Об объяснении понятия размерности в школе

[Tuttis]

Deggial: Тема отделена от темы Человеколитры

Насчет паладинов.. уточняю. я рассуждаю с точки зрения физики. а не с точки зрения математики или философии.

С точки зрения физики блах-блах-блах на тему всех возможных классификаций бутявок и философских рассуждений об их природе - значения НЕ имеют.

так как физический смысл бутявки целиком и полностью сосредоточен в ее пригодности к физическому измерению. Здесь и сейчас.

Вы слишком высоко витаете в облаках - привыкли наверное заливать простейшие закономерности физического мира, доступные для использования даже растениям и низшим животным - тоннами высокомудреных абстракций.

Это физика, детка (с). С точки зрения физики - палка - это палка - а не высокомудреная абстрактная категория сепулькарного исчисления.

Горе от ума это называется.. люди забивают себе баки тоннами нагромождений невнятных и не к месту применяемых абстракций - а в результате простейшую задачку в одно арифметическое действие решить зачастую не могут. Без привлечения интегралов и прочих роторов с дивергенциями.

-- 07.04.2013, 22:27 --

Прежде чем разъяснить, как ведут себя размерные величины при вычислениях, нужно сделать одно небольшое почти-лирическое отступление. Оно хотя и небольшое - но крайне важное по смыслу.

Если открыть программу для начальных классов средней школы и ее полистать, то несложно заметить, что чуть ли не с самого первого класса детей в разных вариациях приучают к пониманию трех мер: меры времени, меры длины и меры массы.

Если глянуть на человечество в целом, то несложно заметить, что и не только среди детей очень много вещей вертится вокруг этих трех мер. В быту обычного человека - подавляющее большинство мер представляют собой именно меры времени, длины и массы, а также их комбинации


И несмотря на то, что длину меряют в палках, сантиметрах, метрах, дециметрах, попугаях, клеточках, пальцах, дюймах, локтях, футах, ладонях, задницах ослов и прочих бутявках; несмотря на то, что время меряют часами, ведрами, секундами, приливами, жизнями императоров, расцветанием саванны и разливами рек; несмотря на измерение массы не менее разнообразными подходами- основные параметры, определяющие жизнь всего живого на земле - это время, длина (расстояние) и масса.

Так как все существует в пространстве, все процессы развертываются во времени и еще на Земле действует сила тяготения, ага.

ЗЫ. Очень интересно было бы послушать высокоабстрактные философско-математические рассуждения на тему - почему один из характерных размеров дюз космических ракет-носителей напрямую связан с шириной лошадиной задницы.

Как там? сечения векторных расслоений, говорите.. ну-ну

-- 07.04.2013, 22:57 --

Для Sonic86 : еще раз хочу обратить ваше внимание на то, что заниматься абстрактизацией и философией надо в меру.

Человек может измерять длину, массу и время чем угодно. В зависимости от того, что ему удобно сейчас использовать - в данных конкретных условиях.

Например, я в детстве на летних каникулах у бабушки измеряла время - в товарняках.

Уходила после завтрака на озеро купаться и шляться по лесу с условием - вернуться к обеду. часов у меня не было мобильника тоже. парить себе мозги положением солнца на данной широте в данное время года мне тоже как то в голову не приходило.

Я рассчитывала промежуток времени, через который мне надо вернуться с озера домой - буквально в товарняках. Рядом проходил жд путь, по которому шастали грузовые составы и поезда дальнего следования ( НЕ через равные промежутки времени). так вот после прохождения четвертого товарняка- я отправлялась домой и поспевала как раз к обеду. А теперь давайте.. расскажите мне. что нить высокоабстрактное-философское на тему использования товарняков как меры времени.

[g______d]

(Оффтоп)

Tuttis в сообщении #707092 писал(а):

ЗЫ. Очень интересно было бы послушать высокоабстрактные философско-математические рассуждения на тему - почему один из характерных размеров дюз космических ракет-носителей напрямую связан с шириной лошадиной задницы.

Ну я сделал некоторое предположение и проверил с помощью google. Оказалось правильно.

-- 08.04.2013, 01:59 --

Tuttis в сообщении #707092 писал(а):

Горе от ума это называется.. люди забивают себе баки тоннами нагромождений невнятных и не к месту применяемых абстракций - а в результате простейшую задачку в одно арифметическое действие решить зачастую не могут. Без привлечения интегралов и прочих роторов с дивергенциями.

