2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Метрический тензор
Сообщение23.04.2013, 17:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/10/10
1481
Ереван(3-й участок)
Господа, я запутался. Помогите, пожалуйста, разобраться.

Итак, имеется риманово многообразие $M$ с метрикой $g_{ik}$ ($i,k=1,2,3$). И пусть это многообразие изменяется со временем, т.е. $g_{ik}$ (на какой-то карте ) зависят не только от координат, но еще и времени $s$: $g_{ik}=g_{ik}(s,x)$.
Понятно, что при пространственных преобразованиях $g_{ik}$ меняется как трехмерный тензор.
Теперь я хочу сделать преобразование $x\to x(s',x'),\quad s\to s(s',x')$ и проследить, что происходит с величинами $g_{ik}$. И тут все запутывается. Понятно, что т.к. в новой системе многообразие будет вращаться, то у нас появится еще и дополнительное векторное поле $j$, которое будет указывать, куда переместится данная точка в следующий момент. Т.е. нужно делать преобразование от $(g,j)\to (g',j')$.

А вот дальше все запутывается.

Если следовать ОТО, то можно ввести $G_{ik}=-g_{ik}+\frac{g_{im}j^mg_{kl}j^l}{h}$, $G_{0,i}=-\frac{g_{ik}j^k}{h}$, $G_{00}=h$ и постулировать, что $G_{\mu\nu}$ преобразовывается как 4-тензор. Но, что такое $h$ в контексте вышесказанного и как к сим формулам прийти, исходя из трехмерных обозначений?

 Профиль  
                  
 
 Re: Метрический тензор
Сообщение23.04.2013, 20:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11536
По сути, вопрос относится к продолжению topic70860.html
Какой смысл затевать новую тему?

 Профиль  
                  
 
 Re: Метрический тензор
Сообщение23.04.2013, 21:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
3-метрика, переменная со временем, и 4-метрика - это две разные математические конструкции. Вторую можно себе представить как первую + ещё что-то. Вот это "что-то" - буковки $j$ и $h,$ не имеющие никакого особого наглядного смысла. Просто элементы формул.

 Профиль  
                  
 
 Re: Метрический тензор
Сообщение24.04.2013, 14:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/10/10
1481
Ереван(3-й участок)
Утундрий в сообщении #714724 писал(а):
Какой смысл затевать новую тему?

А в том, что
Munin в сообщении #714747 писал(а):
3-метрика, переменная со временем, и 4-метрика - это две разные математические конструкции.


Мне хотелось бы услышать умные слова.

Вот смотрите. Забудем на минуту об ОТО и рассмотрим просто СТО. Тогда преобразования затрагивающее время- это Лоренцевы бусты , которые, вообще говоря, не получаются не из чего а просто постулируюстя.

Преобразование $x'=x'(s,x)$ это, как бы изометрическое вложение нашего трехмерного пространства в какое-то 4-пространство-время. Видимо, чтобы получить ОТО, нужно взять сигнатуру метрики этого 4-пространства $(+,-,-,-)$, что и соответствует постулируемым Лоренцовским преобразованиям в СТО.
Я бред несу, или это можно умными словами сформулировать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Метрический тензор
Сообщение24.04.2013, 18:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Не бред, но ошибку. Дело в том, что вы заранее думаете о 4-пространстве-времени как о метрическом римановом пространстве - на нём есть единственная функция метрики, которая и определяет его геометрию пространства-времени. А это не единственный возможный вариант. Можно построить разные геометрии. И простое "изометрическое вложение нашего трехмерного пространства в какое-то 4-пространство-время" - оно как раз, по умолчанию, вкладывает 3-пространство в 4-пространство-время другой геометрии.

Пример другой геометрии на примере СТО: пространство-время классической механики, инвариантное относительно преобразований Галилея. Оно наделено не одной функцией интервала: $|(\Delta s,\Delta x)|$ - а двумя функциями, метрикой пространства $|\Delta x|$ и метрикой времени $\Delta s.$ Причём метрика пространства определена только для точек с одинаковым моментом времени $\Delta s=0.$ Галилеевы преобразования - это такие, которые сохраняют одно и другое, и к тому же линейны: переводят прямые линии в прямые линии (такие линии при $\Delta s\ne 0$ вдоль линии называются инерциальным движением). Вот такая геометрия. Описать её как чисто метрическую - невозможно, она ведёт себя как "метрическая" в смысле, что все промежутки времени "бесконечно большие" по сравнению с любыми пространственными расстояниями (можно вспомнить нестандартный анализ). Но это - полноценная геометрия, укладывающаяся в такую конструкцию, как геометрия расслоения.

Так же и с вашей "переменной во времени 3-метрикой", она будет некоторой замысловатой геометрией с неравноправными направлениями пространства и времени, пока вы не введёте дополнительных конструкций, делающих их равноправными (это называется "3+1 decomposition / formalism (in General Relativity)").

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group