2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней. На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: Ошибка Timothy Y. Chow
Сообщение26.05.2013, 22:09 


24/05/13
43
В любой нестандартной модели ZFC, имеется нестандартная модель Nm(PA) арифметики Пеано PA, а в ней содержится ее обычная стандартная модель
Sm(PA) (Sm(PA) называется стандартным сечением нестандартной модели Nm(PA)). Возьмите коды доказательств в Sm(PA) и все они будут конечны. :wink:

 Профиль  
                  
 
 Re: Ошибка Timothy Y. Chow
Сообщение27.05.2013, 08:54 
Заслуженный участник


09/05/08
1155
Новосибирск
Пусть $\mathcal M$ — нестандартная модель ZFC, $\mathcal N\subset\mathcal M$ — нестандартная модель PA, $N\subset\mathcal N$ — стандартная модель PA («стандартное сечение» $\mathcal N$).
Пусть $\varphi(x)$ — арифметическая формализация утверждения о том, что $x$ является кодом вывода противоречия из аксиом ZFC.
В рассматриваемой ситуации мы имеем ${\rm ZFC}\vdash(\exists\,x)\,\varphi(x)$.
Мне кажется понятным, что тогда существует элемент $\nu\in\mathcal N$ со свойством $\mathcal N\vDash\varphi(\nu)$.
Но мне непонятно, почему существует элемент $n\in N$ со свойством $N\vDash\varphi(n)$.
Это было бы так, если бы мы имели ${\rm PA}\vdash(\exists\,x)\,\varphi(x)$, но мы имеем всего лишь ${\rm ZFC}\vdash(\exists\,x)\,\varphi(x)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ошибка Timothy Y. Chow
Сообщение27.05.2013, 18:47 


24/05/13
43
1.Пусть ZFC$SM$ это релятивизация ZFC к ее некоторой стандартной модели $SM$. Пусть $\varphi(x,SM)$ — арифметическая формализация утверждения о том, что $x$ является кодом вывода противоречия из аксиом ZFCSM.
Если Вы хотите показать, что такой модели не существует, то нужно показать, что ${\rm ZFC$SM$}\vdash(\exists\,x)\,\varphi(x,SM)$.
2.Пусть ZFCNM это релятивизация ZFC к ее некоторой нестандартной модели $NM$. Пусть $\varphi(x,NM)$ — арифметическая формализация утверждения о том, что $x$ является кодом вывода противоречия из аксиом ZFCNM.Если Вы хотите показать, что такой модели не существует, то разумеется нужно показать, что ${\rm ZFC$NM$}\vdash(\exists\,x\in N)\,\varphi(x,NM)$. Таким образом нет большой разницы между случаями 1 и 2 и ограничение только стандартными моделями, вопреки замечанию Chow, никакой принципиальной роли не имеет. :wink:
PS. Разумеется, что автор топика на FOM, ничего не доказал даже для первого случая, а только предложил некую общую схему возможного доказательства, отсутствия у ZFC некоторых классов моделей.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ошибка Timothy Y. Chow
Сообщение28.05.2013, 09:02 
Заслуженный участник


09/05/08
1155
Новосибирск
xyzxyz в сообщении #729128 писал(а):
Пусть ZFC$SM$ это релятивизация ZFC к ее некоторой стандартной модели $SM$.
Хмм... Не могу понять. Какую сигнатуру имеет теория ZFC$SM$? Теоретико-множественную с добавленной константой $SM$? Или — еще вариант — с добавленным классом (точнее, одноместным предикатным символом) $SM$? (Больше ничего более-менее подходящего в голову не приходит.)
xyzxyz в сообщении #729128 писал(а):
Пусть $\varphi(x,SM)$ — арифметическая формализация утверждения о том, что $x$ является кодом вывода противоречия из аксиом ZFCSM.
Если у нас в сигнатуре появился новый символ $SM$, то как формула $\varphi(x,SM)$ может быть арифметической? Чтобы она была арифметической, символ $SM$ должен допускать арифметическую элиминацию (определение в арифметических терминах), но я не вижу такой возможности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ошибка Timothy Y. Chow
Сообщение29.05.2013, 12:45 


24/05/13
43
Формула $\varphi(x,T)$ будет арифметической для любой рекурсивно аксиоматизируемой теории T первого порядка. От сигнатуры T это никаким боком не зависит. Пусть Con(ZFC;SM) обозначает предложение, которое утверждает, что множество SM есть стандартная модель для ZFC. Единственное необходимое условие для SM так это то, что предложение Con(ZFC;SM) должно быть выразимо в ZFC.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ошибка Timothy Y. Chow
Сообщение01.06.2013, 09:21 
Заслуженный участник


09/05/08
1155
Новосибирск
К сожалению, Ваш покорный и его коллеги-логики (за советом к которым он мимоходом обращался, не веря в собственные силы) либо не видят смысла в предлагаемых Вами разъяснениях, либо (придавая им тот или иной смысл) видят в них ошибки или пробелы, либо попросту отказываются вникать в текст в силу его общей туманности.