Это Вы сейчас о ком? По-моему, ТС задал вопрос о математическом аппарате для описания размерностей, а мы попытались него ответить... В меру собственной испорченности, конечно.

[Tuttis]

Продолжаем разбираться с размерностями.

Итак, мы выяснили, что в число базовых размерностей - то есть понятий, имеющих не математический, а физический смысл входят как минимум три - понятия длины, времени и массы. На самом деле их чуть побольше (в системе СИ - семь), но остановимся для наглядности на этих трех.

Обратите внимание: это не математическая теорема, требующая доказательств. не математическая абстракция, требующая каких-либо выводов из теории множеств или еще откуда нибудь. Набор базовых параметров, требующих введения своих собственных, базовых, фундаментальных единиц измерения - определяется из физических соображений. То есть - из опыта.

Все остальные величины по определению должны получаться комбинацией из базовых.
___

Вернемся к простым выражениям вида 5м=5 раз по одному метру=5*1м

С точки зрения физика смысл имеет именно запись 5*1м - потому что мы чисто физически можем взять пять палок или пять попугаев или пять любых других однотипных объектов.

А вот запись 1м*5 - как ее очень любят трактовать не в меру упертые учительницы (метр, яблоко, бутылка пять раз)- физического смысла НЕ ИМЕЕТ -так как ОДИН И ТОТ ЖЕ объект пять раз взять нельзя. Поэтому в дальнейшем я буду пользоваться именно записями вида 5 м, 7 л

Какие же действия можно проводить с размерными величинами так, чтобы не нарушался физический смысл исследуемого в задаче процесса? Понятно, что с абстрактными числами можно делать все, что математики хотят, но нас будет интересовать именно сохранение физического смысла операций.

Начнем с простых арифметических действий.

1. Сложение и вычитание

Физический смысл сложения заключается в том, что мы можем складывать только величины одинаковой размерности. Килограммы с килограммами, метры с метрами, часы с часами. Часы с метрами складывать нельзя- теряется физика - то есть теряется связь с реальностью.

Поэтому физик - как и ребенок, начиная с первого класса школы - следит за тем, чтобы в расчетах суммировались величины одинаковой размерности. При этом при сложении размерность суммы будет совпадать с размерностью слагаемых.

Стало быть [м]+[м]=[м]

2. Умножение на безразмерное число

О физическом смысле умножения на безразмерный множитель вы наверное уже догадались. 5м - отложить 5 раз по эталону длины; взять объект, длина которого в 5 раз БОЛЬШЕ длины эталона.

При этом размерность произведения - не меняется: [a*[м]]=a*[м]=[м]

Так как умножение действительных чисел - коммутативно, то мы приходим к следующему:

3*4л=3*4*1л=(4*3)*1л=4*3л=(4*3)л=12л

Физический смысл этого действа на примере:
В одной упаковке содержится 4 пивных баллона; в каждом из которых - по литру пива.
Мы взяли на рыбалку 3 упаковки. Сколько всего литров пивасика мы рассчитываем уговорить?

Раздербаниваем упаковки, выстраиваем бутылки в три ряда по 4 бутылки в каждом - и начинаем считать.

Справа налево, слева направо,сверху вниз, снизу вверх, попарно, по три штуки - и как угодно считаем- и все равно получаем что? 12 баллонов! 12 штук.

Мы на рыбалку берем 12 раз по баллону - это БЕЗРАЗМЕРНЫЙ множитель у нас выходит. А размерность какая? В каждом баллоне - по литру, то есть по 1 эталону объема. Стало быть мы берем 12 раз по эталону объема- 12 л!

Подчеркиваю: с точки зрения физического смысла при умножении размерной величины на безразмерное число НОВОЙ размерности ниоткуда не вылезет! В каком порядке не умножай.


-- 08.04.2013, 09:25 --

Цитата:

Это Вы сейчас о ком? По-моему, ТС задал вопрос о математическом аппарате для описания размерностей, а мы попытались него ответить... В меру собственной испорченности, конечно.

Математический аппарат надо подбирать исходя из понимания физического смысла. а с этим беда у людей. Вот прям беда-бедовая. Если люди базовых понятий не имеют правильно сформированных, то нагружать сложными теориями и рассуждениями - бессмысленно. Их все равно забудут или будут неправильно использовать.

