2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Обратные тригонометрические функции
Сообщение29.04.2013, 20:46 
Аватара пользователя


04/03/13
11
Здравствуйте! Имеется такая задачка: надо посчитать $\cos(\arcctg(-2))$
Я рассуждала так. Пусть $y=\arcctg(-2)$, причем $y\in\(0, \pi)$ и $\ctg(y) = - 2$. Значит, раз котангенс отрицательный, то будем рассматривать только 2-ую четверть $(\pi/2, \pi)$. В результате вычислений получим $\cos(y) = ±2/\surd5$. Подходит отрицательный корень.

Но есть другой ход рассуждений.
$\arcctg(-2) = \arctg(-0,5) = - \arctg(0,5)$
Далее $\cos(-\arctg(0,5)) = \cos(\arctg(0,5))$
Пусть $\arctg(0,5)=y$, где $y\in\(-\pi/2, \pi/2)$ и $\tg(y)=0,5$. Из того, что тангенс положительный, будем рассматривать первую четверть, т.е. $y\in\(0, \pi/2)$. Тогда получится точно такой же ответ на косинус по модулю, но положительный.

Я не понимаю. В чем я не права? Можно ли вот так просто заменять арккотангенс на арктангенс? В сборнике задач ответ дан отрицательный ($ -2/\surd5$), но если решать вторым способом, то ответ получается положительный. Кроме того, вольфрам дает положительный ответ. В чем загвоздка?

Кривовато формулы вышли, знаю, оправдания мне нет, кроме как "старалась, как могла". Надеюсь на понимание, спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Обратные тригонометрические функции
Сообщение29.04.2013, 21:18 
Заслуженный участник


25/02/08
2961
Вообще то
$\[{\mathop{\rm arcctg}\nolimits} (x) = \left\{ \begin{array}{l}
{\mathop{\rm arctg}\nolimits} (\frac{1}{x}),x > 0\\
{\mathop{\rm arctg}\nolimits} (\frac{1}{x}) + \pi ,x < 0
\end{array} \right.\]$

 Профиль  
                  
 
 Re: Обратные тригонометрические функции
Сообщение29.04.2013, 21:25 
Аватара пользователя


04/03/13
11
Ms-dos4
Все, понятно. Спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Обратные тригонометрические функции
Сообщение29.04.2013, 21:34 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Это ещё вопрос, что такое арккотангенс. "Тут и в прессе есть \\ Расхождения; \\ И вообще идут \\ Толки разные... \\ Вот и вникните \\ В положение -- \\ Исключительно \\ Безобразное!"

Т.е. это полнейшее безобразие -- давать задачки на арккотангенсы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Обратные тригонометрические функции
Сообщение30.04.2013, 13:34 
Аватара пользователя


04/03/13
11
ewert
Сборник задач не я составляла...
Простите, если вопрос глупый. А почему безобразие?

 Профиль  
                  
 
 Re: Обратные тригонометрические функции
Сообщение01.05.2013, 00:15 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
violets в сообщении #717651 писал(а):
А почему безобразие?

Потому, что арккотангенс (в отличие от арксинуса, арккосинуса и арктангенса -- штука весьма двусмысленная (и я там даже процитировал на этот счёт). Поэтому упоминать его даже в научных текстах несколько неприлично, не говоря уж об учебных задачках.

 Профиль  
                  
 
 Re: Обратные тригонометрические функции
Сообщение01.05.2013, 03:55 
Заслуженный участник


16/02/13
4105
Владивосток
Мнэээ... А можно таки узнать, чем же именно арккотангенс не угодил благородному дону? Да ещё и
ewert в сообщении #717990 писал(а):
в отличие от арксинуса, арккосинуса и арктангенса
? Штука, согласен, даже не дву-, а бесконечносмысленная. В точности как и вышеперечисленные товарищи.
Касательно задачи -- вот тут, по-моему, ошибка:
violets в сообщении #717412 писал(а):
Подходит отрицательный корень
-- $\ctg(\alpha+\pi)=\ctg\alpha$, в то время как синус/косинус меняют знак. Отсюда ясно, что по котангенсу (как и по тангенсу, например, против коего ewert ничего не имеет), косинус можно узнать только с точностью до знака.

