2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 6, 7, 8, 9, 10  След.
 
 Re: Анализ поведения материи на планковском масштабе
Сообщение05.03.2013, 20:31 
Заблокирован
Аватара пользователя


08/03/07

410
m_еugene в сообщении #691450 писал(а):
Особенно интересует применение второго знака равенства.

$R_g$ - с моей точки зрения, с точностью до коэффициента есть нулевая компонента гравитационного 4-импульса. Поясню, почему так считаю. Напишем уравнение Эйнштейна для слабого гравитационного поля и проинтегрируем его по трехмерной гиперповерхности $S^i$. Слева мы получим некое выражение размерности длины $R_i$, справа 4-импульс материи, умноженный на коэффициент $2G/c^3$. Записывая 4-импульс материи как $P_i=mcU_i$ получим справа выражение $R_gU_i$. Для слабого поля такая запись возможна. В ЛЛ показано, что в этом случае $m$ есть полная масса. Таким образом уравнение Эйнштейна примет вид $R_i=R_gU_i$. Для центрально-симметричного поля все компоненты скорости $U_i$, кроме $U_0$, равны нулю, а нулевая компонента равна 1. Таким образом, $R_0=R_gU_0=R_g$ Следовательно, как компонента импульса, она не будет коммутировать с соответствующей сопряженной координатой . Вот примерно такой поток мыслей для обоснования приведенного соотношения неопределенностей. Или же можно просто, исходя из соображений размерности.
myhand в сообщении #691456 писал(а):
Что вам непредметного в тыкании на формулу и подробном объяснении почему она не имеет никакого разумного смысла?

Ну, с вами можно разговор заканчивать. Продолжайте совершенствовать вашу теорию "теплорода". Под "теплородом" я имею в виду "струны" как такие же, как и теплород, несуществующие сущности.

-- Вт мар 05, 2013 21:42:22 --

m_еugene в сообщении #691450 писал(а):
И я так и не "въехал в Ваше

aklimets в сообщении #686728 писал(а):
где - гравитационный радиус частицы, - ее координата

Давайте это понимать следующим образом. Когда говорят, например, что нельзя электрону упасть на ядро, так как чем меньше размер занимаемой области, тем, согласно соотношению неопределенностей, выше его скорость.
Так и в данном случае понимайте $r$ как размер занимаемой области. Рассуждения то качественные.

 Профиль  
                  
 
 Re: Анализ поведения материи на планковском масштабе
Сообщение18.09.2013, 10:26 
Заблокирован
Аватара пользователя


08/03/07

410
Попробую обосновать установленное в первом посте соотношение неопределенностей $\Delta r_g\Delta r\ge\ell^2_{pl}$, исходя из уравнения Эйнштейна.
"Двухмерное искривленное пространство легко себе представить как поверхность в трехмерном евклидовом пространстве. Аналогичным образом можно иметь дело с искривленным четырехмерным пространством в плоском пространстве большего числа измерений. В этом случае искривленное пространство называют римановым. Малая область риманова пространства близка к плоскому пространству.
Эйнштейн предположил, что физическое пространство является пространством именно такой природы, и поэтому положил риманову геометрию в основу теории гравитации."
[1,c.14]
Уравнения гравитационного поля имеют вид
$$G_{ik}=\frac{8\pi k}{c^4}T_{ik}\,\,\,\,\,(1)$$
где $G_{ik}=R_{ik}-1/2g_{ik}R$ - тензор Эйнштейна, $T_{ik}$ - тензор энергии-импульса материи, $k$ - гравитационная постоянная, $c$ - скорость света.
Умножим правую и левую части (1) на $\sqrt{-g}$, где $g$ - определитель метрического тензора $g_{ik}$, и проинтегрируем обе части равенства по трехмерной гиперповерхности $S^k$. Имеем
$$ \int{\sqrt{-g}}\,G_{ik}dS^k=\frac{8\pi k}{c^4}\int{\sqrt{-g}}\,T_{ik}dS^k\,\,\,\,\,(2)$$

