2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Дополнение к основным правилам форума:
Любые попытки доказательства сначала должны быть явно выписаны для случая n=3



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4
 
 Re: ВТФ для любого простого показателя $n$.
Сообщение09.11.2013, 02:52 


31/03/06
1384
Мне понятно, что главную трудность представляет доказательство того, что числа $D_{\gamma1}$ и $D_{\beta1}$ взаимно-просты.
Поэтому мы сосредоточимся на этой задаче.
Сравнение $D_{\gamma1} \equiv 0$ по модулю простого числа $p$ эквивалентно системе $n$ нелинейных алгебраических сравнений с $n$ неизвестными.
Поставим в этой системе знак $=$ вместо знака $\equiv$ и попробуем решить полученную систему алгебраических уравнений.
Это можно сделать в какой-нибудь алгебраической программе, например, REDUCE.
Начнём с $n=3$, затем сделаем это для $n=5$.

Программа REDUCE умеет вычислять детерминанты матриц с переменными, поэтому мы представим коэффициенты числа $D_{\gamma1}$ в виде детерминантов.

Обозначим $\frac{a_0-x}{2}$ через $a_n$ и рассмотрим матрицу:

$M=\left( \begin{array} {ccccc} a_1 & 2 a_n & 2 a_{n-1} & \ldots & 2 a_2 \\ a_2 & a_1 & 2 a_n & \ldots & 2 a_3 \\ \vdots & \vdots &\vdots & \ddots & \vdots \\ a_n & a_{n-1} & a_{n-2} & \ldots & a_1 \end{array} \right)$

Пусть $\gamma1=b_1+b_2 g+...+b_n g^{n-1}$.
Тогда

(53) $M (b_1, ..., b_n)^T=(N(\gamma), 0, ..., 0)^T$

Коэффициенты $b_1, ..., b_n$ находятся из этой системы линейных уравнений по правилу Крамера, причём детерминант системы (в знаменателе) связан с нормой $N(\gamma)$: абсолютная величина детерминанта равна абсолютной величине нормы.
Это нетрудно показать, поскольку числа $\gamma, \gamma g, ... \gamma g^{n-1}$ образуют базис идеала, генерированного числом $\gamma$, и матрица $M$ (c перестановкой строк) является матрицей перехода от базиса $1, g, ..., g^{n-1}$ кольца $\mathbb{Z}[\sqrt[n]{2}]$ к вышеуказанному базису идеала.
Если вычеркнуть первую строку и любой столбец матрицы $M$, то детерминант полученного минора равен (плюс-минус) одному из коэффициентов $b_1, ..., b_n$.
Мы проверим это для $n=3$.
Равенство нулю всех этих миноров даёт интересующую нас систему алгебраических уравнений.

Продолжение следует.

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ для любого простого показателя $n$.
Сообщение09.11.2013, 08:05 


31/03/06
1384
Пусть $n=3$.

Тогда $M=\left( \begin{array} {ccc} a_1 & 2 a_3 & 2 a_2 \\ a_2 & a_1 & 2 a_3 \\ a_3 & a_2 & a_1 \end{array} \right)$

Oпределим матрицу $M$ коммандой:

M:=mat((a1, 2*a3, 2*a2), (a2, a1, 2*a3), (a3, a2, a1));

Вычислим детерминант матрицы $M$ коммандой:

det(M);

Получим: $a_1^3-6 a_1 a_2 a_3+2 a_2^3+2 a_3^3$,

что является выражением для нормы.

Определим миноры коммандами:

M1:=mat((a1, 2*a3), (a2, a1));
M2:=mat((a2, 2*a3), (a3, a1));
M3:=mat((a2, a1), (a3, a2));

Решим систему уравнений коммандой:

solve({det(M1)=0, det(M2)=0, det(M3)=0}, {a1, a2, a3});

Получим два решения:

1) $a_1=0$, $a_2=0$, $a_3=0$.

2) $a_3$ - произвольное число, $a_1=root_{of}(a_1^3-4 a_3^3)$, $a_2=a_1^3/a_3$.

Продолжение следует.

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ для любого простого показателя $n$.
Сообщение09.11.2013, 14:46 


31/03/06
1384
Заметим, что для доказательства взаимной простоты числа $D_{\gamma1}$ и $D_{\beta1}$, необязательно было решать систему сравнений ${\det(M_1) \equiv 0, \det(M_2) \equiv 0, \det(M_3) \equiv 0}$.
Достаточно получить линейное относительно $a_3$ сравнение, чтобы заключить, что коэффициент при $a_3$ и свободный член сравнимы с нулём.
В частности, из первого сравнения получим: $a_2 \equiv 0$, а из третьего: $a_1 \equiv 0$. Теперь из второго, получим: $a_3^2 \equiv 0$.
Если говорить о сравнении по простому модулю, то $a_3 \equiv 0$, откуда следует, что числа $D_{\gamma1}$ и $D_{\beta1}$ взаимно-просты.

Пусть теперь $n=5$.

Теперь система ${\det(M_1) \equiv 0, \det(M_2) \equiv 0, \det(M_3) \equiv 0, \det(M_4) \equiv 0, \det(M_5) \equiv 0}$ гораздо сложнее.
Для доказательства взаимной простоты чисел $D_{\gamma1}$ и $D_{\beta1}$, здесь больше подошёл бы алгоритм Евклида относительно $a_5$.

Продолжение следует.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 48 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group