Отрицательная диэлектрическая проницаемость

[romka_pomka]

А. М. Прохоров в книге "Взаимодействие лазерного излучения с металлами" на стр. 6 (1988 г.) пишет, что для металлов характерна диэлектрическая проницаемость (вещественная ее часть) с отрицательным знаком. Но как это понимать? Магнитная проницаемость у металлов тоже меньше нуля? Или волны в металле не распространяются?

[Munin]

Волны в металле не распространяются - они затухают. При этом мнимая часть проницаемости очень велика по сравнению с действительной. А какой при этом знак у действительной - не сильно важно, и наверняка зависит от частоты.

[romka_pomka]

Munin в сообщении #710624 писал(а):

При этом мнимая часть проницаемости очень велика по сравнению с действительной

Выписка из М. Борна "Основы оптики", глава "Металлооптика":

Цитата:

$\hat{n}^2= \mu\hat{\varepsilon}=\mu(\varepsilon+i\frac{4\pi\sigma}{\omega})$.
Для "серебра массивного" при $\lambda=5893\mathring{A}$,
$\hat{n}= (0.20+3.44i)$

Откуда видно, что

$$\mu\varepsilon = 0,2^2-3.44^2= -11.7936$$

$$\mu\frac{4\pi\sigma}{\omega} = 2\cdot0,2\cdot3.44 = 1.376$$

$$\hat{\varepsilon}=\frac {-11.7936}{\mu} + i \frac {1.376}{\mu}$$

То есть, говорить, что мы можем пренебречь вещественной частью на основании того, что мнимая часть много больше - не приходится.

Munin в сообщении #710624 писал(а):

Волны в металле не распространяются - они затухают.

1. Если написать волну как $\exp[i((\mathbf{kr})-\omega t)]$,
где
$\mathbf{k}=\hat{k}\cdot\mathbf{s}$,
$\mathbf{s}$ - единичный вектор,
$\hat{k}=\hat{n}\frac{\omega} {c}$
Тогда - да, комплексный коэффициент преломления $\hat{n}=\alpha+i\beta$ никак не удивляет: волна немного поколебавшись и пораспространявшись, экспоненциально затухает.

2. Но отрицательная диэлектрическая проницаемость удивляет. Единственное, где мне попалось об этом более-менее детально - это в "левых материалах" у Веселаго, в основном же мне попадалось, как с этим отрицательным сталкиваются, рассматривая плазму при частотах, меньших резонансной, и всегда говорится только, что волна отражается, особенно не вдаваясь в подробности. Мне вот интересно стало, что будет если проводимость занулить и оставить только отрицательную действительную часть - тогда показатель преломления чисто мнимый и поле в такой среде, затухая в пространстве, колеблется во времени почему-то в одной фазе на всем пространственном промежутке затухания. Это странно и непривычно.

Munin в сообщении #710624 писал(а):

А какой при этом знак у действительной - не сильно важно

Т.е не сильно важно - какой знак стоит в первом уравнении?

$$\nabla\times\mathbf{H}=\mathbf{\pm}\frac{\varepsilon}{c}\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}+\frac{4\pi\sigma\mathbf{E}}{c}$$

$$\nabla\times\mathbf{E}= -\frac{\mu}{c}\frac{\partial \mathbf{H}}{\partial t} $$

[Munin]

romka_pomka в сообщении #710891 писал(а):

в основном же мне попадалось, как с этим отрицательным сталкиваются, рассматривая плазму при частотах, меньших резонансной, и всегда говорится только, что волна отражается, особенно не вдаваясь в подробности.

Во, вот это - оно самое. Металл - он ведёт себя практически как плазма. И проводимость у него не занулишь, это существенно.

[romka_pomka]

На случай, если кому тоже интересно: начать можно например со статьи Пространственная дисперсия и отрицательное преломление света (УФН 2006).

[Евгений Машеров]

Я бы это рассматривал попросту как способ описывать поведение волны одной и той же формулой и в диэлектриках, и в металлах, ценой подстановки в формулу параметров, для металла не то, чтобы не интерпретируемых физически, но имеющих совершенно иной смысл. В диэлектрике волна преломляется, отклоняясь в сторону нормали к поверхности, тем больше, чем больше диэлектрическая постоянная. В металлах имеет место скин-эффект, волна "вглубь" не идёт, и её можно рассматривать, как преломляющуюся от нормали, что формально можно описать, как отрицательную диэлектрическую постоянную. Естественно, это объясняется поглощением, которое в этой модели описывается мнимой частью постоянной (т.е. отрицательная действительная часть при нулевой мнимой - не бывает)

[romka_pomka]

Евгений Машеров в сообщении #714246 писал(а):

В металлах имеет место скин-эффект, волна "вглубь" не идёт, и её можно рассматривать, как преломляющуюся от нормали, что формально можно описать, как отрицательную диэлектрическую постоянную.

Можно уточнить этот момент? Как преломление от нормали можно описать отрицательной постоянной?

[Евгений Машеров]

Подставьте в формулу для показателя преломления.

