2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6  След.
 
 Re: Как решать такие уравнения с числом е?
Сообщение18.03.2013, 09:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Как вычислить $(-2)^{1/6}$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Как решать такие уравнения с числом е?
Сообщение18.03.2013, 10:50 
Аватара пользователя


20/04/12
250
ИСН, не определено.
Но зато определено $(-2)^{1/5}.$
Короче говоря, найдется предостаточно отрицательных точек в которых буду определены обе части данного уравнения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как решать такие уравнения с числом е?
Сообщение18.03.2013, 11:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
А, если так... Хм. Да, тут есть нюанс.
Ладно, давайте вот что: опишите всё-таки словами, в каких отрицательных точках функция определена.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как решать такие уравнения с числом е?
Сообщение18.03.2013, 11:50 
Аватара пользователя


20/04/12
250
ИСН в сообщении #697505 писал(а):
А, если так... Хм. Да, тут есть нюанс.
Ладно, давайте вот что: опишите всё-таки словами, в каких отрицательных точках функция определена.


Функция $f(x)=x^{-2x}$ определена на множестве $\lbrace-\frac{n}{2m} |\; n\in\mathbb {N}\wedge m=2k+1 \wedge k\in\mathbb {N}_0\rbrace\cup [0; +\infty).$

 Профиль  
                  
 
 Re: Как решать такие уравнения с числом е?
Сообщение18.03.2013, 11:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
В точке, задаваемой через $n=1,\;m=2$, она тоже определена?

 Профиль  
                  
 
 Re: Как решать такие уравнения с числом е?
Сообщение18.03.2013, 11:58 
Аватара пользователя


20/04/12
250
ИСН, я исправила.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как решать такие уравнения с числом е?
Сообщение18.03.2013, 12:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Ага, так лучше. Теперь это запоминаем и переезжаем в плюс, чтобы не путаться. Будем искать положительный x, такой, что $f(-x)=2$, то есть...

 Профиль  
                  
 
 Re: Как решать такие уравнения с числом е?
Сообщение18.03.2013, 12:19 
Аватара пользователя


20/04/12
250
ИСН в сообщении #697525 писал(а):
Ага, так лучше. Теперь это запоминаем и переезжаем в плюс, чтобы не путаться. Будем искать положительный x, такой, что $f(-x)=2$, то есть...


$f(-x)=(-x)^{2x}=2.$
Как его решить я не знаю, а главное, не понимаю зачем?

 Профиль  
                  
 
 Re: Как решать такие уравнения с числом е?
Сообщение18.03.2013, 12:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Чтобы с минусами не путаться. Теперь следующий ход. Вспоминаем ту область определения. Ой, а число $-{1\over3}$ у Вас в неё входит?

-- Пн, 2013-03-18, 13:37 --

А, ну да, конечно, входит. Так вот...

-- Пн, 2013-03-18, 13:38 --

...отрицательное число в какой-то степени может быть тоже отрицательным - это явно не наш случай - а может быть положительным. Это когда, например?

 Профиль  
                  
 
 Re: Как решать такие уравнения с числом е?
Сообщение18.03.2013, 13:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9490
Москва
Возвращаясь к первоначальному уравнению.
Если нам что-то подобное попалось, полезно поискать "метаинформацию" - откуда такое чудо взялось? Кто подсунул - Матушка-Природа или Дядечка-Профессор. Если первое - то она о нашем существовании не подозревает, злонамеренности к нам не испытывает, но и доброжелательности тоже. И, скорее всего, простого и красивого решения тут нет, решать надо численно. А вот если второе... Это нам даёт по крайней мере три полезных подсказки:
1. Решение есть, и, скорее всего, результат довольно просто выглядит.
2. Решение должно опираться на то, что мы знаем (или, вернее, на то, что, по мнению Профессора, мы знать обязаны)
3. Однако оно не состоит в применении стандартного приёма, а надо что-то неожиданное ввернуть.

У нас странный гибрид квадратного уравнения и трансцедентного. И простых преобразований, сводящих к известному виду, не просматривается. Ну, раз появилось слово "трансцедентное" - то можно вспомнить, что нам Профессор упоминал о трансцедентности числа e, и получается, что в левой части у нас при любом рациональном показателе степени иррациональное число, а справа вообще целое. Кроме показателя 0. Подставляем, ура!, сошлось.
А дальше рисуем $e^x=\frac {2-x^2}{x+1}$, видим, что там, где графики могут пересечься, один возрастает, второй убывает, так что пересечение у них одно и мы его нашли.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как решать такие уравнения с числом е?
Сообщение18.03.2013, 16:40 
Аватара пользователя


20/04/12
250
ИСН в сообщении #697534 писал(а):
...отрицательное число в какой-то степени может быть тоже отрицательным - это явно не наш случай - а может быть положительным. Это когда, например?


Когда показатель степени представим в виде $\frac{2m}{2n+1}$, где $n\in \mathbb{Z}$, $m\in \mathbb{N}$.
Кстати, выражения $(-1)^\frac{4}{3}$ и $(-1)^\frac{8}{6}$ тождественны?

 Профиль  
                  
 
 Re: Как решать такие уравнения с числом е?
Сообщение18.03.2013, 16:42 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
larkova_alina в сообщении #697493 писал(а):
Но зато определено $(-2)^{1/5}.$
Это в каком учебнике Вы вычитали?

 Профиль  
                  
 
 Re: Как решать такие уравнения с числом е?
Сообщение18.03.2013, 16:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
nnosipov, ну что Вы докопались до мышей. Здесь вот так.
Вопрос о тождественности $(-1)^\frac{4}{3}$ и $(-1)^\frac{8}{6}$ считаю возможным отбросить за ненужностью.
Итак, если $x=\frac{m}{2n+1}$, то чему равно $f(-x),\text{ которое }(-x)^{2x}$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Как решать такие уравнения с числом е?
Сообщение18.03.2013, 17:09 
Аватара пользователя


20/04/12
250
nnosipov, а что, не определено?
$(-2)^{1/5}$ - это такое отрицательное число, которое при возведении в пятую степень дает $-2$.
-- 18.03.2013, 18:14 --

ИСН, $(-1)^\frac{8}{6}$ определено?

Если $x=\frac{m}{2n+1}$, то $f(-x)=(-\frac{m}{2n+1}$)^{\frac{2m}{2n+1}$}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как решать такие уравнения с числом е?
Сообщение18.03.2013, 17:14 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
ИСН в сообщении #697649 писал(а):
nnosipov, ну что Вы докопались до мышей.
Нет, это вполне принципиально. Есть класс элементарных функций, которые получаются из базовых элементарных функций (с их известными областями определения) при помощи четырёх алгебраических операций и операции композиции. Этого класса за глаза хватает для всех школьных нужд. Выражение $x^{2x}$ естественно понимать именно как композицию показательной функции с логарифмической, отсюда и область определения. Зачем ещё что-то придумывать дополнительно?

-- Пн мар 18, 2013 21:18:06 --

larkova_alina в сообщении #697663 писал(а):
nnosipov, а что, не определено?
Нет, не определено. Определено выражение $\sqrt[5]{-2}$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 88 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group