-- 08.04.2013, 09:49 --

Ну а теперь переходим к самому интересному номеру нашей программы..

Умножение размерных величин

Вот на этом месте, дорогие форумчане, и происходит глобальный затык у детей, приученных в младших классах не в меру упертыми учителками к восприятию умножения через сумму одинаковых объектов. Что приводит к совершенно чудовищным последствиям - уже даже будучи взрослыми, такие люди не в состоянии вычислить площадь прямоугольника - то есть объяснить, каким образом из процедуры 3м* 4м получается 12 м^2

Действительно, выражение $a \cdot b=a+a+a..$ повторить b раз - имеет смысл только если b - безразмерное натуральное число!
Для отрицательных чисел, для дробных, для размерных величин, даже для 0 - это выражение НЕ ИМЕЕТ СМЫСЛА.

Вычисление площади прямоугольника (которое тоже проходят во втором классе!!!) - это пример задачи, в которой НЕТ ничего, что можно было бы сложить по вышеприведенному определению.

Что значит сложить 5м (3м) раз?? Или сложить 5м 0 раз? НИЧЕГО! Это невозможно. Как не перекладывай метры - метры квадратные не получишь.

Хочу отметить, что если школьникам вводят понятие умножения через сумму объектов по вышеприведенной схеме - то умножение на 0 без применения переместительного свойства умножения - объяснить НЕЛЬЗЯ!


Действительно, 5 объектов взять 0 раз - нельзя. Можно 0 объектов взять 5 раз.
Во всех - подчеркиваю - во всех программах для второго класса, где употребляется такой способ знакомства с умножением - умножение на 0 проходят ПОСЛЕ объяснения коммутативности. Более того, коммутативность умножения вводится буквально на первом-втором уроке - практически сразу!!

[profrotter]

Tuttis в сообщении #707184 писал(а):

Что значит сложить 5м (3м) раз?? Или сложить 5м 0 раз? НИЧЕГО! Это невозможно. Как не перекладывай метры - метры квадратные не получишь.

Давайте я возражу. Тут другой подход: надо нарисовать прямоугольник со сторонами $5\text{ м}$ на $3\text{ м}$ и поделить его на клетки $1\text{ м}$ на $1\text{ м}$. Каждая клетка характеризуется рамерностью $1\text{ м}^2$ Таких клеток получается $5\cdot 3=3\cdot 5$ штук. И снова можно сказать, что мы имеем 3 раза по 5 клеток (то есть по $5\text{ м}^2$) или 5 раз по 3 клетки (то есть по $3\text{ м}^2$). Суть та же самая - в конечной арифметической модели имеет место подсчёт определённым образом сгруппированых предметов, а размерность учитывается параллельно.

[nikvic]

Tuttis в сообщении #707184 писал(а):

Хочу отметить, что если школьникам вводят понятие умножения через сумму объектов по вышеприведенной схеме - то умножение на 0 без применения переместительного свойства умножения - объяснить НЕЛЬЗЯ!

Гм, достаточно понятия пустого множества. Оно, на интуитивном уровне, есть, и его мощность - число 0.
Пять корзинок для яблок - но все яблоки съедены

[Tuttis]

profrotter в сообщении #707230 писал(а):

Давайте я возражу.

Вы не возразили мне, а опередили меня :)

На самом деле, пролистывая кучи страниц комментариев в жж и прочих соцсетях по поводу вселенской битвы с литрами - заметно, что ОЧЕНЬ большое число людей, отстаивающих идею некоммутативности умножения - буквально впадают в ступор, если им задают вопросы про вычисление площади. В некоторых вариантах постановки вопроса люди путаются с квадратными копейками! вот натурально, у них как то легко в голове укладывается, что рубль - который как известно, содержит 100 копеек - это на самом деле коп^2!!
ну типа 1 рубль=10коп*10 коп!!

Это - взрослые люди! с высшим образованием!

Вы совершенно верно отметили, что при умножении метра на метр- появляется новая единица измерения -составленная на базе основной - метр квадратный. Физический смысл которой-это квадратик, взятый в качестве эталона площади -то есть квадрат со сторонами 1x1 м.

