2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Маленькое упражнение по уравнению Шрёдингера
Сообщение15.05.2013, 14:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Волновая функция (по крайней мере, в квазиклассическом приближении) может быть интерпретирована как сочетание двух функций: амплитуды и фазы - имеющих раздельные физические смыслы. Амплитуда отвечает за плотность вероятности, а фаза - за энергию и импульс. Попробую придать этому более точный смысл.

Начнём с уравнения Шрёдингера свободной частицы
$$i\hbar\dfrac{\partial\Psi}{\partial t}=\dfrac{-\hbar^2}{2m}\nabla^2\Psi$$ и представим волновую функцию через модуль и аргумент:
$$\Psi=\mathit{\Psi}e^{i\varphi}$$ Тогда для взятия производных выпишем дифференциал:
$$d\Psi=e^{i\varphi}d\mathit{\Psi}+i\mathit{\Psi}e^{i\varphi}d\varphi$$ и после выкладок получаем (окончательно комплексное уравнение распадается на действительную и мнимую части, поскольку обе функции действительны):
$$\hbar\dfrac{\partial\mathit{\Psi}}{\partial t}=\dfrac{-\hbar^2}{2m}(2\nabla\mathit{\Psi}\nabla\varphi+\mathit{\Psi}\nabla^2\varphi)$$ $$-\hbar\dfrac{\partial\varphi}{\partial t}=\dfrac{-\hbar^2}{2m}\left(\dfrac{\nabla^2\mathit{\Psi}}{\mathit{\Psi}}-(\nabla\varphi)^2\right)$$ Посмотрим на первое уравнение, задающее $\partial\mathit{\Psi}/\partial t.$
- Первый его член соответствует переносу амплитуды ($\nabla\mathit{\Psi}$) с током вероятности, задаваемым $\nabla\varphi.$
- Второй член соответствует "собиранию", "скапливанию" амплитуды в тех местах, где скорость потока меняется ($\nabla^2\varphi$).
Теперь второе уравнение, задающее $\partial\varphi/\partial t.$
- Второе слагаемое отвечает за изменение фазы соответственно кинетической энергии для бегущей волны.
- Первое слагаемое - аналогично, отвечает за изменение фазы, но для случая кинетической энергии стоячей волны.

Если в уравнение Шрёдингера добавить потенциал, то это приводит к изменению только уравнения для фазы:
$$-\hbar\dfrac{\partial\varphi}{\partial t}=\dfrac{-\hbar^2}{2m}\left(\dfrac{\nabla^2\mathit{\Psi}}{\mathit{\Psi}}-(\nabla\varphi)^2\right)+U$$
Вопросы:
- не напортачил ли я в выкладках?
- годится ли такая интерпретация?
- можно ли аналогично рассмотреть уравнение Дирака?

