Суть ординальных чисел

[Xaositect]

Ktina в сообщении #708153 писал(а):

AGu в сообщении #707660 писал(а):

... Позже всплывет $\omega^\omega$. Когда-нибудь наступит $\omega^{\omega^\omega}$. И т.д и т.д., и несть сему конца. ...

Однако, натуральным числам тоже конца несть. Но мы вообразили себе, что "прошлись" по всем натуральным.
Что мешает вообразить, будто мы "прошлись" по всем трансфинитным? Чем отмечать будем? Рюмашки-то кончились. Уж не самокруточкой ли?

Ага, это называется "класс всех ординальных чисел", и это уже совсем другая история.

[_hum_]

AGu
Мы действительно недопонимаем друг друга. Вы говорите с точки зрения дедукции - как можно на старые вещи смотреть с высоты уже построенной теории трансфинитов, а я хочу прийти к пониманию необходимости введения трансфинитов (индуктивно). Вот и пытаюсь осмыслить это в исторической перспективе: люди вначале работали с конечными множествами, и уже на том этапе появилось разделение на количественные числа и порядковые (конечные!). После, решили сделать обобщение этих понятий и на бесконечные. С количественными все понятно - как это делали, какая идея лежит в основе обобщения, я уже писал. А вот с ординалами (которые являются обобщением конечных порядковых) - нет. В принципе, непонятно, зачем вообще возникла потребность в конечных порядковых - где "в быту" и как мы ими пользуемся?

Про ваш пример с перечислением. Во-первых, не совсем понятно, для чего вообще нужно это перечисление - с одной стороны, чтобы дать подобие конструктивного определения множества, а с другой, вы для этого используете некую "функцию выбора", определение которой уже предполагает наличие этого множества. Да и, в конце-концов, опять сводите все к трансфинитам, будто они уже определены. А я еще раз подчеркиваю, хотелось бы прийти к очевидной необходимости их введения (наподобие того, как в свое время пришли к необходимости введения иррациональных чисел из-за "бытовой" проблемы несоизмеримости стороны квадрата с его диагональю). Пока же все вертится около "чисто-математической" потребности в корректном (в формальной теории множеств) подобии рекурсивной конструкции. Но это математика ради математики....

[AGu]

_hum_ в сообщении #708183 писал(а):

я хочу прийти к пониманию необходимости введения трансфинитов (индуктивно). Вот и пытаюсь осмыслить это в исторической перспективе

Виноват, я действительно отвечал на какой-то другой вопрос. (Оправдаюсь тем, что слово «исторический» в этом топике возникло только сейчас. Раньше речь шла о «сути», вот я ее и пытался растолковать.)

Объяснить «необходимость» введения ординалов я едва ли сумею (это вопрос внематематический), а вот польза от них — на мой взгляд, достаточно очевидна: введение ординалов позволяет использовать трансфинитную индукцию и рекурсию (я о них уже вспоминал). В теории множеств это очень мощные и востребованные методы. В остальной математике — мягко говоря, не очень востребованные. (Что же касается истории, то это опять-таки не ко мне, не спец.)

[Deggial]

Обсуждение множества всех множеств и ему подобных конструкций отделено в тему Какова мощность множества всех множеств?