2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Порядок аппрксимации
Сообщение22.11.2005, 18:43 


22/11/05
3
Как доказать?
$u(x_{i_0})\displaystyle\frac{x_{i_0+1}-\xi}{h} + u(x_{i_0+1})\displaystyle\frac{\xi-x_{i_0}}{h} - u(\xi)=O(h^2)$

где
$x_{i_0} \leq \xi \leq x_{i_0+1}$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение28.11.2005, 08:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


17/10/05
3709
:evil:
Немного меняя обозначения $x_0 \equiv x_{i0}$, $x_1 \equiv x_{i1}$, предполагая $h = x_1 - x_0$, и дважды непрерывную дифференцируемость $u(x)$ (а в противном случае Ваше утверждение, вероятно, неверно - но уж больно лень думать), имеем: $u(x_1) = u(x_0) + u'(x_0) h + u''(\zeta_1)\frac{h^2}{2}$, где $\zeta_1 \in [x_0, x_1]$, и $u(\xi) = u(x_0) + u'(x_0) (\xi - x_0) + u''(\zeta_0)\frac{(\xi - x_0)^2}{2}$, где $\zeta_0 \in [x_0, x_1]$. Выражаем $u'(x_0)$ из первого уравнения: $u'(x_0) = \frac{u(x_1) - u(x_0)}{h}-u''(\zeta_1)\frac{h}{2}$, и подставляем во второе: $u(\xi) = u(x_0) + (\frac{u(x_1) - u(x_0)}{h}-u''(\zeta_1)\frac{h}{2}) (\xi - x_0) + u''(\zeta_0)\frac{(\xi - x_0)^2}{2}$. Теперича перегруппировываем: $ u''(\zeta_1)\frac{h (\xi - x_0)}{2} - u''(\zeta_0)\frac{(\xi - x_0)^2}{2} = - u(\xi) + u(x_0) + \frac{u(x_1) - u(x_0)}{h} (\xi - x_0) $. Осталось совсем немного: сгруппировать правую часть $ u(x_0) \frac{ x_0 + h - \xi}{h}  + u(x_1)\frac{\xi - x_0}{h} - u(\xi) $, опознать $ x_0 + h - \xi $ как $ x_1  - \xi $, и оценить левую часть $ u''(\zeta_1)\frac{h (\xi - x_0)}{2} - u''(\zeta_0)\frac{(\xi - x_0)^2}{2}$. Внимательно посмотрев, и заметив необходимую ограниченность непрерывной функции $  u''(x) $ на отрезке (компакте, если мне будет позволено сие высокоученое выражение), имеем $ |u''(\zeta_1)\frac{h (\xi - x_0)}{2} - u''(\zeta_0)\frac{(\xi - x_0)^2}{2}| \le $ $ C |\frac{h (\xi - x_0)}{2}|  +  C |\frac{(\xi - x_0)^2}{2}| \le $ $ C h^2 $ id est $ {\rm O}(h^2) $ q.e.d.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение28.11.2005, 10:09 


22/11/05
3
Еще один вариант доказательства узнал:
Воспользуюсь вашими обозначениями )
Разлагаем функцию u по Тейлору в окрестности x_0, x_1

u(\xi)=u(x_0)+u'(x_0) (\xi-x_0) + u''(\zeta_0)\displaystyle\frac{ (\xi-x_0)^2}{2}
u(\xi)=u(x_1)+u'(x_1) (\xi-x_1) + u''(\zeta_1)\displaystyle\frac{ (\xi-x_1)^2}{2}

Заметим, что u'(x_0) =\frac{u(x_1)-u(x_0)}{h}+O(h) и
u'(x_1) =\frac{u(x_1)-u(x_0)}{h}+O(h)

Умножим первое на \sigma второе на (1-\sigma) и сложимu(\xi)=u(x_0)\sigma+u(x_1)(1-\sigma)+\frac{u(x_1)-u(x_0)}{h}(\xi-x_0)\sigma + \frac{u(x_1)-u(x_0)}{h}(\xi-x_1) (1-\sigma)+O(h^2)
Подберем \sigma так, чтобы выражение
\displaystyle \frac{u(x_1)-u(x_0)}{h}\cdot
(\xi-x_0)\sigma + \frac{u(x_1)-u(x_0)}{h}(\xi-x_1) (1-\sigma)
Обращалось в нуль.
Получим 1-\sigma=\frac{\xi-x_0}{h}
\sigma=\frac{x_1-\xi}{h}

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group