2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Планиметрия. Какой путь выбрать?
Сообщение29.04.2013, 02:36 


11/11/11
62
В треугольнике $ABC$ угол $A$ прямой, известно, что $AB=AC$. Прямоугольный треугольник $AMN$ с прямым углом $A$ расположен так, что $AB$ и $AN$ образуют угол $45^{\degree}$. Площадь пересечения равна $49$, а площадь объединения равна $213$. Найдите площади каждого из треугольников.

Ответ: $162$ и $100$

Сделал рисунок одной из конфигураций.

Изображение

Тут окружность не к месту, но мне так удобнее было рисовать, да и обозначать. Пусть $R$ -- радиус окружности.

Я пробовал делать так: Площадь объединения выразить через $R$ и через $CD$. Получил систему из двух уравнений и двух неизвестных.

$$213=S_{\cup}=S_{OBA}+S_{M_1AN_1}-S_{DCN_1N}-S_{M_1MEC}=\dfrac{R^2}{2}+4R^4-\dfrac{2(R\sqrt{2}-DC)-DC+2\sqrt{2}R}{2}\cdot DC$$

$$49=S_{\cap}=S_{ADE}+S_{EOA}=0,5DC\cdot (\sqrt{2}R-DC)+0,5R(R-\sqr{2}DC)$$

Что-то меня эта системка не вдохновляет. Есть ли здесь какие-либо элегантные способы решения?

 Профиль  
                  
 
 Re: Планиметрия. Какой путь выбрать?
Сообщение29.04.2013, 08:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Зачем такие сложности? На картинке куча прямоугольных равнобедренных треугольников, стороны которых легко выражаются через стороны исходных. Например, $OM=AM-AB/\sqrt2$

И почему у вас одна площадь выражена через четвертую степень?

 Профиль  
                  
 
 Re: Планиметрия. Какой путь выбрать?
Сообщение29.04.2013, 08:46 


05/09/12
2587
provincialka в сообщении #717117 писал(а):
На картинке куча прямоугольных равнобедренных треугольников
, только в условии нигде не сказано, что треугольник $AMN$ равнобедренный. Это такой читерский подход - предполагать, что составитель задачи не злыдень, значит решение задачи единственно и не зависит от равнобедреноости треугольника $AMN$, значит давайте предположим что он равнобедренный, решим задачу так, выдадим ответ - если сойдется с цифрами, то и ладно :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Планиметрия. Какой путь выбрать?
Сообщение29.04.2013, 08:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/07/09
1178
_Ivana в сообщении #717126 писал(а):
Это такой читерский подход - предполагать, что составитель задачи не злыдень, значит решение задачи единственно и не зависит от равнобедреноости треугольника

Это не только читерский, но и неверный подход (в данном случае). Если взять AN достаточно большим, то площадь пересечения не будет зависеть от него, и будет равняться половинке $S_{ABC}$, то есть $S_{ABC}=98$, тогда как нам нужно 162 или 100. Поэтому соотношение сторон весьма существенно, и совсем не факт, что оно окажется 1:1.

Задачу я вроде решил (в общем виде), моя система получилась намного проще, но численный ответ не сходится с данным. Поищу ошибку пока.

 Профиль  
                  
 
 Re: Планиметрия. Какой путь выбрать?
Сообщение29.04.2013, 09:00 


05/09/12
2587
Legioner93 в сообщении #717130 писал(а):
но численный ответ не сходится с данным. Поищу ошибку пока.
Но, надеюсь, сумма площадей по вашему ответу совпадает с суммой их пересечений и объединений?

 Профиль  
                  
 
 Re: Планиметрия. Какой путь выбрать?
Сообщение29.04.2013, 09:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/07/09
1178
_Ivana в сообщении #717132 писал(а):
Но, надеюсь, сумма площадей по вашему ответу совпадает с суммой их пересечений и объединений?

Дело в том, что это одно из двух уравнений системы :D Так что конечно да.

