2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Допустимы ли подобные методы доказательства
Сообщение02.05.2013, 16:53 


15/05/12

359
Здравствуйте! Сегодня возникла идея, которая станет понятна из примера.
Вот задача из Прасолова "Задачи по планиметрии" М,2006 №5.16

В треугольнике $ABC$ сторона $BC$ наименьшая. На лучах $BA$ и $CA$ отложены отрезки $BD$ и $CE$, равные $BC$. Докажите, что радиус описанной окружности треугольника $ADE$ равен расстоянию между центрами вписанной и описанной окружностей треугольника $ABC$.

Не буду описывать пока ход решения, которое я попытался провести (оно отлично от решения учебника; пока ещё не получилось). Скажу лишь, что мне удалось найти метод, которым можно связать длины отрезков $AB$, $BI$, $AI$ и $DE$. (Он нетрудный, причём стороны треугольника $ABC$ здесь не задействованы).

Я пришёл к выводу, что должно выполняться соотношение $\frac{DE^2}{AB^2}=\frac{R-2r}{4R}$. Стоп. Уже здесь. Можно ли доказывать через "должно выполняться"? Т.е. мы берём утверждение задачи и предполагаем, что оно верно; мне кажется, что тогда придётся доказывать ещё и обратное. Может, в планиметрии так иногда можно?.

Дальше. Выражаем $R$ и $r$ через $AB$, $BI$, $AI$. У нас получится выражение, не зависящее ни от одной переменной. Получаем требование доказать тождество. Ещё раз стоп. Можно ли так доказывать?

Вот два метода, в которых я сомневаюсь.

С уважением, Николай

Модератору! По тематике вроде этот раздел, но задача олимпиадная. Можете перенести туда.

 Профиль  
                  
 
 Re: Допустимы ли подобные методы доказательства
Сообщение02.05.2013, 17:46 
Заслуженный участник


16/02/13
4105
Владивосток
Странно как-то сформулировано.
Nikolai Moskvitin в сообщении #718764 писал(а):
Я пришёл к выводу, что должно выполняться соотношение
Не очень понял, кому именно оно это должно. Если вам для доказательства необходимо это утверждение, можете использовать -- но потом доказать.
Nikolai Moskvitin в сообщении #718764 писал(а):
У нас получится выражение, не зависящее ни от одной переменной
Это называется константа. А откуда тождество?
В общем, либо доказательство — пускай неправильное, пускай неполное, либо никаких разумных советов вряд ли получится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Допустимы ли подобные методы доказательства
Сообщение02.05.2013, 18:03 


15/05/12

359
iifat в сообщении #718797 писал(а):
Не очень понял, кому именно оно это должно. Если вам для доказательства необходимо это утверждение, можете использовать -- но потом доказать.

Сейчас объясню. Это следствие из факта, который нужно доказать.
При этом- будьте внимательны!- я не использую этот факт явно. Я лишь подвожу следствия из других теорем и аксиом к этому равенству.
iifat в сообщении #718797 писал(а):
Это называется константа. А откуда тождество?


Сейчас тоже объясню. Это я хотел такой трюк проделать: сначала доказал, что та или иная величина может зависеть от трёх других, затем применил этой к ещё одной величине, и т.д.; а потом просто приравнял выражение для одной величины к выражению для другой. Таким образом, я использовал и имеющееся следствие из того, что надо доказать, и доказанные мною равенства. А вот как обосновать, что, наверное, такой трюк делать нельзя, совсем не знаю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Допустимы ли подобные методы доказательства
Сообщение02.05.2013, 18:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Плохо понятно.
Давайте полностью схему предполагаемого доказательства с пропуском недоказанных вещей в виде "вот тут мы из этого факта попробуем доказать вот этот"

 Профиль  
                  
 
 Re: Допустимы ли подобные методы доказательства
Сообщение02.05.2013, 18:52 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Nikolai Moskvitin в сообщении #718764 писал(а):
Я пришёл к выводу, что должно выполняться соотношение $\frac{DE^2}{AB^2}=\frac{R-2r}{4R}$.
Ошиблись. Это равенство не выполняется.

 Профиль  
                  
 
 Re: Допустимы ли подобные методы доказательства
Сообщение02.05.2013, 19:34 


15/05/12

359
Хорошо, уважаемый участник! Обязательно приложу чертёж.