"Для любого тензорного поля $T_{ik...}$ величину $\sqrt{-g}\,T_{ik...}$ можно назвать тензорной плотностью. Когда область интегрирования мала, $\int{\sqrt{-g}}\,T_{ik}d^4x$ является тензором. Если область интегрирования не мала, то этот интеграл не будет тензором, так как он представляет собой сумму тензоров, заданных в разных точках и, следовательно, не преобразуется по какому-либо простому закону при преобразованиях координат" [1,c.39].
То же относится и к интегралу по трехмерной гиперповерхности $S^k$.
Таким образом, для малой области интегрирования уравнение (2) можно записать в виде следующего тензорного равенства
$$    R_i=\frac{2k}{c^3}P_i \,\,\,\,\,(3)$$
где $P_i$ - 4-импульс материи; $R_i$ - некая величина с размерностью длины, которую мы отождествляем с радиусом кривизны данной малой области при интегрировании по трехмерной гиперповерхности $S^k$ тензорной плотности кривизны пространства-времени $(1/4\pi)\sqrt{-g}\,G_{ik}$. Постоянную интегрирования положим равной нулю (вернее, сумму постоянной интегрирования и интеграла от космологического члена). Я думаю, что это всегда можно сделать, если в (1) учесть еще космологический член $\lambda g_{ik}$ [1,c.64], путем подбора константы $\lambda$. Возможно даже, что из равенства нулю этой суммы константа $\lambda$ и устанавливается.
Замечу, что уравнение (3) можно переписать следующим образом
$$ R_i=\frac{2k}{c^3}mcU_i \,\,\,\,\,(4)$$
где $m$ - полная масса, так как данная малая область пространства-времени близка к плоской; $U_i$ - 4-скорость.
Окончательно имеем
$$ R_i=\frac{2km}{c^2}U_i=r_g\,U_i \,\,\,\,\,(5)$$
где $r_g$ - гравитационный радиус гравитирующего тела.
Для статического поля и статического распределения материи $U_o=1$, $U_{\mu}=0,\, (\mu=1,2,3)$ [1,c.47] . Тогда из (5) получим
$$    R_0=r_g U_0=r_g\,\,\,\,\,(6)$$
Продолжим. Уравнение (3) в асимптотически плоском пространстве-времени (малой области интегрирования) является линейным. Поставим динамической переменной импульса $P_i$ соответствующий оператор. Оператор импульса $\hat P_i$ в координатном представлении имеет вид
$$    \hat P_i=-i\hbar\frac{d}{dx^i}\,\,\,\,\,(7)$$
Подставляя это выражения для оператора импульса в (3), получаем для оператора радиуса кривизны
$$     \hat R_i=\frac{2k}{c^3}\hat P_i=-i\frac{2k\hbar}{c^3}\frac{d}{dx^i}=-2i\ell^2_{pl}\frac{d}{dx^i}\,\,\,\,\,(8)$$
Или, окончательно, выражение для оператора радиуса кривизны для малой области интегрирования имеет вид
$$    \hat R_i=-2i\ell^2_{pl}\frac{d}{dx^i}\,\,\,\,\,(9)$$
где $\ell_{pl}=\sqrt{k\hbar/c^3}$ - фундаментальная планковская длина.
Очевидно, что оператор радиуса кривизны пространства-времени $\hat R_i$ в данной малой области и оператор координаты гравитирующей частицы $\hat x^i$ не коммутируют между собой, т.е.
$$    [\hat R_i\hat x^i-\hat x^i\hat R_i]=-2i\ell^2_{pl}\,\,\,\,\,(10)$$
Из (10) следует соотношение неопределенностей
$$ \Delta R_i\Delta x^i\ge\ell^2_{pl}\,\,\,\,\,(11)$$
Для центрально-симметричного поля компоненты 4-скорости $U_i$ в выражении для 4-импульса $P_i$ равны: $U_o=1$, $U_{\mu}=0,\, (\mu=1,2,3)$. Поэтому соотношение неопределенностей (11) вырождается в следующее соотношение
$$
     \Delta R_0\Delta x^0\ge\ell^2_{pl}\,\,\,\,\,(12)
$$
Из (5) видно, что в этом случае $R_0=r_g$, а $x^0$ совпадает с $r$, если пользоваться сферическими координатами.
Таким образом, для центрально-симметричного поля получаем следующее соотношение неопределенностей
$$
       \Delta r_g\Delta r\ge\ell^2_{pl}\,\,\,\,\,(13)
$$
Поэтому при качественном анализе уравнений общей теории относительности применительно к микромиру для малой области интегрирования всегда можно заменить безразмерное отношение $r_g/r$ на выражение $\ell^2_{pl}/r^2$ (исходя из того что, согласно (13), $r_g\approx\ell^2_{pl}/r$), что и требовалось доказать.
В микромире пространство-время в малой области является практически плоским даже для сильного гравитационного поля. Сильное гравитационное поле - это макроскопический эффект. Поэтому в микромире и допустима сшивка ОТО и квантовой механики.