 Профиль  
                  
 
 Re: Обратные тригонометрические функции
Сообщение01.05.2013, 09:20 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
iifat в сообщении #718045 писал(а):
В точности как и вышеперечисленные товарищи.

Да вот нет, в точности не в точности. Если те три функции все понимают одинаково, то про арккотангенс вот что думает, скажем, вольфрам:

Изображение
http://mathworld.wolfram.com/InverseTrigonometricFunctions.html

Причина в сочетании нечётности арккотангенса с его разрывностью в нуле, из-за чего есть два достаточно естественных способа выбора его главного значения. Поэтому употреблять эту функцию неприлично.

 Профиль  
                  
 
 Re: Обратные тригонометрические функции
Сообщение01.05.2013, 09:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
ewert, а может, это Вольфрамом пользоваться неприлично? :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Обратные тригонометрические функции
Сообщение01.05.2013, 09:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/10
1600
spb
ewert
Но ведь для арккотангенса и выделяют непрерывную область - $(0; \pi)$. Ну а там разрывы, да - и что?

 Профиль  
                  
 
 Re: Обратные тригонометрические функции
Сообщение01.05.2013, 09:51 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
provincialka в сообщении #718114 писал(а):
может, это Вольфрамом пользоваться неприлично? :-)

Лет двадцать назад Вы были бы правы, сегодня же такая постановка вопроса бессмысленна. Дело ведь не в вольфраме лично, а в отличии нашей традиции от вражеской. Пакеты же сегодня у нас исключительно вражеские. Поэтому наиболее разумный подход -- просто отказаться от двусмысленных понятий, благо в данном случае от этого никаких потерь.

-- Ср май 01, 2013 10:56:05 --

SpBTimes в сообщении #718117 писал(а):
Но ведь для арккотангенса и выделяют непрерывную область

Это у нас её выделяют, и это естественно. А у них для обращения выбирают другой участок взаимной однозначности -- симметричный, и это не менее естественно, т.к. позволяет сохранить нечётность, пусть хоть в принципе.

С остальными тремя функциями подобных дилемм не возникает: у синуса и тангенса нечётность не противоречит непрерывности, а чётность косинуса всё равно ни в каком смысле при обращении не сохраняется.

 Профиль  
                  
 
 Re: Обратные тригонометрические функции
Сообщение01.05.2013, 09:56 


20/04/12
147
SpBTimes в сообщении #718117 писал(а):
ewert
Но ведь для арккотангенса и выделяют непрерывную область - $(0; \pi)$. Ну а там разрывы, да - и что?

Для главного значения арктангенса выделяют - $(-\pi/2; \pi/2)$ и там он непрерывен.

 Профиль  
                  
 
 Re: Обратные тригонометрические функции
Сообщение01.05.2013, 09:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/10
1600
spb
Nacuott
а писал про арккотангенс :D
А про "там" - имелись в виду концы

-- Ср май 01, 2013 10:00:19 --

ewert в сообщении #718119 писал(а):
т.к. позволяет сохранить нечётность, пусть хоть в принципе

А зачем она сдалась?

 Профиль  
                  
 
 Re: Обратные тригонометрические функции
Сообщение01.05.2013, 10:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
violets в сообщении #717412 писал(а):
Кривовато формулы вышли, знаю, оправдания мне нет, кроме как "старалась, как могла". Надеюсь на понимание, спасибо.

С формулами всё нормально, кроме пары пропущенных скобок (если писать \( - то скобка ставиться не будет), и квадратного корня. Квадратный корень пишется так: \sqrt{5} - будет $\sqrt{5}.$

ewert
А в чём, собственно, дело? Есть две функции, $\arcctg x$ и $\cot^{-1} x.$ Ну различаются, ну и что? По обозначению всё ясно. Мы же $\arcctg x$ и $\operatorname{Arcctg} z$ не путаем.

 Профиль  
                  
 
 Re: Обратные тригонометрические функции
Сообщение01.05.2013, 10:53 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Munin в сообщении #718133 писал(а):
Есть две функции, $\arcctg x$ и $\cot^{-1} x.$ Ну различаются, ну и что?

Есть две функции, $\arctg x$ и $\tan^{-1} x.$ Ну различаются, ну и что?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 19 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group