-- 15.05.2013 16:15:09 --

Раз нам понадобилось представление о "текущем потоке вероятности", попробуем воспринять его буквально. Рассмотрим эволюцию волновой функции как материальный поток вещества, и отследим, что происходит в точках, уносимых этим потоком. Для этого используется "субстанциональная производная", для которой мы должны сначала найти, собственно, скорость потока. Возьмём оператор скорости (ЛЛ-3 (19.1)):
$$\hat{\mathbf{v}}=\dfrac{\hat{\mathbf{p}}}{m}=\dfrac{-i\hbar\nabla}{m}$$ $$\hat{\mathbf{v}}\Psi=\dfrac{\hbar}{m}e^{i\varphi}\left(-i\nabla\mathit{\Psi}+\mathit{\Psi}\nabla\varphi\right)$$ Это пока результат действия оператора скорости на волновую функцию. Для собственной функции оператора, он должен быть пропорционален самой функции с коэффициентом - величиной скорости, так что, чтобы найти величину скорости, делим его на функцию:
$$\dfrac{\hat{\mathbf{v}}\Psi}{\Psi}=\dfrac{\hbar}{m}\left(\dfrac{-i\nabla\mathit{\Psi}}{\mathit{\Psi}}+\nabla\varphi\right)$$ Теперь попытаемся его подставить по заданной схеме для скалярных величин (наши функции скалярны):
$$\dfrac{D\phi}{Dt}=\frac{\partial\phi}{\partial t}+(\mathbf{u}\cdot\nabla)\phi=\frac{\partial\phi}{\partial t}+(\mathbf{u}\cdot\nabla\phi)$$ Первая попытка у меня сталкивается с той трудностью, что уравнения для $\partial\mathit{\Psi}/\partial t$ и для $\partial\varphi/\partial t$ действительны, а значение скорости вводит мнимые слагаемые. Но поскольку эти уравнения исходно получены из одного комплексного уравнения разделением действительной и мнимой части, мнимые слагаемые просто переходят из одного уравнения в другое. Мой результат:
$$\hbar\dfrac{D\mathit{\Psi}}{Dt}=\dfrac{\hbar^2}{2m}\left(2\nabla\mathit{\Psi}\nabla\varphi-\mathit{\Psi}\nabla^2\varphi\right)$$ $$\hbar\dfrac{D\varphi}{Dt}=\dfrac{\hbar^2}{2m}\left(\dfrac{\nabla^2\mathit{\Psi}}{\mathit{\Psi}}+(\nabla\varphi)^2\right)-\dfrac{\hbar^2}{m}\dfrac{(\nabla\mathit{\Psi})^2}{\mathit{\Psi}^2}$$
Отличия от частных производных интересны. Некоторые слагаемые не исчезают (как я от них ожидал), но меняют знак. Появляется новое слагаемое.
Помогите интерпретировать результат.

 Профиль  
                  
 
 Re: Маленькое упражнение по уравнению Шрёдингера
Сообщение15.05.2013, 18:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11517
Munin в сообщении #724204 писал(а):
годится ли такая интерпретация?

Кажется, в "Принципах КМ" Дирака имеется что-то похожее.
Munin в сообщении #724204 писал(а):
можно ли аналогично рассмотреть уравнение Дирака?

Разве что чисто формально, в УД нет хорошо определённой плотности вероятности. Впрочем, надо освежить в памяти "КМ" Давыдова, он с такими штуками основательно возился, несколько параграфов кряду.

 Профиль  
                  
 
 Re: Маленькое упражнение по уравнению Шрёдингера
Сообщение15.05.2013, 20:18 
Заслуженный участник


02/08/11
6867
Утундрий в сообщении #724291 писал(а):
в УД нет хорошо определённой плотности вероятности

Зато есть плотность заряда.

 Профиль  
                  
 
 Re: Маленькое упражнение по уравнению Шрёдингера
Сообщение15.05.2013, 21:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Утундрий в сообщении #724291 писал(а):
Впрочем, надо освежить в памяти "КМ" Давыдова, он с такими штуками основательно возился, несколько параграфов кряду.

Спасибо за ссылку.

 Профиль  
                  
 
 Re: Маленькое упражнение по уравнению Шрёдингера
Сообщение16.05.2013, 07:32 
Аватара пользователя


02/09/11
1247
Энск
Munin в сообщении #724204 писал(а):
Для этого используется "субстанциональная производная", для которой мы должны сначала найти, собственно, скорость потока. Возьмём оператор скорости (ЛЛ-3 (19.1)):
А может взять не скорость, а выражение для плотности потока?

 Профиль  
                  
 
 Re: Маленькое упражнение по уравнению Шрёдингера
Сообщение16.05.2013, 10:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
zask в сообщении #724467 писал(а):
А может взять не скорость, а выражение для плотности потока?