Литература:

1. Дирак П.А.M Общая теория относительности,
Москва, Атомиздат, 1978

 Профиль  
                  
 
 Re: Анализ поведения материи на планковском масштабе
Сообщение18.09.2013, 14:59 
Заслуженный участник


25/01/11
402
Урюпинск
Правильно ли я понял, что в Вашей теории предполагается, что вектор состояния $|\psi\rangle$ (грав. поля? или чего?) может быть записан как функция координат и времени $\psi({\bf x},t)$?

Если так, то каков смысл (если он есть) $|\psi({\bf x},t)|^2$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Анализ поведения материи на планковском масштабе
Сообщение18.09.2013, 17:21 
Аватара пользователя


10/12/11
2416
Москва
aklimets в сообщении #764991 писал(а):
Умножим правую и левую части (1) на $\sqrt{-g}$, где $g$ - определитель метрического тензора $g_{ik}$, и проинтегрируем обе части равенства по трехмерной гиперповерхности $S^k$.

Нельзя интегрировать тензор. Формула (2) некорректна. Вы в результате не получите 4-вектор. В лучшем случае объект с одним значком сверху, который не является вектором.

 Профиль  
                  
 
 Re: Анализ поведения материи на планковском масштабе
Сообщение18.09.2013, 18:12 
Заблокирован
Аватара пользователя


08/03/07

410
schekn в сообщении #765090 писал(а):
Нельзя интегрировать тензор. Формула (2) некорректна. Вы в результате не получите 4-вектор. В лучшем случае объект с одним значком сверху, который не является вектором.

Объясните, почему нельзя. Для большой области согласен, нельзя, для чего я и привел цитату из Дирака.. Но мной подчеркивается, что область интегрирования мала, т.е. является асимптотически плоской. Поэтому в малой области интегрирования получим вектор 4-импульса.

-- Ср сен 18, 2013 17:22:22 --

espe в сообщении #765060 писал(а):
Если так, то каков смысл (если он есть) $|\psi({\bf x},t)|^2$?

Подумаю. Вообще-то с этим смыслом при создании квантовой механики разбирались долго.

 Профиль  
                  
 
 Re: Анализ поведения материи на планковском масштабе
Сообщение24.09.2013, 14:30 
Заблокирован
Аватара пользователя


