Рассуждение про косинус ("1^z не всегда равно 1")

[Maximum]

Не могу найти ошибку в таком рассуждении.
Пусть $\alpha$ --- произвольный угол. Докажем, что его косинус всегда равен 1. Действительно, $\forall\alpha$ верно, что $\alpha=2\pi\cdot\frac{\alpha}{2\pi}.$ Используя формулу Эйлера, можно написать

$$ \cos\alpha=\frac{e^{i\alpha}+e^{-i\alpha}}{2}=\frac{(e^{2\pi i})^{\alpha/2\pi}+(e^{-2\pi i})^{\alpha/2\pi}}{2}=\frac{1+1}{2}=1$$

Добавлено спустя 31 минуту 54 секунды:

Я так понимаю, что свойство $e^{z_{1}z_{2}}=(e^{z_1})^{z_2}$ неверно?

[RIP]

Ошибка в том, что если Вы оперируете с комплексными числами, то $1^{z}$ не всегда равно 1.

Добавлено спустя 3 минуты 40 секунд:

Maximum писал(а):

Я так понимаю, что свойство $e^{z_{1}z_{2}}=(e^{z_1})^{z_2}$ неверно?

Не то чтобы неверно, просто тут надо задать себе вопрос: А что такое $(e^{z_1})^{z_2}$?

[Maximum]

Спасибо! Понял. ТФКП еще не изучал, поэтому не смог ошибку найти.

[RIP]

Если более конкретно, то проблема вот в чём:
Как верно замечено, проблема в равенстве $e^{z_1z_2}=(e^{z_1})^{z_2}$. Если $z_1,z_2~-$ вещественные, то это доказывается. Если же хотя бы одно из чисел комплексное, то равенство тоже можно считать верным, но при этом $(e^{z_1})^{z_2}$ по определению полагают равным $e^{z_1z_2}$.