А как из неё субстанциональную производную выражать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Маленькое упражнение по уравнению Шрёдингера
Сообщение16.05.2013, 10:29 
Аватара пользователя


02/09/11
1247
Энск
Munin в сообщении #724494 писал(а):
А как из неё субстанциональную производную выражать?
Не могу с ходу сказать. Тема очень интересная, но требует хорошего погружения. Но (извиняюсь, конечно, что несу с броневичка), интуиция подсказывает, что существование такой штуки не исключено.

 Профиль  
                  
 
 Re: Маленькое упражнение по уравнению Шрёдингера
Сообщение16.05.2013, 11:27 


17/09/09
224
Представление модуль-фаза интенсивно используется в теории конденсации бозе-газов. Вот здесь http://ufn.ru/ru/articles/1998/6/e/ можно почитать, как написать УШ с взаимодействтием в переменных модуль-фаза

 Профиль  
                  
 
 Re: Маленькое упражнение по уравнению Шрёдингера
Сообщение16.05.2013, 12:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Kamaz
А я-то думал, это пыльная обочина. Спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Маленькое упражнение по уравнению Шрёдингера
Сообщение16.05.2013, 16:25 


17/09/09
224
Меня, кстати, очень заинтересовал ваш вопрос о том, можно ли написать УД в таком представлении. Собственно, меня интересует не столько уравнение Дирака, сколько обобщение подхода модуль-фаза на случай уравнения Шредингера со спинорной волновой функцией. В физике конденсированного состояния сейчас изучаются бозе-конденсаты, со слагаемыми в гамильтониане типа взаимодействия спин-орбита. Собственно, даже атомные конденсаты в ловушках сейчас экспериментально создают такие, что в гамильтониан входят члены такого вида. Подход модуль-фаза имеет ряд преимуществ в описании таких систем (например, диаграммы различные в этом представлении не расходятся, топологические возбуждения типа вихрей удобнее изучать в этом подходе). Я пытался написать, например, для двухкомпонентной ВФ этот подход. Поскольку фаза для каждой компоненты в спиноре вроде как своя, это дает слагаемые в гамильтониане типа косинус от разности фаз нижней и верхней компоненты спинора. Что с ними делать, я так и не смог понять. ((

 Профиль  
                  
 
 Re: Маленькое упражнение по уравнению Шрёдингера
Сообщение16.05.2013, 22:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
А интерпретировать их как движение точек (или несжимаемого потока?) по сфере Римана - не получается?

 Профиль  
                  
 
 Re: Маленькое упражнение по уравнению Шрёдингера
Сообщение17.05.2013, 10:44 
Аватара пользователя


02/09/11
1247
Энск
Munin,
Сообщите результаты? Хотя бы промежуточные в общем виде.

 Профиль  
                  
 
 Re: Маленькое упражнение по уравнению Шрёдингера
Сообщение17.05.2013, 12:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Уже результаты? Я пока только идею предложил.

 Профиль  
                  
 
 Re: Маленькое упражнение по уравнению Шрёдингера
Сообщение17.05.2013, 17:45 


17/09/09
224
zask в сообщении #724986 писал(а):
Munin,
Сообщите результаты? Хотя бы промежуточные в общем виде.

а какие именно вас интересуют результаты? Гамильтониан? Могу предложить ссылку на работу, где такое сделано. Там, правда, не для спинорного конденсата, а для двух связанных конденсатов (поляритоны). Но смысл остается такой же - у каждой компоненты своя фаза

 Профиль  
                  
 
 Re: Маленькое упражнение по уравнению Шрёдингера
Сообщение18.05.2013, 09:40 
Аватара пользователя


02/09/11
1247
Энск
Kamaz в сообщении #725122 писал(а):
а какие именно вас интересуют результаты? Гамильтониан? Могу предложить ссылку на работу, где такое сделано. Там, правда, не для спинорного конденсата, а для двух связанных конденсатов (поляритоны). Но смысл остается такой же - у каждой компоненты своя фаза
Тоже интересно. (Но там я имел в виду развитие идей Muninа.)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 36 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group