08/03/07

410
Хотелось бы дополнить вышеизложенное. Надеюсь, из-за этого тему не отправят в пургаторий.
Попытаюсь обосновать свое утверждение о том, что в полученном соотношении
$$
    R_i=\frac{2k}{c^3}P_i \,\,\,\,\,(1)
$$
величина $R_i$, имеющая размерность длины, отображает радиус кривизны пространства-времени данной малой области в случае сильного гравитационного поля или любой большой области пространства-времени в случае слабого гравитационного поля.
Перепишем $(1)$ следующим образом
$$
    R_i=\frac{2k}{c^3}mcU_i=\frac{2k}{c^2}m U_i\,\,\,\,\,(2)$$
где $m$ - полная масса (так как рассматриваемая малая область пространства-времени практически плоская); $U_i$ - 4-скорость.
Для случая статического поля и статического распределения материи $U_0=1$;$U_{\mu}=0, (\mu=1,2,3)$ [1,c.47].
Тогда $(2)$ вырождается в
$$
    R_0=\frac{2k}{c^2}m=r_g\,\,\,\,\,(3)
$$
где $r_g$ - гравитационный радиус массы $m$.
Теперь обратимся к механике Ньютона. Известно, что выражение для второй космической скорости $v_2$ находится из выражения для полной энергии частицы, движущейся со скоростью $v_2$, состоящего из кинетической и потенциальной энергий и имеет вид [2,c.172]
$$
    E=\frac{mv^2_2}{2}-k\frac{m M_z}{R_z}\,\,\,\,\,(4)
$$
где $k$ - гравитационная постоянная, $M_z$ - масса Земли, $R_z$ - расстояние от центра Земли до частицы. На бесконечно большом расстоянии полная энергия $E=0$. Поэтому
$$
    \frac{mv^2_2}{2}=k\frac{mM_z}{R_z}\,\,\,\,\,(5)
$$
Из $(5)$ находим скорость $v_2$ частицы, необходимой для преодоления земного притяжения (вторая космическая скорость)
$$
    v_2=\sqrt{2k\frac{M_z}{R_z}}\,\,\,\,\,(6)
$$
$(6)$ можно переписать также следующим образом
$$
    R_z=\frac{2k}{v^2_2}M_z\,\,\,\,\,(7)
$$
Положим формально скорость $v_2$ равной скорости света (для света). Получим
$$
    R_z=\frac{2k}{c^2}M_z\,\,\,\,\,(8)
$$
что совпадает с гравитационным радиусом Земли.
Невооруженным глазом видно сходство уравнения для величины $R_0$ из $(3)$, полученного в результате интегрирования уравнения Эйнштейна и соотношений $(7)$ и $(8)$, полученных из уравнения для второй космической скорости $(6)$.
Разберем другой пример [2,c.277]. Рассмотрим характеристическую длину, которая получится, если приравнять $Mc^2$ собственной гравитационной энергии тела
$$
    k\frac{M^2}{R}=Mc^2\,\,\,\,\,(9)
$$
или
$$
    R=\frac{k}{c^2}M\,\,\,\,\,(10)
$$
Здесь $R$ называется гравитационной длиной. С чем она связана? Масса известной нам Вселенной - величина порядка $10^{56}$ г. Тогда из $(10)$ получим
$$
    R\approx10^{-7}10^{56}/(3*10^{10})^2\approx10^{28}cm\,\,\,\,\,(11)
$$
что согласуется с наблюдаемым значением так называемого радиуса Вселенной (его можно оценить независимым путем).
Таким образом, и уравнение $(3)$ и соотношения $(7)$ и $(8)$ и соотношение размерностей $(9)$ сходны по форме, взаимосвязаны между собой и выражают одну и ту же суть - связь радиуса кривизны пространства-времени (или размера рассматриваемой области) и энергии-импульса материи, что и подтверждает наше предположение о трактовке $R_i$, высказанное в начале.
Хочу обратить внимание еще на один интересный момент. Пусть в выражения $(9)$ и $(10)$ вместо массы $M$ мы подставим импульс фотона $P$, деленный на скорость света, т.е. $P/c$. Приравнивая собственную гравитационную энергию фотона и его кинетическую энергию, получим характеристическую длину волны фотона (сравните с $(1)$.
$$
    R=\frac{k}{c^2}\left (\frac{P}{c}\right )=\frac{k}{c^3}P\,\,\,\,\,(12)
$$
По идее, она должна характеризовать гравитационный радиус для данного количества энергии, заключенной в фотоне.
Подставляя в $(12)$ вместо импульса $P$, согласно соотношению неопределенностей Гейзенберга, величину $\hbar/R$, получим
$$
    R=\sqrt{k\hbar/c^3}\approx10^{-33}cm\,\,\,\,\,(13)
$$
то есть на планковском масштабе энергий фотон должен коллапсировать и стать планковской черной дырой.
В общем, как ни крути, но в микромире при включении в рассмотрение гравитационного поля мы все время упираемся в планковскую длину $10^{-33}cm$.

Литература:
1. Дирак П. А. M Общая теория относительности,
Москва, Атомиздат, 1978
2. Киттель Ч.,Найт В.,Рудерман М., Берклеевский курс физики. Механика, Москва, Наука, 1983

 Профиль  
                  
 
 Re: Анализ поведения материи на планковском масштабе
Сообщение24.09.2013, 14:46 
Заблокирован
Аватара пользователя


03/03/10

4558
У меня единственный и простой вопрос. Почему эта тема давным давно не попала в Пургаторий?!