1) Сначала выведем следствие из утверждения, которое нужно доказать. Обозначения будут те, которые были приведены в первом посте, новые буду вводить по ходу решения.
Вспомним, во первых, формулу Эйлера (для расст. между впис. и опис. окружностями треугольника): $d^2=R^2-2Rr$ (1),
где $d$- данное расстояние, а $R$ и $r$- радиусы описанной и вписанной окружности треугольника $ABC $соответственно.
Обозначим центр описанной окружности треугольника $CDE$--$K$. Пусть центры описанной и вписанной окружности треугольника $ABC$--$O$ и $I$ соответственно. Утверждение задачи: $CK=OI$.
По известной теореме,

$\frac{DE}{\sin{\angle{ECD}}}=2CK$. (2)

Но $\angle{DCE}=\angle{BCA}$, значит,

$\frac{AB}{\sin{\angle{DCE}}}=2R$ (3).

Итак: $\frac{(DE^2)(4R^2)}{AB^2}=R^2-2Rr (4).

Сокращаем в обеих частях R и получаем после перенесения множителей удобную формулу:
$\frac{DE^2}{AB^2}=\frac{R-2r}{4R}$ (5)

Теперь приступим доказательству. Обозначим середины отрезков $BE$ и $AD$ как $K$ и $L$ соответственно, а пересечения прямой $KL$ и стороны $AC$ как $B_0$.



Изображение

2) По теореме о вписанном угле, точки $A$, $B$, $K$, $L$ лежат на одной окружности. Тогда $\angle{BAK}=\angle{BLK}$, а так как луч $AK$ содержит биссектрис угла $A$, то точки $A$, $I$, $K$, $B_0$ лежат на одной окружности. Точки $B_0$, $I$, $K$, $E$ также лежат на одной окружности (так как $IK$ перпендикулярен $AC$). Поэтому $\angle{IAL}=\angle{IB_0K}=\angle{IEK}$. Так как треугольники $ABD$ и $BAE$- равнобедренные и прямые $AK$ и $BL$ являются осями их симметрии, треугольники $AID$ и $BIE$ подобны по первому признаку. Тогда по трём из величин $AI$, $BI$, $BE$ и $AD$ можно узнать четвёртую. "Сделаем известной" $BE$ (иными словами, просто выразим её через три другие указанные величины). Если применить теорему Пифагора к треугольнику $IBK$, то можно легко найти AB.

3) Вот тот самый трюк: $AB$ можно выразить через $BE$, $AI$ и $BI$. Тогда $BE$, в свою очередь, можно выразить через $AB$, $AI$ и $BI$.
Есть все данные для нахождения $DE$. Итак, с помощью трёх величин ($AB$, $AI$, $BI$) удалось выразить длину $DE$. Вернёмся к формуле (5). Стороны треугольника $ABI$ можно выразить через стороны треугольника $ABC$. Значит, возможна обратная операция. С другой стороны, радиусы вписанной и описанной окружностей тоже можно выразить через стороны треугольника $ABC$. Значит, их можно выразить и через стороны треугольника $ABI$. Подставляем все полученные выражения в равенство (5) и получаем тождество, которое надо доказать. :-)

-- 02.05.2013, 19:35 --

nnosipov в сообщении #718834 писал(а):
Ошиблись. Это равенство не выполняется.

Я мог коэффициенты перепутать, поэтому см. мой следующий пост. Если что, поправите меня. Я перепутал буквы! Тогда см. чертёж и всё после него рассматривайте относит. чертежа До него давайте тоже. Ничего уже не поделаешь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Допустимы ли подобные методы доказательства
Сообщение02.05.2013, 20:20 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Nikolai Moskvitin в сообщении #718851 писал(а):
Я перепутал буквы!
Возможно, но равенство (5) как было неверным, так и осталось (в обозначениях задачи из Прасолова).

 Профиль  
                  
 
 Re: Допустимы ли подобные методы доказательства
Сообщение02.05.2013, 20:22 


15/05/12

359
где ж ошибка-то?

 Профиль  
                  
 
 Re: Допустимы ли подобные методы доказательства
Сообщение02.05.2013, 20:25 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Nikolai Moskvitin в сообщении #718877 писал(а):
где ж ошибка-то?
Не знаю, найдите сами. Нарисуйте картинку в геогебре, посмотрите повнимательней.

 Профиль  
                  
 
 Re: Допустимы ли подобные методы доказательства
Сообщение02.05.2013, 20:25 


15/05/12

359
Нашёл! Я недомножил правую часть равенства (4) на 4. Спасибо, nnosipov, за терпение!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group