2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.



Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней. На страницу Пред.  1 ... 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10  След.
 
 Re: Методика преподавания полярной системы координат
Сообщение28.04.2013, 08:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407

(Оффтоп)

ewert в сообщении #716471 писал(а):
нет, оно (с формальной точки зрения) категорически неверно. Хотя бы потому, что отсчитывается от некоей выделенной точки

Я думаю, что каждый в состоянии произнести полную фразу "расстояние от начала координат", и подозревать своих собеседников в неспособности это сделать - неуместно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Методика преподавания полярной системы координат
Сообщение28.04.2013, 09:15 
Модератор
Аватара пользователя


16/02/11
3788
Бурашево

(Оффтоп)

Предлагал просто дать другое название, коль скоро Shtorm считает своим долгом рассказать о системе с отрицательным $r$

 Профиль  
                  
 
 Re: Методика преподавания полярной системы координат
Сообщение28.04.2013, 17:40 
Заслуженный участник


12/07/07
4438
profrotter, предложение привести примеры относится не только к Вам. Да и Вы не спешите с ответом, может, что-то вспомните. А названия «обобщенная», «модифицированная» и т.д. и т.п. уже заняты под другие немного более важные и содержательные системы координат. Вспомните хотя бы Сборник задач Демидовича или третий том Фихтенгольца («обобщенное полярное преобразование», которое в Ильине — Позняке называется просто сферической системой координат в n-мерном пространстве.). Тут на каждую модификацию замучаешься придумывать название. Куда полезней привести поучительные примеры.

 Профиль  
                  
 
 Re: Несправедливый бан
Сообщение07.05.2013, 11:56 
Аватара пользователя


14/02/10
4956
Уважаемые участники форума!
Меня осенило только сегодня утром: ведь "Розы" - это кривые, которые имеют также название "кривые Гвидо Гранди" и эти розы описаны и исследованы уже давным давно этим учёным. Так вот один из способов построения и описания этих крвых - это так называемый "кинематический способ". То есть: берём прямолинейный отрезок и совмещаем его с полярной осью так, чтобы середина отрезка совпадала с полюсом. Размещаем на этом отрезке точку. Эта точка совершает гармонические колебания, скользя по отрезку с определённой частотой. При этом отрезок начинает равномерно вращаться относительно полюса. В результате, точка описывает траекторию, которая и будет являться "розой". Таким образом, в уравнении:
$$r=a\sin(k\varphi)$$
$k$ - будет частотой колебания точки. Не трудно теперь установить, что если $k$ - чётно, то лепестков будет ровно $2k$.

Таким образом, $2k$-лепестковость обусловлена изначально самим типом данной кривой.

Я правильно рассуждаю?

(конечно осенило - не то что озарило прям, я прочитал про Гвидо и кинематический способ вечером в Савёлове, но одно дело прочитать, а другое....так вот осмыслил - только утром)

 Профиль  
                  
 
 Re: Методика преподавания полярной системы координат
Сообщение07.05.2013, 14:58 


29/09/06
4552
Shtorm,

очевидно же, что любая роза типа $$r=a\sin k\varphi$ с целым $k$ является $2k$-лепестковой $(0\le\varphi\le2\pi)$. Просто при нечётных $k$ лепестки накладываются (проходятся дважды). Чтобы увидеть это, сделайте константу $a$ слабо меняющейся функцией угла, типа $a=50+2\varphi$:
Изображение
Кривые исследованы в 2013 году в лаборатории курвологии форума dxdy. Публикуется впервые.
(Dotted lines --- лепестки, проходимые с отрицательным "полярным радиусом").

(Code.eps)

Код:
%!PS-Adobe-2.0
%%BoundingBox: 0 0 770 182
/a0 70 def
/Rad 3.14159 180 div def
/Polar {2 copy cos mul 3 1 roll sin mul} bind def
   
/Helvetica findfont 14 scalefont setfont
a0 1.1 mul dup 15 add translate 1 setlinecap

[1 2 3 4 5] {%
   /k exch def
   gsave .2 setlinewidth a0 neg 0 moveto a0 0 lineto 0 a0 neg moveto 0 a0 lineto stroke
      1 0 0 setrgbcolor 0 0 moveto
      0 1 360 {%
        dup dup Rad mul 2 mul a0 add 1 index k mul sin mul exch Polar lineto
        k mul dup 1 add sin exch 180 mod 0 eq {%
          stroke [ exch 0 lt {0 3 1.8 mul 1.8}{.6} ifelse setlinewidth] 0 setdash 0 0 moveto
        }{pop} ifelse
      } for
   0 0 1 setrgbcolor 2 a0 2 div moveto (k=) show k 3 string cvs show
   grestore
   a0 2.2 mul 0 translate
} forall

 Профиль  
                  
 
 Re: Методика преподавания полярной системы координат
Сообщение07.05.2013, 18:37 
Аватара пользователя


14/02/10
4956
Алексей К., спасибо за Ваши труды.
Таким образом, можно ли сказать, что отрицательный полярный радиус при построении кривых Гвидо Гранди обусловлен самим механическим смыслом данных кривых?

