2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Предел
Сообщение10.12.2013, 22:38 
Аватара пользователя


10/12/13
78
ЮРГПУ (НПИ) им. М. И. Платова, РГУПС
Limit79 в сообщении #725381 писал(а):
$\lim\limits_{x \to 0} \left ( \cos(x) \right ) ^{\frac{1}{\sin^2(x)}}$

Пробовал свести его ко второму замечательному пределу заменой $\cos(x)=t+1$, но ничего хорошего не получилось.

Есть еще мысль: подставить $\cos(x) = \pm \sqrt{1-\sin^2(x)}$, но не знаю, какой знак брать.

И еще одна мысль: $\cos(x) \sim 1-\frac{x^2}{2} $ и $\sin^2(x) \sim x^2$ при $x \to 0$. Первая эквивалентность неверна.

Вопрос: как будет рациональнее?

Спасибо!

Насколько понимаю, неопределенность типа $1^{\infty}$, по определению логарифма сводим её к неопределенности типа $\cfrac{0}{0}$

$\lim\limits_{x \to 0} \left ( \cos(x) \right ) ^{\frac{1}{\sin^2(x)}} = e^{\lim\limits_{x \to 0} \frac{\ln \cos x}{\sin^2(x)}}$

Далее по правилу Лопиталя

$\lim\limits_{x \to 0} \frac{\ln \cos x}{\sin^2(x)} = \lim\limits_{x \to 0} \cfrac{-\cfrac{\sin x}{\cos x}}{2\sin x \cos x} = -\lim\limits_{x \to 0} \cfrac{1}{2\cos^2 x} = -\cfrac{1}{2}$

и искомый предел равен

$\lim\limits_{x \to 0} \left ( \cos(x) \right ) ^{\frac{1}{\sin^2(x)}} = \cfrac{1}{\sqrt{e}}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел
Сообщение10.12.2013, 22:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
10851
Казань
maisvendoo, почитайте правила. Здесь не принято выкладывать полные решения учебных задач. Тем более, что уже было предложено много методов.

Кроме того, следите за датами. Тема обсуждалась в мае. Она была необоснованно поднята участником levaly

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел
Сообщение10.12.2013, 22:47 
Аватара пользователя


10/12/13
78
ЮРГПУ (НПИ) им. М. И. Платова, РГУПС
Прошу прощения, увлекся... :oops:

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел
Сообщение10.12.2013, 22:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
10851
Казань
Ничего. Это, собственно, levaly виноват, поднимает старые темы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел
Сообщение10.12.2013, 22:54 
Админ форума
Аватара пользователя


19/03/10
8655
 !  levaly, замечание за некропостинг, да еще и не по делу.

 !  maisvendoo, замечание за размещение полного решения простой учебной задачи.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел
Сообщение09.02.2014, 01:32 


09/01/14

178

(Оффтоп)

почему, собственно, не удалять в таком случае старые темы?

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел
Сообщение07.04.2014, 11:40 
Модератор


20/03/14
7113
 !  PUMA
Замечание за неоправданный некропостинг.

 i  Сообщение отделено в новую тему Сходимость несобственного интеграла

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел
Сообщение18.12.2014, 19:00 
Модератор


20/03/14
7113
 !  Asta601
Замечание за неоправданный некропостинг.

Сообщение отделено в Карантин.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел
Сообщение11.04.2015, 18:30 


22/11/13
33
Limit79 в сообщении #725381 писал(а):
$\lim\limits_{x \to 0} \left ( \cos(x) \right ) ^{\frac{1}{\sin^2(x)}}$

Пробовал свести его ко второму замечательному пределу заменой $\cos(x)=t+1$, но ничего хорошего не получилось.

Вопрос: как будет рациональнее?

Спасибо!

Эта тема старая.
Я знаю, что про правилам старые темы поднимать нельзя.
И нельзя приводить готовые решения.
Я решение не привожу.
Но в этой замечательной задаче имеется рациональное решение.
Без использования правила Лопиталя и разложения в ряд Тейлора.
Надо было использовать первую попытку автора.
заменой $\cos(x)=t+1$
Но он её не доработал.
Если модераторы не против поиска самого простейшего решения с данной подстановкой, то можно завершить эту тему.
В учебниках и задачниках с решениями подобные решения есть, но не совсем рациональные.
Кто сможет найти это самое простое решение.
Автору задачи оно разумеется уже не требуется.
И поэтому мы ему не делаем халяву.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел
Сообщение11.04.2015, 19:26 
Модератор


20/03/14
7113
ludwig51
В этой задаче много рациональных решений, и почти все из них успели тут упомянуть. Приводить полные решения типовых примеров из задачника по математическому анализу не является целью ресурса, здесь не решебник в процессе написания.

На мой взгляд, того, что есть, более чем достаточно.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 25 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group