2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 3, 4, 5, 6, 7
 
 Re: Решение уравнения Клейна-Гордона для потенциального ящика
Сообщение01.09.2013, 12:48 
Заблокирован
Аватара пользователя


03/03/10

4558
Lvov в сообщении #759492 писал(а):
Г.Helium, похоже, у нас с Вами расхождения в части граничных условий задачи. Я говорю о потенциальном "ящике", на дне которого потенциальная энергия частицы равна нулю, а за его пределами - энергии запирания $U$. Вы же говорите о потенциальной "яме", где потенциальная энергия частицы равна нулю за пределами ямы, в то время, как внутри ямы, она отрицательна. Не приведет ли такое различие в граничных условиях к принципиально разным решениям при больших значениях заграждающего потенциала.
Вы про калибровочную инвариантность слышали? Если не слышали - откройте школьный учебник, там детям рассказывают что физические эффекты от абсолютного значения потенциала зависеть не могут. Только от разности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение уравнения Клейна-Гордона для потенциального ящика
Сообщение01.09.2013, 13:01 


03/05/12

449
Lvov в сообщении #759492 писал(а):
Helium в сообщении #759457 писал(а):
Когда в уравнении пишем глубина ямы скажем -10 а.е. то имеется ввиду что частица запускается в яму с начальной потенциальной энергией равной 0 а.е. и достигнув дна будет иметь соответственно высокую кинетическую энергию.

Г.Helium, похоже, у нас с Вами расхождения в части граничных условий задачи. Я говорю о потенциальном "ящике", на дне которого потенциальная энергия частицы равна нулю, а за его пределами - энергии запирания $U$. Вы же говорите о потенциальной "яме", где потенциальная энергия частицы равна нулю за пределами ямы, в то время, как внутри ямы, она отрицательна. Не приведет ли такое различие в граничных условиях к принципиально разным решениям при больших значениях заграждающего потенциала.
С уважением О.Львов


Я объяснил как в зависимости от нормировки потенциальной энергии одна задача превращается в другую. Можем граничные условия делать по вашему. Опять тот же пример потенциальная яма с глубиной 0 а.е. и высотой стенок 10а.е. радиус 5 а.е. Как видите решение не изменилось частица в нижнем основном состоянии. Я могу поднять стенки сколько угодно все равно решение не изменится.

Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение уравнения Клейна-Гордона для потенциального ящика
Сообщение01.09.2013, 14:46 


03/05/12

449
Lvov в сообщении #741877 писал(а):
Судя по литературе, "парадокс Клейна" заключается в том, что определенное решение уравнения Дирака, описывающее прохождение электронной волны сквозь высокий заграждающий потенциальный барьер $U>2m$, показывает, что при некоторой умеренной энергии частицы коэффициент ее прохождения равен 1, а коэффициент отражения равен 0. Это более "круто", чем те явления, о которых я говорил в своих сообщениях.
Я не рассчитывал коэффициент прохождения волны Клейна-Гордона через высокий заграждающий барьер, и поэтому говорил о недостаточно точном моем изложении вопроса. Однако легко показать, что и в случае УКГ при заграждающем барьере $U>2m$ существует такая умеренная энергия частицы $E$ и соответствующий импульс $p$, при которых коэффициент прохождения частицы будет равен 1. И обратно, для любого умеренного значения импульса частицы ($p << m$), существует энергия заграждающего барьера $U>2m$, при которой коэффициент прохождения частицы сквозь барьер равен единице.


Я понял какой эффект Вы хотели наблюдать. Поскольку волновая функция немного просачивается через барьер практически любой высоты то хотите посмотреть что будет в случае высоты стенок ямы выше $E=2m{c}^{2}$.
Я сузил радиус ямы до 1 а.е. и при увеличении высоты ямы до значения $E=1.9m{c}^{2}$ ничего не происходит. Это видно на первом графике. А при увеличении высоты до $E=2m{c}^{2}$ происходит то что приведено на втором графике.


Изображение

Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение уравнения Клейна-Гордона для потенциального ящика
Сообщение02.09.2013, 21:33 


25/06/12

389
Helium в сообщении #759527 писал(а):
Я сузил радиус ямы до 1 а.е. и при увеличении высоты ямы до значения $E=1.9m{c}^{2}$ ничего не происходит. Это видно на первом графике. А при увеличении высоты до $E=2m{c}^{2}$ происходит то что приведено на втором графике.

Г.Helium, Правильно ли я понимаю Ваши графики?
1. Все решения Вы приводите для сферической ямы.
2. На предпоследнем графике мы наблюдаем частицу, локализованную в потенциальной яме ($R=1$).
3. На последнем графике мы наблюдаем свободно распространяющуюся за пределами ямы сферическую волну, в то время как в центре ямы ее уровень снижается до нулевого значения.

