2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Предел
Сообщение18.05.2013, 13:12 


29/08/11
1759
$\lim\limits_{x \to 0} \left ( \cos(x) \right ) ^{\frac{1}{\sin^2(x)}}$

Пробовал свести его ко второму замечательному пределу заменой $\cos(x)=t+1$, но ничего хорошего не получилось.

Есть еще мысль: подставить $\cos(x) = \pm \sqrt{1-\sin^2(x)}$, но не знаю, какой знак брать.

И еще одна мысль: $\cos(x) \sim 1-\frac{x^2}{2} $ и $\sin^2(x) \sim x^2$ при $x \to 0$. Первая эквивалентность неверна.

Вопрос: как будет рациональнее?

Спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел
Сообщение18.05.2013, 13:18 
Аватара пользователя


14/02/10
4956
Вообще такие пределы сводят ко 2-му замечательному или по правилу Лопиталя.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел
Сообщение18.05.2013, 13:19 


29/08/11
1759
Shtorm
Я пытаюсь свести его ко второму замечательному пределу, но третья моя мысль оказалась неверна, а во второй проблема с выбором знака. Или можно еще как-то?

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел
Сообщение18.05.2013, 13:20 
Аватара пользователя


14/02/10
4956
Limit79 в сообщении #725381 писал(а):
но не знаю, какой знак брать.

Берите плюс, так как в окрестности нуля косинус положительный.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел
Сообщение18.05.2013, 13:26 


29/08/11
1759
Shtorm
Точно! Спасибо за помощь!

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел
Сообщение18.05.2013, 13:30 
Аватара пользователя


14/02/10
4956
И соответственно при сведении предела ко 2-му замечательному - данный предел легко решается в уме.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел
Сообщение18.05.2013, 13:42 
Заслуженный участник


12/09/10
1463
Limit79 в сообщении #725386 писал(а):
Shtorm
Я пытаюсь свести его ко второму замечательному пределу, но третья моя мысль оказалась неверна, а во второй проблема с выбором знака. Или можно еще как-то?

Третья мысль - это с разложением в ряд Тейлора? И почему неверна? По-моему - единственная здравая мысль.
Запишите свое выражение $f(x)^{g(x)}$ как $\exp[g(x) \ln{f(x)}]$ и берите достаточное количество членов разложения в ряд (для уверенности советую писать равенства с o-малыми). Способ универсальный и безотказный.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел
Сообщение18.05.2013, 13:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/10
1596
spb
Зачем c корнями какими-то?? $\cos(x) - 1 = 2\sin^2(x/2) \sim x^2/2$

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел
Сообщение18.05.2013, 13:47 


29/08/11
1759
Shtorm
Ну да, дальше там уже элементарно :-)

Cash
Как мне кажется, при таком представлении будет проще Лопиталить степень, ибо Тейлора надо еще расписывать. А чем Вам не нравится сведение ко второму замечательному пределу?

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел
Сообщение18.05.2013, 13:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/10
1596
spb
Limit79 в сообщении #725400 писал(а):
А чем Вам не нравится сведение ко второму замечательному пределу?

Это и есть сведение ко второму замечательному, причем универсальное, т.к., если $f(x) \to 1$, то $\ln(f(x)) \sim f(x) - 1$

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел
Сообщение18.05.2013, 13:58 


29/08/11
1759
SpBTimes
Иногда какие-то частные случае рациональнее универсальных. А Ваш способ мне понравился больше всего. Знать тригонометрию - круто :-) Спасибо!

-- 18.05.2013, 15:03 --

SpBTimes
Но ведь $2\sin^2(x/2) = 1-\cos(x)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел
Сообщение18.05.2013, 19:23 
Заслуженный участник


09/05/13
6322
Знания тригонометрии понадобились бы в минимальном объеме, если в основании вместо косинуса написать его квадрат, а показатель, соответственно, в два раза уменьшить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел
Сообщение18.05.2013, 22:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
10860
Казань
Достаточно основного триг. тождества. Предел есть экспонента от $\frac{\cos x-1}{\sin^2x}$. Домножьте числитель и знаменатель на $\cos x+1$

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел
Сообщение10.12.2013, 19:35 


03/12/13
3
Решение вопроса, шаг за шагом:
http://www.symbolab.com/solver/limit-ca ... ((%5Ccos(x))%5E%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csin%5E%7B2%7D(x)%7D%7D)

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел
Сообщение10.12.2013, 20:02 
Аватара пользователя


03/10/13
449

(Оффтоп)

levaly в сообщении #798819 писал(а):
Решение вопроса, шаг за шагом: http://www.symbolab.com/solver/limit-ca ... ((%5Ccos(x ))%5E%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csin%5E%7B2%7D(x)%7D%7D)

Вы узнали о системах компьютерной алгебры и захотели поделиться радостью? (:

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 25 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group