И вот если у вас уже есть такой квадратик -то площадь будет искаться именно как вы сказали - путем умножения безразмерного числа- на 1 кв м. Взять столько то раз не отрезков - но квадратиков!

То есть:

3м*6м=3*1м*6*1м=(3*6)*1м*1м=18 м^2= 18 раз взять эталон площади.

Итого: при умножении размерных величин - итоговая размерность представляет собой произведение размерностей множителей.

При этом физический смысл получившейся новой размерности будет определяться исходя из условий конкретного физического процесса или, допустим, процесса построения геометрической фигуры. То есть вот мера площади- кв м - вытекает из правил построения плоских фигур из отрезков.

-- 08.04.2013, 12:43 --

Коммутативно ли умножение размерностей? ДА! ДА!
[масса]*[скорость]=[скорость]*[масса]

С делением понятно - деление на N представляется как умножение на 1/N со всеми вытекающими.

При дифференцировании размерность производной равна отношению размерностей дифференцируемой величины и величины, по которой производится дифференцирование:

[скорость]=[длина]/[время]; [ускорение]=[длина]/([время]^2)

При интегрировании наоборот, соответственно, умножаем размерности подынтегрального выражения на размерности дифференциалов.

Следует также помнить, что в аргументах математических функций - типа логарифмов, синусов и проч - должны стоять безразмерные выражения, так как в противном случае теряется физический смысл процедуры. Действительно, если меряете длину в попугаях - то что будет означать выражение ln (попугай)? Нет числа a, такого, что e^a=попугай.

[g______d]

Tuttis в сообщении #707253 писал(а):

На самом деле, пролистывая кучи страниц комментариев в жж и прочих соцсетях по поводу вселенской битвы с литрами - заметно, что ОЧЕНЬ большое число людей, отстаивающих идею некоммутативности умножения - буквально впадают в ступор, если им задают вопросы про вычисление площади. В некоторых вариантах постановки вопроса люди путаются с квадратными копейками! вот натурально, у них как то легко в голове укладывается, что рубль - который как известно, содержит 100 копеек - это на самом деле коп^2!!
ну типа 1 рубль=10коп*10 коп!!

Это - взрослые люди! с высшим образованием!

Это печалька. Но я не очень понимаю, какого ответа Вы ждете здесь.

Tuttis в сообщении #707253 писал(а):

Коммутативно ли умножение размерностей? ДА! ДА!
[масса]*[скорость]=[скорость]*[масса]

Ну, кстати говоря, это совершенно не очевидно. Коммутативность умножения натуральных чисел --- это теорема, которую можно доказать (если, конечно, умножение будет введено на языке математики). А вот с размерными величинами эта коммутативность хоть и удобна, но вводится искусственно и, вообще говоря, должна оговариваться.

[Tuttis]

___

К чему мы пришли в итоге.

Исходя из физического (не математического!!) смысла измерений мы приходим к системе аксиом, фактически определяющих абелеву группу (это для тех, кому по сердцу хитромудрые математические теории)

Тут выше привели ссылку на книжку про размерности, вот из нее аксиомы и выпишем:

1. Из размерностей $A $ и $B $ можно построить новую размерность $C = A \cdot B $ - мультипликативная связь.
2. Существуют единичные элементы - то есть безразмерные числа $A^0$, обозначаемые как $(1)$, такие что $A \cdot (1)=A$
3. Для всякой размерности существует обратная ей: $A \cdot A^-1=(1)$
4. Связи между размерностями подчиняются правилам ассоциативности и коммутативности:

$A \cdot (B \cdot C)=(A\cdot B) \cdot C $

$A \cdot B =B \cdot A $

5. Для всех $A \ne (1) и любого натурального $m $:

A^m \ne (1) $

Ну плюс еще аксиома о существовании конечной производящей системы, образующей полное множество всех возможных размерностей :)

___

Фсео...

-- 08.04.2013, 13:24 --

g______d в сообщении #707262 писал(а):

Это печалька. Но я не очень понимаю, какого ответа Вы ждете здесь.

Никакого, я просто привела пример, к чему приводят усилия учительниц младших классов, которые сами сути процесса измерения не понимают.

Цитата:

Ну, кстати говоря, это совершенно не очевидно. Коммутативность умножения натуральных чисел --- это теорема, которую можно доказать (если, конечно, умножение будет введено на языке математики). А вот с размерными величинами эта коммутативность хоть и удобна, но вводится искусственно и, вообще говоря, должна оговариваться.