Итак:
xyzxyz в сообщении #728371 писал(а):
Chow wrote
"In order to deduce "ZFC is inconsistent" from "ZFC |- ~con(ZFC)" one needs something more than the consistency of ZFC, e.g., that ZFC has an omega-model (i.e., a model in which the integers are the standard integers)." :roll:
ничего такого something more конечно не требуется :mrgreen:

Если я правильно интерпретировал Ваше сообщение, Вы утверждаете, что (вопреки высказыванию Chow) из ${\rm ZFC}\vdash \neg {\rm con}({\rm ZFC})$ все же можно (и по всей видимости, легко) вывести противоречивость ZFC.
Я тут не ошибся?
Тогда хотелось бы увидеть этот вывод — на современном уровне строгости и по возможности четко, без недосказанностей и неопределенных нетрадиционных обозначений.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ошибка Timothy Y. Chow
Сообщение01.06.2013, 10:13 


24/05/13
43
А что Вы подразумеваете под этим обозначением $ \neg {\rm con}({\rm ZFC})$? Отсутствие любой модели у ZFC или арифмктическое утверждение о ее противоречивости.
Пока я утверждаю, что первая теорема этого автора верна, но ее доказательство может быть проведено только на языке второго порядка. А вторая его теорема не верна, поскольку теорема Геделя говорит о недоказуемости непротиворечивости средствами языка первого порядка.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ошибка Timothy Y. Chow
Сообщение01.06.2013, 10:37 
Заслуженный участник


09/05/08
1155
Новосибирск
xyzxyz в сообщении #731179 писал(а):
А что Вы подразумеваете под этим обозначением $ \neg {\rm con}({\rm ZFC})$? Отсутствие любой модели у ZFC или арифмктическое утверждение о ее противоречивости.
У нас такой контекст:
Finnur Larusson на FOM писал(а):
Let con(ZFC) be a sentence in ZFC asserting that ZFC has a model.
Впрочем, по теореме о полноте особой разницы, вроде, нет (в рамках ZFC). Или тут есть какая-то тонкость?

 Профиль  
                  
 
 Re: Ошибка Timothy Y. Chow
Сообщение01.06.2013, 10:51 


24/05/13
43
Тонкость в том, что такое понятие как произвольная модель ZFC, нельзя выразить на языке ZFC.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ошибка Timothy Y. Chow
Сообщение01.06.2013, 11:45 
Заслуженный участник


09/05/08
1155
Новосибирск
xyzxyz в сообщении #731191 писал(а):
Тонкость в том, что такое понятие как произвольная модель ZFC, нельзя выразить на языке ZFC.
Видимо, я опять не понимаю, о чем сейчас идет речь. Мне казалось, что фраза «$\langle M,\varepsilon\rangle$ является моделью ZFC» — заурядное утверждение (про $M$ и $\varepsilon$), вполне себе выразимое. Есть ведь такие понятия, как алгебраическая система, формула, аксиома, означивание переменных, истинность формулы в системе и т.д. и т.п. — все определяется и все формализуется на языке теории множеств (как в метатеории, так и в теории).

Как бы то ни было, если по каким-то причинам следует считать ${\rm con}({\rm ZFC})$ именно утверждением о непротиворечивости ZFC — нет проблем, давайте так считать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ошибка Timothy Y. Chow
Сообщение02.06.2013, 00:14 


24/05/13
43
1.Фраза «$\langle M,\varepsilon\rangle$ является моделью ZFC» — заурядное утверждение (про $M$ и $\varepsilon$),
только в том случае, если имеется явное доказательство в ZFC утверждения:$\langle M,\varepsilon\rangle$ является моделью ZFC.
2.истинность формулы W в модели (системе) $\langle M,\varepsilon\rangle$ означает, что в ZFC выводима релятивизация W[M] этой формулы на M, т.е. ZFC|- W[M]. Таким образом, истинность формулы невозможно определить на языке первого порядка.

Автор топика пишет:
Claim 1. S is consistent.

