2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Матиндукция, утверждение о делимости
Сообщение04.03.2013, 14:36 


04/03/13
3
 i  Deggial: Тема отделена от архивной. Формулы оформлять надо все.


Приветствую!

Не особо я помню математику, а ребёнку нужно объяснить, как решать задачи.

Докажите, что при любом целом $n\geqslant 1$ число $5^n+2\cdot3^n+5$ делится на 8 без остатка.
Докажите, что при любом целом $n\geqslant 1$ число $20^n+16^n-3^n-1$ делится на 32 без остатка.

Посмотрел я теорию и примеры решёных задач. То что я понял: Мы проверяем утверждение при $n=1$, потом предполагаем, что при некотором значении к это утверждение тоже верно, а потом проверяем его при $k+1$. При этом приводим слагаемые выражения так, чтобы оно делилось на выражение, полученное при $n=k$ или на то число, на деление на которое без остатка мы доказываем.

$k$: $5^k+2\cdot3^k+5$
$k+1$: $5^k^+^1+2\cdot3^k^+^1+5=5\cdot5^k+2\cdot3\cdot3^k+5=5(5^k+2\cdot3^k+5)-4\cdot3^k-20$

С первым слагаемым, как будто всё хорошо, но вот последние два на 8 не делятся.

Сорри, давно я не занимался математикой, где я ошибаюсь?

 Профиль  
                  
 
 Матиндукция, утверждение о делимости 2
Сообщение04.03.2013, 15:24 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
mkadish в сообщении #691063 писал(а):
но вот последние два на 8 не делятся.

Это по отдельности. А вместе?...

Подсказка: 3 -- число нечётное.

 Профиль  
                  
 
 Re: Математическая индукция, утверждение о делимости
Сообщение04.03.2013, 16:17 


04/03/13
3
Спасибо за подсказку, но я не догоняю. Я понимаю, что я чего-то просто не помню: какого-то правила или свойства.

 Профиль  
                  
 
 Re: Математическая индукция, утверждение о делимости
Сообщение04.03.2013, 16:29 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Какое количество четвёрок в любом случае прибавляется к двадцатке?...

Впрочем, если хотите помучиться, то можете доказать делимость того хвостика тоже по индукции. Запретить-то ведь никто не в силах.

 Профиль  
                  
 
 Re: Математическая индукция, утверждение о делимости
Сообщение04.03.2013, 16:46 


04/03/13
3
А, ну минимум одна, будет в сумме 24, потом 32, 56, т. е. эта сумма в любом случае будет делиться на 8.

 Профиль  
                  
 
 Re: Матиндукция, утверждение о делимости
Сообщение04.03.2013, 19:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/04/10
3152
mkadish в сообщении #691063 писал(а):
ребёнку нужно объяснить, как решать задачи

Объясните как-нибудь ""арифметику по модулю...

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group