ЭТО - очевидно, так как вводится аксиоматически и ничего искусственного тут нет. Исходя из физического смысла процессов измерения физики выбрали подходящую математическую модель для описания поведения размерных величин. Вы вольны относиться к этому как угодно, но другой физики у меня для вас нет.

-- 08.04.2013, 14:04 --

Соответственно, исходя из аксиоматики, описывающей поведение размерных величин - любой физик вам скажет, что утверждения марьванн на тему, что нужно умножать литры на людей, а не людей - на литры, а то искомые литры не получатся - БРЕД СИВОЙ КОБЫЛЫ.

Тем более, что в этой самой задаче про литры и людей - нет никакого перемножения размерностей - а есть умножение размерной величины -на безразмерный множитель-число!

Это - принципиально, и это нужно отчетливо понимать! Дело в том, что ДО введения операции деления - умножать размерность на размерность нельзя - так как без определения обратной размерности выходит хня чудовищная.

На самом деле задачи для второго класса составляются так, чтобы до введения операции деления - никаких перемножений размерности (кроме введения площадей простейших фигур) - не возникало. Никаких км/час; м/c; руб/шт; литры/чел.

Все такие "плотности" формулируются в задачах так, чтобы можно было выделить из текста смысл "взять что-то сколько-то РАЗ".

То есть вот "фермер продал каждому по 2 литра" - это строго говоря, "плотность продаж"=литры на человека=литры/чел

Но это выражение без ущерба для смысла можно заменить на "взять 2 литра столько-то РАЗ (по числу людей)"

Тем, кто полагает, что я все придумала - могу кинуть ссылки на официальные программы, требования и стандарты по математике для учащихся 2-го класса средней школы. И это будет, простите, не некая методичка - не имеющая даже грифа - рекомендовано МО; а документы, имеющие в области образования силу закона.

[Tuttis]

Ну и на закуску добавлю следующее.

Выражение $a\cdot b= a+a+a.. $ повторить $b$ раз - не есть ОПРЕДЕЛЕНИЕ операции умножения, а всего лишь иллюстративный прием, позволяющий детям освоиться с натуральным счетом. И показывающий _частный_ случай связи умножения со сложением.

Способы введения умножения в детское сознание - есть разные. Например, во многих методиках умножение вводится как операция построения целого из части. Именно на базе физических понятий меры и измерения. То есть детям еще в первом классе начинают же говорить про отрезки допустим; и во втором объясняют дело так:

Сколько раз маленькая мерка укладывается в отрезке? Приложи и посчитай. 5 раз? отлично; теперь ты видишь, что чтобы получить отрезок - надо взять 5 раз по мерке => отрезок больше единичной мерки в 5 раз=>

длина отрезка= 5 * 1 см (это я к примеру).

А связь со сложением иллюстрируется ПОСЛЕ того, как дети сориентируются в отношениях между величинами!

К примеру, могу дать ссылку на поурочные планы некоей средней школы города Сыктывкара на второй класс, составленные не на базе неведомых министерству образования зверей - а на базе рекомендованных МО учебников Александровой и еще какого-то на П - не помню.

По этим учебникам и программам учатся дети школ, включенных в комплекс образовательных программ по всем предметам, который называется "Перспективная начальная школа" - вроде так, но могу уточнить, если хотите.

Так что.. делайте выводы сами.

Я же от лица преподавателей физики и физиков скажу в заключение: пидахохические приемы вида "ставим на первое место литры, а то литры не получатся" - противоречат официальным стандартам и программам по математике РФ, и сам факт муштры детей на эту тему - есть повод для внимательной такой проверочки школы комиссией. А может и прокурорской проверочки там не хватает.

[nikvic]

Tuttis в сообщении #707292 писал(а):

Ну и на закуску добавлю следующее.

Выражение $a\cdot b= a+a+a.. $ повторить $b$ раз - не есть ОПРЕДЕЛЕНИЕ операции умножения, а всего лишь иллюстративный прием, позволяющий детям освоиться с натуральным счетом. И показывающий _частный_ случай связи умножения со сложением.

Для натуральных чисел с нулём - именно определение, одно из многих.

В курсах по теории алгоритмов вводится, через рекурсию, некая функция двух переменных (т.е. даётся определение), а потом доказывается, что она есть знакомое умножение.

