2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Задачи о линейных преобразованиях
Сообщение31.01.2013, 16:14 


25/12/11
146
Добрый день. Есть следуйщие задачи, по которым испытываю трудности.

1) Доказать, что множество многочленов степени не выше $n$ с комплексными коефициентами можна рассмотреть и как комплексное линейное пространство, и как действительно линейное пространство. В обоих случаях найти:
а) базис и размерность пространства;
б) координатный столбик многочлена $1-2i+(3+i)t-3t^2$ в найденом базисе (при $n=2$).

2) В линейном пространстве вещественных многочленов $p(x,y)$ от двух переменных $x, y$ преобразование $\varphi$ определяется формулою $\varphi(p(x,y))=p(x+a,y+b) (a \ \text и \ b - \text {фиксированые числа}$). Показать, что $\varphi$ определяет линейное преобразование не выше второй степени, и посчитать его матрицу в базисе $1, x, y, x^2, xy, y^2$.

По 1 заданию. Как может линейное пространство быть одновременно над полем вещественных и комплексных чисел? (если комплексное - то включает и вещественное, но если вещественное - комплексные числа тогда не определены) Размерность пространства будет $n$. Базис будет, так понимаю, вида $a+ib, (a_1 +ib_1)t, (a_2+ib_2)t^2$, но как найти координатный столбец в таком базисе не могу догадатся. :(

По 2 заданию. Так понимаю, что вначале надо проверить линейность преобразования. Но как дальше записать правую часть $\varphi (p_1(x,y) + p_2(x,y))= ....$ не знаю.
$\varphi (\lambda p(x,y))=\lambda p(x+a,y+b)$ - так можна записать?
Как показать, что линейное преобразование будет не выше второй степени и как посчитать его матрицу в базисе $1, x, y, x^2, xy, y^2$ не знаю с какой стороны подойти.


Подскажите пожалуста, верны ли мысли в том что знаю хоть немного, и в каком направлении нужно двигатся(думать) в том, чего не знаю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи о линейных преобразованиях
Сообщение31.01.2013, 16:21 
Заслуженный участник


08/01/12
915
Fafner в сообщении #678326 писал(а):
По 1 заданию. Как может линейное пространство быть одновременно над полем вещественных и комплексных чисел? (если комплексное - то включает и вещественное, но если вещественное - комплексные числа тогда не определены)

Ну, вспоминайте, что такое линейное пространство, что в его определении зависит от основного поля.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи о линейных преобразованиях
Сообщение31.01.2013, 16:29 


25/12/11
146
apriv в сообщении #678331 писал(а):
Fafner в сообщении #678326 писал(а):
По 1 заданию. Как может линейное пространство быть одновременно над полем вещественных и комплексных чисел? (если комплексное - то включает и вещественное, но если вещественное - комплексные числа тогда не определены)

Ну, вспоминайте, что такое линейное пространство, что в его определении зависит от основного поля.

Да, но в поле комплексных чисел включаются вещественные, но в поле вещественных чисел не включаются комплексные. Тоесть, если линейное пространство над полем комплексных чисел - то значит и над полем вещественных чисел. Но если линейное пространство только над полем вещественных чисел - то комплексным оно никак не будет ведь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи о линейных преобразованиях
Сообщение31.01.2013, 16:53 
Заслуженный участник


08/01/12
915
Fafner в сообщении #678338 писал(а):
Да, но в поле комплексных чисел включаются вещественные, но в поле вещественных чисел не включаются комплексные. Тоесть, если линейное пространство над полем комплексных чисел - то значит и над полем вещественных чисел. Но если линейное пространство только над полем вещественных чисел - то комплексным оно никак не будет ведь.

Конечно. Но у Вас-то в задаче речь идет о совершенно конкретном пространстве, а не о каком-то там произвольном. Вот про него и скажите, является ли оно пространством над тем и над другим.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи о линейных преобразованиях
Сообщение31.01.2013, 19:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
6590
Fafner в сообщении #678326 писал(а):
Показать, что $\varphi$ определяет линейное преобразование не выше второй степени
И как это понимать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи о линейных преобразованиях
Сообщение31.01.2013, 20:22 


25/12/11
146
apriv в сообщении #678354 писал(а):
Но у Вас-то в задаче речь идет о совершенно конкретном пространстве, а не о каком-то там произвольном. Вот про него и скажите, является ли оно пространством над тем и над другим.

Пусть $x \in V, y \in V, \lambda \in P$, где $V$ - пространство, $P$ - поле.
Тогда, что б $V$ было линейным пространством, необходимо что б $x+y \in V, \lambda x \in V$. Если $P \equiv \mathbb C$, то за определением можна считать пространство над полем комплексных чисел.
Если $P \equiv \mathbb R$, то можна написать $\lambda=a+ib, a \in \mathbb R, b \in \mathbb  R$. Мнимую единицу присоединяем к елементам пространства $V$, получается у нас пространство $V'$. Тогда, наши пространства $V$ и $V'$ над полем $P$ могут быть линейными, и вслучае линейности - их обьединение тоже даст линейное пространство над полем $P$.
А это значит, что пространство многочленов с комплексными коэфициентами можна считать как комплексным линейным пространством, так и действительным, что и требовалось доказать.

Такое доказательство, будет верное?

-- 31.01.2013, 19:24 --

мат-ламер в сообщении #678470 писал(а):
Fafner в сообщении #678326 писал(а):
Показать, что $\varphi$ определяет линейное преобразование не выше второй степени
И как это понимать?

Цитата:
Показать, что $\varphi$ определяет линейное преобразование пространства многочленов не выше второй степени
наверно так.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group