x + i\sin x
\]
$

Найдём обратную функцию для функции $$\[x = E\left( y \right)\]$

$$
\[
E\left( y \right) = \frac{{1 - y^2 }}{{1 + y^2 }} + \frac{{2y}}{{1 + y^2 }}i = \frac{{\left( {1 + yi} \right)^2 }}{{\left( {1 - yi} \right)\left( {1 + yi} \right)}} = \frac{{1 + yi}}{{1 - yi}} = x
\]
$

И, следовательно обратная функция для функции $$\[x = E\left( y \right)\]$ равна

$$
\[
y = \frac{{1 - x}}{{1 + x}}i = L\left( x \right)
\]
$

Тогда

$$
\[
E\left( {L\left( x \right)} \right) = L\left( {E\left( x \right)} \right) = x
\]
$

Функция

$$
\[
L\left( x \right) = \frac{{1 - x}}{{1 + x}}i
\]
$

выступает почти как аналог логарифма.

$$
\[
E\left( \alpha  \right) \cdot E\left( \beta  \right) = E\left( {\frac{{\alpha  + \beta }}{{1 - \alpha \beta }}} \right)
\]
$


$$
\[
L\left( {E\left( \alpha  \right) \cdot E\left( \beta  \right)} \right) = L\left( {E\left( {\frac{{\alpha  + \beta }}{{1 - \alpha \beta }}} \right)} \right) = \frac{{\alpha  + \beta }}{{1 - \alpha \beta }}
\]
$

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантовые уравнения и тригонометрия.
Сообщение10.08.2015, 20:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/07
692
9. О замене тригонометрических функций на их диофантовые аналоги в некоторых уравнениях

В разделе Олимпиадные задачи в задаче "Найти рациональные точки на кривой кардиоиде"

$
\left( {x^2  + y^2  - 1} \right)^2  = 4\left( {x - 1} \right)^2  + 4y^2 
$

с её параметрическим выражением
$
\[
\left\{ \begin{array}{l}
x = 2\cos \alpha  - \cos 2\alpha  \\ 
y = 2\sin \alpha  - \sin 2\alpha  \\ 
\end{array} \right.
\]
$

я заменил (без всяких на то оснований) в параметрических уравнениях тригонометрические функции на их диофантовые аналоги
$
\[
\left\{ \begin{array}{l}
x = 2C\left( t \right) - C\left( {\frac{{2t}}{{1 - t^2 }}} \right) \\ 
y = 2S\left( t \right) - S\left( {\frac{{2t}}{{1 - t^2 }}} \right) \\ 
\end{array} \right.
\]$

и получил чудесным образом верное решение исходного уравнения в рациональных числах.

Но такая замена имеет основание.
Если подставить параметрические выражения в исходное уравнение, то мы получим тождество

$$
\[
f\left( {\sin x,\cos x} \right) \equiv 0
\]
$

верное для всех действительных $x$
Так как

$$
\[
\begin{array}{l}
 \left| {\sin x} \right| \le 1 \\ 
 \left| {S\left( t \right)} \right| = \left| {\frac{{2t}}{{1 + t^2 }}} \right| \le 1 \\ 
 \end{array}
\]
$

и обе ифункции непрерывны то для любого рационального $t$ найдётся такое действительное $x$ что будет выполняться равенство

$$
\[
\sin x = S\left( t \right)
\]
$

И мы получим тождество

$$
\[
f\left( {S\left( t \right),C\left( t \right)} \right) \equiv 0
\]
$

верное для любых рациональных $t$

Для примера рассмотрим кривую

$$
\[
2\left( {2 + x} \right)^3  = 27\left( {x^2  + y^2 } \right)
\]
$

имеющую параметризацию

$$
\[
x = \frac{{\sin 3h}}{{\sin ^3 h}}
\]
$

$$
\[
y =  - \frac{{\cos 3h}}{{\sin ^3 h}}
\]
$

Подставив в уравнения параметризации аналоги

$$
\[
\sin h \Rightarrow S\left( t \right)
\]
$

$$
\[
\sin 3h \Rightarrow S\left( {\frac{{3t - t^3 }}{{1 - 3t^2 }}} \right)
\]
$

$$
\[
\cos 3h \Rightarrow C\left( {\frac{{3t - t^3 }}{{1 - 3t^2 }}} \right)
\]
$

получим параметрические рациональные решения исходного уравнения.

Конечно, исходные уравнения решаются довольно просто и без всякой параметризации с какой-то непонятной заменой. Кроме того, возникает вопрос - а все ли решения охватывает полученная параметризация? Для приведённых примеров охватывает все решения.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 41 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group