[romka_pomka]

Евгений Машеров в сообщении #714406 писал(а):

Подставьте в формулу для показателя преломления.

$$n = \pm\sqrt{-\varepsilon}=\pm i\sqrt{\varepsilon} $$

не понимаю.

[romka_pomka]

Всё оказалось просто. Одни пишут фазу как $\vec{k}\vec{r}-\omega t$, а другие фазу пишут со знаком "минус": $\omega t -\vec{k}\vec{r}$. А потом одни думают, что другие написали фазу без минуса, и удивляются каким-то странным минусам в каких-нибудь формулах. Разобщение в рядах инженеров и теоретиков на почве вкусов - печальная картина.

[amon]

romka_pomka в сообщении #982854 писал(а):

Всё оказалось просто. Одни пишут фазу как $\vec{k}\vec{r}-\omega t$, а другие фазу пишут со знаком "минус": $\omega t -\vec{k}\vec{r}$.

А вот это - ерунда. Вы же сами выше дали ссылку на УФН (я ее чуть не повторил). Там все правильно, только разобраться надо. Вблизи резонанса (например, линии излучения-поглощения атома) диэлектрическая проницаемость часто имеет вид

$$\varepsilon(\omega)=\varepsilon_0+\frac{F}{\omega_0^2-\omega^2+i\Gamma}$$

Если $\Gamma$ мала, то вещественная часть меняет знак, и никакие $\vec{k}\vec{r}-\omega t$ на этом не скажутся.

-- 26.02.2015, 15:08 --

romka_pomka в сообщении #710891 писал(а):

Т.е не сильно важно - какой знак стоит в первом уравнении?

$$\nabla\times\mathbf{H}=\mathbf{\pm}\frac{\varepsilon}{c}\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}+\frac{4\pi\sigma\mathbf{E}}{c}$$

Если среда с дисперсией ($\varepsilon(\omega)$), то связь $D$ с $E$ имеет вид $D(t)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}\varepsilon(t-t')E(t')dt'$, и уравнения выглядят не так.

[romka_pomka]

Ну что сразу ерунда-то?
$ \exp\prime(i\omega t) = i\omega\exp(i\omega t), \exp\prime(-i\omega t) = -i\omega\exp(-i\omega t) $
-- и пошел гулять минус.

[amon]

romka_pomka в сообщении #982931 писал(а):

-- и пошел гулять минус.

Ну, поехали разбираться. Уравнения Максвелла в среде без источников:

$$\begin{align} \operatorname{rot}\mathbf{E}(\mathbf{r},t)&=-\frac{1}{c}\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}\\ \operatorname{rot}\mathbf{H}(\mathbf{r},t)&=\frac{1}{c}\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}\\ \operatorname{div}\mathbf{D}&=0\\ \operatorname{div}\mathbf{B}&=0. \end{align}$$

Уравнение связи (материальное): $D_\alpha(\mathbf{r},t)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}dt'\int d^3r'\epsilon_{\alpha\beta}(\mathbf{r-r}',t-t')E_\beta(\mathbf{r'},t')$. Обращаю внимание, что диэлектрическая проницаемость $\epsilon$ это не та $\varepsilon$, к которой все привыкли (за подробностями - в учебники).

Пусть все изотропно, и $\epsilon$ не зависит от координат (нет пространственной дисперсии, иначе все станет совсем сложно). Подставив в последнее уравнение $\mathbf{E}=\mathbf{E}_0\exp(i(\mathbf{kr}-\omega t))$ получим $D_\alpha=\epsilon(\omega)E_\alpha$ ($\epsilon(\omega)$ - преобразование Фурье от $\epsilon(t)$). Подставив это же выражение в уравнения Максвелла, после элементарных преобразований получим

$$\epsilon(\omega)\omega^2-c^2k^2=0$$

Обращаю Ваше внимание, что и $\omega$, и $k$ входят в квадратах, поэтому если я подставлю $\exp(i(-\mathbf{kr}+\omega t))$ или $\exp(i(\mathbf{kr}+\omega t))$, то все равно получу тот же результат. Так что минус тут совсем не гулящий. Уравнение $\epsilon(\omega)\omega^2-c^2k^2=0$ задает зависимость $\omega(k)$. Поскольку диэлектрическая проницаемость сама зависит от $\omega$, отрицательные диэлектрические проницаемости в общем случае не означают затухания волны, а "показатель преломления" не равен корню из $\epsilon$

[Munin]

amon в сообщении #983226 писал(а):

Обращаю внимание, что диэлектрическая проницаемость $\epsilon$ это не та $\varepsilon$, к которой все привыкли

$\varepsilon=\epsilon|_{\omega=0}$?

amon в сообщении #983226 писал(а):

"показатель преломления" не равен корню из $\epsilon$

Разница та же, что между фазовой и групповой скоростью?

amon в сообщении #983226 писал(а):

Поскольку диэлектрическая проницаемость сама зависит от $\omega$, отрицательные диэлектрические проницаемости в общем случае не означают затухания волны

А что они означают?

[Red_Herring]

amon
Зарядов нет, а почему нет токов? Или токи есть, но замаскированы комплексным $\varepsilon$?