 Профиль  
                  
 
 Об обусловленности отрицательного полярного радиуса при пост
Сообщение07.05.2013, 19:39 


29/09/06
4552
Что касается меня, то для меня это слишком сложный вопрос.

 Профиль  
                  
 
 Re: Методика преподавания полярной системы координат
Сообщение07.05.2013, 22:31 
Аватара пользователя


14/02/10
4956
Рассуждаем далее:
Многие высказывались о том, что использование отрицательного полярного радиуса создаёт неудобство из-за неоднозначности соответствия точки на плоскости и пары значений $(\varphi, \rho)$. Как мы видим, кинематическое описание "розы", имеющей нечётный коэффициент $k$ перед аргументом синуса или косинуса предполагает прохождение дважды любого из лепестков. Это просто механическое движение точки по одной и той же траектории. Никакого неудобства с физической точки зрения это не вызывает. Переходя теперь от физического смысла к чистой математике, видим, что использование отрицательного полярного радиуса просто напросто - воплощает механику движения в математическое (координатное) описание и всё. В чём же здесь неудобство? Я подчеркну, что веду речь пока только о построении полярной кривой. С точки зрения построения и таблиц значений $(\varphi, \rho)$ ничего страшного, что некоторые точки на плоскости будут описываться не одной парой полярных координат, а двумя. А полюс - так не двумя, а большим количеством.

Как прекрасно на этом примере видно, что математика в данном случае выступает просто в качестве удобного аппарата для механики. Почему же многие против многозначности задания точки на плоскости в данном случае? Самое главное, что эту точку можно задать.

Идём далее.
Находим площадь фигуры, заданной полярным уравнением. Для этого интегрируем по формуле:
$$S=\frac{1}{2}\int\limits_{\varphi_1}^{\varphi_2}[\rho(\varphi)]^2d\rho$$
Тоже нет никаких неудобств.
Правильно рассуждаю?

 Профиль  
                  
 
 Re: Методика преподавания полярной системы координат
Сообщение08.05.2013, 00:04 


29/09/06
4552
Shtorm в сообщении #720951 писал(а):
Находим площадь фигуры, заданной полярным уравнением.
Что такое "площадь фигуры, заданной полярным уравнением" я тоже не понимаю. Ну, для $r=\operatorname{const}$ могу что-то представить (и, соответственно, поправить Ваш косноязычный текст), но для архимедовой, или, скажем, логарифмической спирали пока не в состоянии оценить этот пассаж.
Не исключаю, что утром сумею.
Но если бы Вы научились точности выражений, принятой в этой дурацкой науке, то, глядишь, я бы и ночью разобрался.

-- 08 май 2013, 01:12:22 --

Shtorm в сообщении #720951 писал(а):
Для этого интегрируем по формуле:
$$S=\frac{1}{2}\int\limits_{\varphi_1}^{\varphi_2}[\rho(\varphi)]^2d\rho$$
Вау, у Вас площадь в кубометрах получается! Не, даже с утра не буду разбираться. Это превосходит мои возможности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Методика преподавания полярной системы координат
Сообщение08.05.2013, 00:22 
Аватара пользователя


14/02/10
4956
Алексей К. в сообщении #720978 писал(а):
Что такое "площадь фигуры, заданной полярным уравнением" я тоже не понимаю


Да...что-то с у меня не заладилось с точностью высказываний. Конечно нужно было написать: площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной полярным уравнением.

-- Ср май 08, 2013 00:25:02 --

Алексей К. в сообщении #720978 писал(а):
Вау, у Вас площадь в кубометрах получается!


:facepalm: Глубоко извиняюсь, но это просто опечатка:


$$S=\frac{1}{2}\int\limits_{\varphi_1}^{\varphi_2}[\rho(\varphi)]^2d\varphi$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Методика преподавания полярной системы координат
Сообщение08.05.2013, 00:25 


29/09/06
4552
Shtorm в сообщении #720984 писал(а):
Конечно нужно было написать: площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной полярным уравнением.
Уж это-то я сумел бы вообразить. Но с типовыми кривыми (выше названными) и это не помогает.

-- 08 май 2013, 01:32:44 --

А, понял недосказанное: "рассматриваются только такие кривые, которые ограничивают замкнутую фигуру" (ну, и, возможно, какие-то заикания про диапазоны переменных).
Лог. спираль, пошла ты в задницу отсюда!