[g______d]

Tuttis в сообщении #707292 писал(а):

Выражение $a\cdot b= a+a+a.. $ повторить $b$ раз - не есть ОПРЕДЕЛЕНИЕ операции умножения, а всего лишь иллюстративный прием, позволяющий детям освоиться с натуральным счетом. И показывающий _частный_ случай связи умножения со сложением.

Вообще-то это и есть определение умножения натуральных чисел. Почитайте на досуге какой-нибудь учебник, в котором есть аксиоматика Пеано или любой другой математически строгий способ построения. Там определение вводится именно так (хотя и немного на другом языке).

(Оффтоп)

Tuttis в сообщении #707292 писал(а):

Я же от лица преподавателей физики и физиков скажу в заключение: пидахохические приемы вида "ставим на первое место литры, а то литры не получатся" - противоречат официальным стандартам и программам по математике РФ, и сам факт муштры детей на эту тему - есть повод для внимательной такой проверочки школы комиссией. А может и прокурорской проверочки там не хватает.

"Разберитесь. Накажите виновных. Доложите в трехдневный срок."

[Tuttis]

Ах да.. забыла рассказать, почему все таки физики принимают коммутативность умножения размерных величин как аксиому.

Объясню на примере импульса. По определению $ \vec{p}=m\vec{v}=m|v|\vec{v_e}$

Что может сделать физик? Измерить отдельно массу тела. Определить скорость тела и ее направление.
Может составить следовательно комбинацию для модуля импульса $mv$. (Направление задается единичным вектором скорости и мы для простоты рассуждений опустим его)

Теперь приходит любительница изящной словесности марьванна и задает физику вопрос на тему влияния перемены мест сомножителей на размерность результата. Физик чешет репу и что делает? правильно, начинает серию экспериментов по определению импульса тела.

После чего приходит к печальному выводу - у физика НЕТ возможности определить, в каком порядке мать-природа перемножает массу на модуль скорости. Физик по результатам эксперимента видит - что хоть в лоб, хоть по лбу - в эксперименте определяется одно и то же число. После чего физик отвечает марьванне-любительнице высасывать лишнюю придурь из пальца - а никак не влияет.

[Tuttis]

g______d в сообщении #707319 писал(а):

Вообще-то это и есть определение умножения натуральных чисел. Почитайте на досуге какой-нибудь учебник, в котором есть аксиоматика Пеано или любой другой математически строгий способ построения. Там определение вводится именно так (хотя и немного на другом языке).

Вообще то смысл обучения второклашек умножению состоит не в преподавании теории натуральных чисел, а в приучению к понятию бинарной операции с определенными свойствами, которая может быть определена на совершенно различных множествах.

Вот если ребенок решит стать математиком- вот тогда он может вдосталь в свое удовольствие порассуждать про разное в отношении множества натуральных чисел.

Школьник в течение довольно короткого времени должен освоить умножение на натуральных числах, на целых, на рациональных, на действительных и даже - о боже - операцию умножения векторов и матриц.

А кое по каким программам еще и для комплексных чисел.

Вбивать намертво определение операции умножения на натуральных числах в голову ребенка - это означает полностью отбить ему соображалку в математике и физике более старших классов.
В каком классе начинают проходить отрицательные числа, а? Или дроби?

Вот давайте, надуйте для важности щеки и объясните на базе данной модели операцию перемножения дробей.

Чой это такое значит - по 1 литру сложить 1/3 раз? или по 1/5 литра сложить 1,5 раза...

вот начиная с этого момента прилежные ученики, исполняющие инструкции глупых марьванн - и затверживающие на зубок определение умножения именно вот так - перестают вкуривать происходящее на уроках математики.

И да. Поясните мне, каким образом определение умножения таким способом дает нам правило умножения на 0 - БЕЗ введения переместительного закона.

PS. что касается пойдите и разберитесь - вы знаете, на моей памяти не одна глупая тетка была выгнана из школы за профнепригодность. И не один директор получал клизмы с вазелином и проблемы с управлениями образования из-за таких вот (или подобных им) фокусов.

