2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Система аксиом Цермело-Френкеля
Сообщение30.03.2013, 22:14 


06/05/12
77
Цитата:
Какие элементы в первом множестве и какие во втором?


В первом - 1, 2, 3.
Во втором - 2.
Пересечение - 2. :o

 Профиль  
                  
 
 Re: Система аксиом Цермело-Френкеля
Сообщение30.03.2013, 22:21 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Это в $\{\{1\},\{2\},\{3\}\}$ и $\{2\}$-то? :facepalm:

Нет, во втором, конечно, элемент 2. Но в первом нет элементов 1, 2, 3.

Давайте попробуем ещё раз. А ещё скажите, зачем вам так хочется, чтобы $\{a\} = a$. Если это добавить, теория станет противоречивой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Система аксиом Цермело-Френкеля
Сообщение30.03.2013, 22:25 


06/05/12
77
:lol: Так в моём видении она и является противоречивой. Иначе я не задавал бы вопросов.

Мне не хочется, чтобы $\[\{ a\}  = a\] $ . Просто я не могу представить себе, чтобы было иначе.

Множество из одного элемента и этот элемент суть одно и то же, из аксиомы экстенсиональности. Два множества равны, если состоят из одних и тех же элементов. Доказал в ZFC обратное :| Не?

 Профиль  
                  
 
 Re: Система аксиом Цермело-Френкеля
Сообщение30.03.2013, 22:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Вернитесь на первый этап, где пустые коробки в коробках.

 Профиль  
                  
 
 Re: Система аксиом Цермело-Френкеля
Сообщение30.03.2013, 22:32 


06/05/12
77
Цитата:
Вернитесь на первый этап, где пустые коробки в коробках.

С радостью :D Есть коробка и в ней лежат три пустых коробки. Каждая из этих пустых коробок имеет непустое пересечение с коробкой, в которой они лежат :| Это пересечение представляет собой не что иное как данную пустую коробку :roll:

Я в упор не вижу ошибку в своих рассуждениях, но в то же время не сомневаюсь, что она там есть :lol:

 Профиль  
                  
 
 Re: Система аксиом Цермело-Френкеля
Сообщение30.03.2013, 22:43 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
mark_sandman в сообщении #703678 писал(а):
Множество из одного элемента и этот элемент суть одно и то же,
Это переписывается как $\forall a\mathrel.\forall m\left(\forall c\mathrel. c\in m \leftrightarrow a = c\right) \rightarrow m = a$.

(То, что в скобках, означает $m = \{a\}$.)

Цитата:
из аксиомы экстенсиональности.
Приведите её (она есть на предыдущей странице), будем разбирать, как из неё следует верхнее.

mark_sandman в сообщении #703682 писал(а):
Каждая из этих пустых коробок имеет непустое пересечение с коробкой, в которой они лежат :|
В пустой коробке нет элементов, и пересечение её с чем угодно потому пусто. Вы же знаете, как определяется пересечение, или не совсем?

 Профиль  
                  
 
 Re: Система аксиом Цермело-Френкеля
Сообщение30.03.2013, 23:12 


06/05/12
77
arseniiv

Для меня не очевидно, что то, что в скобках означает
Цитата:
$\[m = \{ a\} \]$
:|

Аксиома экстенсиональности

$\[\forall x\forall y[\forall z(z \in x \Leftrightarrow z \in y) \Rightarrow x = y]\]$

Не знаю как формально получить из неё моё утверждение :cry:

Кажется, кое-что начинает проясняться.


Вопрос такой: содержит ли множество $\[\{ \emptyset \} \]$
хотя бы один элемент?

 Профиль  
                  
 
 Re: Система аксиом Цермело-Френкеля
Сообщение30.03.2013, 23:17 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Да. Ровно один, $\varnothing$.

$s = \{a_1,\ldots,a_n\}$ — это сокращение для $\forall x\mathrel. x\in s \leftrightarrow x = a_1 \vee \ldots \vee x = a_n$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Система аксиом Цермело-Френкеля
Сообщение30.03.2013, 23:24 


06/05/12
77
arseniiv
Всё прояснилось, огромное спасибо за помощь :D Значит, множество 2 не содержит 2 в качестве своего элемента :-) Именно по аксиоме регулярности. И в общем случае из аксиомы регулярности следует, что $\[\{ a\}  \ne a\]$. Верно? :roll:

 Профиль  
                  
 
 Re: Система аксиом Цермело-Френкеля
Сообщение31.03.2013, 15:59 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Из неё следует ещё, что нельзя найти такие $a_1, \ldots, a_n$, что $a_1\in a_2\in \ldots\in a_n\in a_1$, если не ошибаюсь. Точно без неё не обходится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Система аксиом Цермело-Френкеля
Сообщение01.04.2013, 01:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
,А также, что не существует бесконечной последовательности $a_0\ni a_1\ni a_2\ni a_3\ni\ldots$.
Если бы такая последовательность существовала, то множество $\{a_k:k\in\mathbb N\}$ (существует по аксиоме подстановки) не удовлетворяло бы аксиоме регулярности.
Точно так же, если $a_1\in a_2\in\ldots\in a_n\in a_1$, то $\{a_1,a_2,\ldots a_n\}$ не удовлетворяет аксиоме регулярности (в том числе и при $n=1$).
Ну и, конечно, если $\{a\}=a$, то $a\in a$, что невозможно в силу сказанного выше.

Кстати, обойтись без аксиомы регулярности вполне можно (К.Куратовский, А.Мостовский в своей книге "Теория множеств" прекрасно без этой аксиомы обходятся). Тогда возможны такие казусы, как $\{a\}=a$, но только не для любых $a$. Например, для $a=\varnothing$ обязательно $\{a\}\neq a$, так как $a$ не содержит ни одного элемента (это же мы пустое множество так обозначили), а $\{a\}$ содержит один элемент - $a$. Занятно, что, пользуясь аксиомами ZFC без аксиомы регулярности, мы не сможем построить такое множество $a$, чтобы было $a\in a$ (по тривиальной причине: если бы это было возможно, то ZFC была бы противоречива; более того, доказано, что если противоречие можно получить, используя аксиому регулярности, то его можно получить и без аксиомы регулярности). Если мы непременно хотим иметь такое множество, нам придётся явным образом сформулировать аксиому существования.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 26 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group