 Профиль  
                  
 
 Re: Анализ поведения материи на планковском масштабе
Сообщение24.09.2013, 15:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
+1

 Профиль  
                  
 
 Re: Анализ поведения материи на планковском масштабе
Сообщение26.09.2013, 10:05 
Заблокирован
Аватара пользователя


08/03/07

410

(Оффтоп)

Munin в сообщении #767332 писал(а):
+1

Munin, все же меня не оставляет надежда, что среди российских физиков найдется свой "Шредингер", который использует изложенные в этой теме качественные рассуждения для построения полноценной квантовой теории гравитации.

 Профиль  
                  
 
 Re: Анализ поведения материи на планковском масштабе
Сообщение26.09.2013, 11:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Для построения полноценной квантовой теории гравитации давно уже (с 70-х годов как минимум) используют гораздо более глубокие качественные рассуждения. Ваши - просто не нужны, это информационный мусор.

 Профиль  
                  
 
 Re: Анализ поведения материи на планковском масштабе
Сообщение26.09.2013, 12:27 
Заблокирован
Аватара пользователя


08/03/07

410
Munin в сообщении #767918 писал(а):
Для построения полноценной квантовой теории гравитации давно уже (с 70-х годов как минимум) используют гораздо более глубокие качественные рассуждения.

Хорошо, тогда просветите, использовался ли подход, который я использовал выше. Изложу его суть.
Искривленное 2-мерное пространство (поверхность шара) можно аппроксимировать, например, прилегающими друг к другу плоскими шестиугольниками. Чем меньше сторона шестиугольника, тем точнее аппроксимация искривленной поверхности шара.
Точно таким же образом можно аппроксимировать макроискривленное пространство-время в ОТО малыми плоскими областями пространства-времени, в пределах которых справедлива специальная теория относительности и линейная квантовая механика. Чем меньше масштаб аппроксимации, тем она точнее. Сшивка этих плоских малых областей пространства-времени в макромасштабе переходит в общую теорию относительности. Возможно, существует какой-то квант аппроксимации.
Выше я и излагал переход от ОТО к таким малым областям пространства-времени, в которых справедлив квантовый подход. То есть в макромасштабе ОТО и квантовая механика несовместимы, но в микромасштабе они вполне себе уживаются. Кто-нибудь шел по такому пути?

 Профиль  
                  
 
 Re: Анализ поведения материи на планковском масштабе
Сообщение26.09.2013, 15:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Нет, такое не использовалось. Проблема в том, что вы совершенно не оговариваете законов сшивки.

Ну и кроме того, это даёт не квантовую гравитацию, а всего лишь квантовую механику в искривлённом пространстве-времени. Эта проблема тоже стоит, но решается намного проще, чем квантовая гравитация сама по себе.

Скорей всего, вы, как и многие "горе-изобретатели", не понимаете смысла квантования вообще. Квантование и дискретность - вещи совершенно разные.

 Профиль  
                  
 
 Re: Анализ поведения материи на планковском масштабе
Сообщение26.09.2013, 17:12 
Заблокирован
Аватара пользователя


08/03/07

410
Munin в сообщении #767967 писал(а):
Скорей всего, вы, как и многие "горе-изобретатели", не понимаете смысла квантования вообще. Квантование и дискретность - вещи совершенно разные.

Помню. Вы тут кого-то уже критикнули по этому поводу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Анализ поведения материи на планковском масштабе
Сообщение26.09.2013, 18:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Ну так это распространённый недуг.

 Профиль  
                  
 
 Re: Анализ поведения материи на планковском масштабе
Сообщение26.09.2013, 19:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11536
aklimets в сообщении #767927 писал(а):
Искривленное 2-мерное пространство (поверхность шара) можно аппроксимировать, например, прилегающими друг к другу плоскими шестиугольниками. Чем меньше сторона шестиугольника, тем точнее аппроксимация искривленной поверхности шара.
Точно таким же образом можно аппроксимировать макроискривленное пространство-время в ОТО малыми плоскими областями пространства-времени, в пределах которых справедлива специальная теория относительности и линейная квантовая механика. Чем меньше масштаб аппроксимации, тем она точнее. Сшивка этих плоских малых областей пространства-времени в макромасштабе переходит в общую теорию относительности.

Исчисление Редже...

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 136 ]  На страницу Пред.  1 ... 6, 7, 8, 9, 10  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group