 Профиль  
                  
 
 Re: Методика преподавания полярной системы координат
Сообщение08.05.2013, 00:32 
Аватара пользователя


14/02/10
4956
Алексей К., обычно же как делают: считают площадь одного лепестка (или половины лепестка), а затем умножают на количество лепестков. Вопрос только в том был - а сколько именно лепестков? (если угол меняется от 0 до $2\pi$)
Ну, то есть сам для себя-то я даю ответ - сколько именно лепестков, так что вопрос, точнее утверждение обсуждаемое - "отрицательный полярный радиус тут не мешает". Вот.

 Профиль  
                  
 
 Re: Методика преподавания полярной системы координат
Сообщение08.05.2013, 00:36 


29/09/06
4552
Ах, так Вы снова про свои розочки! А пишете про "... фигуры, заданной полярным уравнением".

 Профиль  
                  
 
 Re: Методика преподавания полярной системы координат
Сообщение08.05.2013, 00:42 
Аватара пользователя


14/02/10
4956
Алексей К. в сообщении #720986 писал(а):
Лог. спираль, пошла ты в задницу отсюда!


Да, со спиралями, с улиткой Паскаля, имеющую внутреннюю петлю и другими подобными фигурами - требуется на рисунке заштриховать фигуру, площадь которой необходимо найти. А уже потом комбинировать интегралы, вычитая или складывая площади.
Ну, то есть речь сейчас идёт именно о том, что отрицательный полярный радиус не мешает нахождению площади фигур.

 Профиль  
                  
 
 Re: Методика преподавания полярной системы координат
Сообщение08.05.2013, 12:24 
Аватара пользователя


14/02/10
4956
И в дополнение к сказанному:
Задача. Найти площадь замкнутой фигуры, ограниченной кривой $r=\sin2\varphi$. Студент смотрит подобные примеры в лекции (а в лекции только пример с лемнискатой Бернулли), видит, что сначала находят площадь половины лепестка с помощью интегрирования, затем умножив на два получают площадь всего лепестка, а затем умножают на количество лепестков. И тут студент впадает в ступор: а сколько лепестков у кривой $r=\sin2\varphi$? :shock: Он мучительно вспоминает, что в прошлом учебном году в курсе "Аналитической геометрии" препод что-то такое говорил....но с тех пор прошли бурные летние походы и жаркие романы, и из головы начисто выветрился смысл сказанного. И вот в этом году в курсе "Математического анализа" в теме "Определённый интеграл" уже другой препод сказал, ну мол вы уже знаете полярную систему координат и если требуется найти площадь, то используется такая-то формула и разобрал один пример. Всё на этом. Студент звонит своей подружке Лене из другого вуза, та ему говорит, конечно лепестков два - ведь отрицательный полярный радиус не может быть - нам так препод на лекции сказал. Затем студент звонит своей подружке Ольге из третьего вуза и та ему говорит, конечно лепестков 4 - нам так препод на лекции сказал. У студента есть ещё вариант, есть у него дальний родственник - суровый препод-математик, которого он побаивается. Но делать нечего, звонит ему, а тот и говорит, а всё зависит от того как преподаватель договорился с вами в своём курсе лекций, ведь на самом деле существуют два подхода к отрицательному полярному радиусу. Спроси своего преподавателя.
Студент опять в шоке :shock: Работу нужно уже сдавать завтра утром на первой паре, спрашивать преподавателя некогда!!! :-(
Студент думает, как же ему выкрутится из ситуации. Думает, думает, страдает, страдает и вдруг его осеняет: а что, если я не буду отдельно находить площадь одного лепестка, а сразу найду площадь всей фигуры?
$$S=\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{2\pi}[\sin(2\varphi)]^2d\varphi=\frac{\pi}{2} \  \text{кв. ед.}$$

Умолчим о концовке истории - то есть о том, зачёл преподаватель ему такой ответ или нет. :wink:

Так это я всё к чему написал-то: кинематическое описание кривых Гвидо Гранди соответствует подходу, учитывающему отрицательный полярный радиус, интегрирование вышеописанным методом - также автоматически учитывает отрицательный полярный радиус.
Таким образом, использование отрицательного полярного радиуса - создаёт гладкое непротиворечивое математическое описание для плоских кривых, начиная от их построения на рисунке и заканчивая нахождением площади фигуры или части фигуры.
И что нам волноваться о неоднозначном соответствии точки на плоскости и пары чисел $(\varphi, r)$, если уже изначально предполагается, что началу системы полярных координат соответствует бесконечное множество пар значений $(\varphi, r)$.
Ну разве я не прав?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.  [ Сообщений: 137 ]  На страницу Пред.  1 ... 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group