Proof. Assume S is inconsistent, that is, has no model. This means
that there is no model of ZFC in which con(ZFC) is true,
Предложение: 'This means
that there is no model of ZFC in which con(ZFC) is true,'
в силу вышесказанного, можно формализовать, только на языке второго порядка, но не в ZFC.
Из его "there is no model of ZFC in which con(ZFC) is true," следует, что
~con(ZFC) истинно в любой модели ZFC, а значит и доказуемо в ZFC, что противоречит исходному предположению: con(ZFC).
Таким образом его Claim 1. верна, но это метатеорема, доказанная на языке второго порядка, а не в ZFC. Соответственно никакого противоречия с теоремой Геделя там на самом деле нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ошибка Timothy Y. Chow
Сообщение02.06.2013, 08:46 
Заслуженный участник


09/05/08
1155
Новосибирск
xyzxyz в сообщении #731405 писал(а):
1.Фраза «$\langle M,\varepsilon\rangle$ является моделью ZFC» — заурядное утверждение (про $M$ и $\varepsilon$),
только в том случае, если имеется явное доказательство в ZFC утверждения:$\langle M,\varepsilon\rangle$ является моделью ZFC.
Мне это заявление кажется весьма странным. (Вероятно, мы с Вами расходимся в каких-то неявных предположениях.) Фраза «$\langle M,\varepsilon\rangle$ является моделью ZFC» записывается (теоретико-множественной) формулой со свободными переменными $M$ и $\varepsilon$ в строгом соответствии с (теоретико-множественными) определениями таких понятий, как теория, алгебраическая система, формула, истинность формулы в системе и т.п. Для того, чтобы какое-либо утверждение было выразимым (на языке теории множеств), совершенно не нужно, чтобы это выражение было доказуемым (в теории множеств), правда ведь? В рамках метатеории множеств имеется классическое понятие модели теории, и нет ровным счетом никаких препятствий к тому, чтобы записать соответствующее определение на языке метатеории множеств. То же самое относится и к теории. Мы просто осуществляем «сдвиг платформ»: то, что было «метатеорией», становится «теорией», а бывшая «теория» превращается в «объект теории» — множество, допустимое значение терма. (Это классика. Редко разжевываемая в современных учебниках, но классика.)
xyzxyz в сообщении #731405 писал(а):
2.истинность формулы W в модели (системе) $\langle M,\varepsilon\rangle$ означает, что в ZFC выводима релятивизация W[M] этой формулы на M, т.е. ZFC|- W[M].
Нет, это не наш случай. (Возможно, в этом и заключается источник нашего взаимного недопонимания.) Сейчас речь идет вовсе не о так называемых внутренних моделях (обычно являющихся собственными классами и типичных для разного рода доказательств относительной совместности в рамках теории множеств), а о самых обычных моделях (являющихся множествами в метатеории и типичных для классической теории моделей). В этом случае истинность предложения $W$ в системе $\langle M,\varepsilon\rangle$, обычно записываемая в виде $\langle M,\varepsilon\rangle\vDash W$, выражается некоторой (вполне конкретной) формулой $\tau(M,\varepsilon,W)$ с тремя свободными переменными и представляет собой формализацию заурядного утверждения о трех множествах — $M$, $\varepsilon$ и $W$. Здесь $\tau$ и $W$ — формулы, но из разных теорий: $\tau$ — формула метатеории, а $W$ — формула теории, олицетворяемая переменной в формуле $\tau$ из метатеории. (Это, опять-таки, классика.)
xyzxyz в сообщении #731405 писал(а):
Таким образом, истинность формулы невозможно определить на языке первого порядка.
В рассматриваемом нами случае — возможно. Согласно теореме Тарского истинность действительно неформализуема, но там речь идет об истинности во внутренней модели-классе (применительно к теории множеств — в классе $\mathbb V$ всех множеств). У нас же модели — самые обычные, классические. Истинность в такой модели — обычное утверждение, прекрасно формализуемое.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ошибка Timothy Y. Chow
Сообщение02.06.2013, 18:30 


24/05/13
43
Нет проблем. Чтобы у нас не было разногласий в определениях, Вы можете считать, что рассматриваются только внутренние модели. Другие модели меня не интересуют. Итак пусть Соn(ZFC;StM) это предложение в ZFC утверждающее, что у ZFC существует некоторая внутренняя стандартная модель StM.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ошибка Timothy Y. Chow
Сообщение02.06.2013, 18:57 
Заслуженный участник


09/05/08
1155
Новосибирск
xyzxyz в сообщении #731672 писал(а):
можете считать, что рассматриваются только внутренние модели.
Тогда в данной теме это оффтопик, ибо участники цитируемой Вами дискуссии на FOM вне всяких сомнений (по умолчанию) вели разговор в рамках классического контекста с его классическими моделями.
xyzxyz в сообщении #731672 писал(а):
Другие модели меня не интересуют.
Как Вам будет угодно, топискстартер тут Вы, можете открыть новую тему (или подтему), а текущую тему лично я считаю исчерпанной. :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Ошибка Timothy Y. Chow
Сообщение03.06.2013, 18:10 


24/05/13
43
Ничего подобного. Chow требует существование произвольных стандартных моделей, которые всегда внутренние. Никаких особых предположений, тем более по умолчанию, там нет.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.  [ Сообщений: 37 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group