-- Пн апр 29, 2013 10:51:25 --

Теперь у меня вообще получилось, что в задаче недостаточно данных :facepalm:

 Профиль  
                  
 
 Re: Планиметрия. Какой путь выбрать?
Сообщение29.04.2013, 10:06 


05/09/12
2587
Legioner93 в сообщении #717133 писал(а):
Теперь у меня вообще получилось, что в задаче недостаточно данных
Но если все-таки воспользоваться предложенным ТС и описанным выше читерским методом (хотя, может просто неверно переписано условие), то все там нормально получается. В конце концов приходим к уравнению $s^2-262s+16200=0$, корнями которого получаются обе площади.

-- 29.04.2013, 10:42 --

Смотря что считать "геометрическим рассмотрением". Моожет быть, некто (превозносимый в отдельных кругах) Дьедонне, написавший школьный учебник по геометрии без единого чертежа и гордящийся этим, и предложит какой-нибудь вариант с векторами или введением системы координат, записи условий и сведения сразу к алгебраической задаче, но в моем решении некие стартовые тривиальные "геометрические рассмотрения" наличествуют, но они минимальны.

ЗЫ ну так нечестно - сначала задавать вопрос, а потом стирать свое сообщение. В следующий раз буду полностью цитировать (и пусть модераторы тогда не придираются к оверквотингу), иначе получается ответ без вопроса...

 Профиль  
                  
 
 Re: Планиметрия. Какой путь выбрать?
Сообщение29.04.2013, 13:50 


11/11/11
62
Действительно, пропустил в условии слово "равнобедренной", простите за невнимательность.

-- 29.04.2013, 13:53 --

provincialka в сообщении #717117 писал(а):

И почему у вас одна площадь выражена через четвертую степень?


Это я опечатался при наборе... Должно быть так

$$213=S_{\cup}=S_{OBA}+S_{M_1AN_1}-S_{DCN_1N}-S_{M_1MEC}=\dfrac{R^2}{2}+4R^2-\dfrac{2(R\sqrt{2}-DC)-DC+2\sqrt{2}R}{2}\cdot DC$$

$$49=S_{\cap}=S_{ADE}+S_{EOA}=0,5DC\cdot (\sqrt{2}R-DC)+0,5R(R-\sqr{2}DC)$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Планиметрия. Какой путь выбрать?
Сообщение29.04.2013, 14:40 


05/09/12
2587
mad1math, ну раз вы хотите продолжать идти по вашему пути решения - так решайте вашу систему уравнений, она не настолько сложна как кажется, 2 неизвестные, присутствуют только их квадраты и произведение. Вдохновляйтесь ей (системой), приводите подобные наконец!
ЗЫ я в своем решении обозначил за неизвестные 2 других параметра, мне так было удобнее (да и окружность я не рисовал), но сам вид системы оказался такой же - а от него уже просто перейти к квадратному уравнению, которое я для своего случая написал выше.

 Профиль  
                  
 
 Re: Планиметрия. Какой путь выбрать?
Сообщение29.04.2013, 23:46 


05/09/12
2587
UPD: ТС, если вы найдете и исправите 2 очевидные ошибки в вашей системе уравнений, то вы придете к правильному ответу, у вас получится $R=10, DC = 2^{1/2}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Планиметрия. Какой путь выбрать?
Сообщение30.04.2013, 00:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
А если обозначить через $a$ сторону "северного" треугольника, а через $b$ - юговосточного, получим, что искомые площади имеют вид $a^2, b^2$, их сумма равна $213+49=262$, а сумма площадей маленьких (югозападных) треугольников равна 33.

Осталось выразить их стороны через $a,b$ и получаем систему для неизвестных $a^2, b^2$, которые и являются искомыми.

Тут не решена другая проблема: все ли возможные способы наложения треугольников мы рассмотрели?

 Профиль  
                  
 
 Re: Планиметрия. Какой путь выбрать?
Сообщение30.04.2013, 00:21 


05/09/12
2587
А случаев всего 2 - как на рисунке ТС и без "перехлеста" (пересечение - треугольник). Можно рассмотреть и второй случай, если не удовлетвориться получением совпавшего ответа. Имхо весьма вероятно, что во втором случае решения может не быть.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group