-- 08.04.2013, 17:07 --

g______d в сообщении #707353 писал(а):

По поводу моего замечания про векторные растления --- я нашел похожую идею у Тао:

http://terrytao.wordpress.com/2012/12/2 ... #more-6420

улыбнуло.. это конечно все прекрасно, но увы - годно только для тех, кто получил качественное математическое и физическое образование. А не для жертв марьванн.

Жертвы марьванн там поймут только предлоги.

[Sonic86]

Tuttis в сообщении #707355 писал(а):

Вообще то смысл обучения второклашек умножению состоит не в преподавании теории натуральных чисел, а в приучению к понятию бинарной операции с определенными свойствами, которая может быть определена на совершенно различных множествах.

В таком случае Вы неправильно понимаете слово "определение", неправильно его употребляете. Т.е. если понимать буквально, то вот это:

Tuttis в сообщении #707292 писал(а):

Выражение $a\cdot b= a+a+a.. $ повторить $b$ раз - не есть ОПРЕДЕЛЕНИЕ операции умножения, а всего лишь иллюстративный прием, позволяющий детям освоиться с натуральным счетом.

Это просто вранье. Если Вы замените здесь слово "определение" на "суть" или "смысл", то согласиться можно, иначе - нельзя.
Умножение в формальной арифметике определяется аксиомами:
1) $x\cdot 0=0$
2) $x\cdot y'=(x\cdot y)+x$
Что, если немного упростить, как раз и получается то, что Вы отвергаете.

[Tuttis]

Sonic86 в сообщении #707361 писал(а):

Умножение в формальной арифметике определяется аксиомами:
1) $x\cdot 0=0$
2) $x\cdot y'=(x\cdot y)+x$
Что, если немного упростить, как раз и получается то, что Вы отвергаете.

в формальной арифметике коммутативность не задается аксиоматически?

-- 08.04.2013, 17:19 --

Вы знаете, формальная арифметика в строгом виде вообще излагается с помощью операторного подхода.

вы как то все время половинчато действуете... тут рыбу будем заворачивать - а тут не будем.

давайте второклашкам начнем операторный подход сразу излагать, чо там. Строгость - так строгость.

-- 08.04.2013, 17:29 --

В любом случае, вы все время избегаете скользкого вопроса насчет коммутативности операции умножения на множестве натуральных чисел.

Вот, я открываю допустим, лекции для учителей младшей школы на разделе умножение - и что я там читаю?

буквально, что a*b=a+a+a .. b раз эквивалентно представлению a*b= a раз b+b+b и что это надо объяснять детям как можно раньше на примерах со счетными палочками...

Более того, я открываю учебники для англоязычных деток и что я вижу? что в традиции зап. европы детям вводить умножение именно по второму варианту. a*b= a раз b+b+b

Я открываю работы академика Арнольда по вопросам преподавания арифметики в школе - и что я вижу? что Арнольд - основоположник советской системы преподавания математики в школе заявляет, что конструкция a*b=a+a+a .. b раз - неестественна для русского языка и создает дополнительные сложности для преподавания арифметики в школе; так как детей в дошкольных учреждений учат сложению на естественном языке - 3 палочки +5 палочек = 3*1 палочка +5*1палочка; а потом начинают детей пытать, чтобы они делали усилия - представляя себе умножение в виде 1 палочка*3, 1 палочка*5

При этом в задачах ответ нужно выписывать опять в обратном порядке - на естественном языке - 5 палочек, три палочки.

А еще через некоторое время детей опять будут перемучивать на представление вида 2*х..

После чего - делает совершенно справедливое заключение Арнольд -ребенок сдается и отказывается от идеи вообще что нибудь в математике понять.

Насколько я помню, бинарная операция умножения на абелевых группах задается аксиомами:

a*1=a
a*0=o
ab=ba
a(bc)=(ab)c
a(b+c)=ab+ac

никакой маеты по типу любимого учителками определения умножения не имеется.

и вообще, все ваши страдания на тему определения умножения к вопросу, заданному в теме - совершенно не относятся; мне, как физику - абсолютно по барабану, какие такие телодвижения вы будете выдумывать на уроках математики для своих детей- мне, как преподавателю физики вынь да положь верное понимание меры и процесса измерения. к 6 классу ребенок это должен освоить на ять. То есть приведенную выше аксиоматику абелевой группы. Все.

Каким макаром вы этого добьетесь - мне совершенно однофигственно, хоть алгебраические кольца и модули над ними вводите прям с первого класса.