С уважением О.Львов

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение уравнения Клейна-Гордона для потенциального ящика
Сообщение02.09.2013, 21:54 


03/05/12

449
Lvov в сообщении #759979 писал(а):
Helium в сообщении #759527 писал(а):
Я сузил радиус ямы до 1 а.е. и при увеличении высоты ямы до значения $E=1.9m{c}^{2}$ ничего не происходит. Это видно на первом графике. А при увеличении высоты до $E=2m{c}^{2}$ происходит то что приведено на втором графике.

Г.Helium, Правильно ли я понимаю Ваши графики?
1. Все решения Вы приводите для сферической ямы.
2. На предпоследнем графике мы наблюдаем частицу, локализованную в потенциальной яме ($R=1$).
3. На последнем графике мы наблюдаем свободно распространяющуюся за пределами ямы сферическую волну, в то время как в центре ямы ее уровень снижается до нулевого значения.

С уважением О.Львов


Да все правильно. Только добавлю что радиус ямы не играет особой роли и для ямы с радиусои 5 а.е. такая же картина просто волна имеет меньшую частоту. Еще проверил уравнение Шредингера. Оно не дает этого эффекта частица остается в яме на нижнем уровне даже при высоте стенок $E=4m{c}^{2}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение уравнения Клейна-Гордона для потенциального ящика
Сообщение02.09.2013, 21:55 


25/06/12

389
myhand в сообщении #759494 писал(а):
Вы про калибровочную инвариантность слышали? Если не слышали - откройте школьный учебник, там детям рассказывают что физические эффекты от абсолютного значения потенциала зависеть не могут. Только от разности.

Г.myhand, в релятивистской квантовой механике это не так. Частота осцилляции снижается на дне потенциальной ямы по сравнению с ее значением на дне потенциального ящика, где она отвечает частоте осцилляции свободной движущейся частицы. В первом случае эта частота меньше $mc^2/\hbar$ (это частота осцилляции свободной покоящейся частицы), во втором случае - больше указанного значения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение уравнения Клейна-Гордона для потенциального ящика
Сообщение04.09.2013, 14:14 
Заблокирован
Аватара пользователя


03/03/10

4558
Lvov в сообщении #759985 писал(а):
Г.myhand, в релятивистской квантовой механике это не так.
В релятивистской квантовой механике - тоже никто калибровочную инвариантность не отменил, совсем наоборот.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение уравнения Клейна-Гордона для потенциального ящика
Сообщение05.09.2013, 21:06 


25/06/12

389
myhand в сообщении #760417 писал(а):
В релятивистской квантовой механике - тоже никто калибровочную инвариантность не отменил, совсем наоборот.

Г.myhand, давайте говорить конкретнее. В предыдущем сообщении я показал, что в потенциальной яме энергия частицы меньше, чем в потенциальном ящике.
Так какие же показатели частицы сохраняются в результате калибровочной инвариантности при переходе от потенциальной ямы к потенциальному ящику той же энергетической глубины?

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение уравнения Клейна-Гордона для потенциального ящика
Сообщение19.12.2013, 10:45 


03/05/12

449
Theoristos в сообщении #741522 писал(а):
Helium: ваша позиция неконструктивна. Покажите решение, желательно аналитическое, расскажите как именно оно получилось. Или дайте ссылки на работы где такое подробно разбирается, а не только декларируется.

Добавлю, что численные решения, особенно в цилиндрических-сферических, координатах надо внимательно проверять. При решении некорректоно поставленных задач могут вылезти артефакты связанные, например, с "очевидным" обрезанием решения областью R>0.


Вот аналитическое решение. Радиальная часть волновой функции в атомных единицах Хартри.

$R\left(r \right)= \frac{1}{r}{k}_{1}\exp\left(-\frac{r\sqrt{{c}^{6}-{E}^{2}{c}^{2}}}{E} \right){\left(Er+1 \right)}^{\frac{1}{2}\sqrt{\frac{4{c}^{6}}{{E}^{4}}+1}+\frac{1}{2}}\bullet $
$\bullet HypergeometricU\left(\frac{\left(\sqrt{\frac{4{c}^{6}}{{E}^{4}}+1}+1\right){E}^{4}-{c}^{4}\left(\sqrt{\frac{4{c}^{6}}{{E}^{4}}+1}+1\right){E}^{2}+2{c}^{4}\sqrt{{c}^{6}-{E}^{2}{c}^{2}}}{2{E}^{2}\left({E}^{2}-{c}^{4} \right)},\sqrt{\frac{4{c}^{6}}{{E}^{4}}+1}+1,\frac{2\sqrt{{c}^{6}-{E}^{2}{c}^{2}}\left(Er+1 \right)}{{E}^{2}} \right)$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 99 ]  На страницу Пред.  1 ... 3, 4, 5, 6, 7

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group