2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Дополнение к основным правилам форума:
Любые попытки доказательства сначала должны быть явно выписаны для случая n=3



Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней. На страницу 1, 2  След.
 
 Теорема Ферма, сумма кубов и пирамида Хеопса
Сообщение19.01.2013, 13:45 


17/05/11
27
Здравствуйте.
Рассмотрим квадратное уравнение:
$x^2+y^2=z^2$ (1)
Известно, что любое решение уравнения (1) , для которого y чётно, выражается формулами :
$x=m^2-n^2$; (2)
$y=2mn$; (3)
$z=m^2+n^2$, (4)
где m>n.
Преобразуем (1):
$x^2=z^2-y^2=(z-y)(z+y)$ , (5)
где
$z-y=(m-n)^2$ , (6)
$z+y=(m+n)^2$ . (7)
Полагая
$m-n=1$ , (8)
получаем:
$z-y=1$, (9)
$x^2=z+y=2z-1=2y+1$ (10)
Т.о., квадрат любого числа всегда можно представить в виде разности квадратов двух чисел, отличающихся друг от друга на единицу:
$5^2=13^2-12^2$,
$7^2=25^2-24^2$... (11)
Для чётных чисел:
$6^2={18,5}^2-{17,5}^2$ (12)
Предположим, что:
$x^4+y^4=z^4$ (13)
где х,y,z- взаимно простые целые числа.
Перепишем (13) в виде:
$(x^2)^2+(y^2)^2=(z^2)^2$ (14)
Это квадратное уравнение относительно $x^2$, $y^2$,$z^2$ и с учётом (1)-(4) существуют
такие взаимно простые числа M и N<M разной чётности, что:
$x^2=m^2-n^2$; (15)
$y^2=2mn$; (16)
$z^2=m^2+n^2$, (17)
где m>n.
С учётом сказанного выше положим:
$m-n=1$ , (18)
Из (16)- (17) следует, что
$z^2-y^2=(m-n)^2=1$ (19)
В целых числах это уравнение неразрешимо, поэтому и исходное
предположение (13) – неверно. Т.к. рассуждения справедливы для
любого чётного показателя в (13), большего 2, то для чётных степеней можно считать
теорему Ферма доказанной.
Я уже приводил это доказательство в работе, размещённой год назад на этом сайте
(«Великая теорема Ферма. Полное элементарное доказательство») и никаких
вразумительных контраргументов не последовало.
Однако, пойдём дальше. Вернёмся к формулам (11)-(12).
Т. к. любое число можно представить в виде квадрата:
$5=(\sqrt5)^2$ (20)
, то можно сказать, что любое число всегда можно представить в виде разности квадратов двух чисел, отличающихся друг от друга на единицу:
$5=3^2-2^2$,
$7=4^2-3^2$... (21)
$4=2,5^2-1,5^2$
Рассмотрим последовательность кубов чисел от 1до n:
$1^3, 2^3, 3^3 ....n^3$ (22)
Представим каждый куб в виде :
$2^3=2(2^2)=(1,5^2-0,5^2)2^2=3^2-1^2$ (23)
$3^3=3(3^2)=(2^2-1^2)3^2=6^2-3^2$ (24)
$5^3=5(5^2)=(3^2-2^2)5^2=15^2-10^2$ (25)
И запишем последовательность в виде:
$1^3=1^-0$
$2^3=3^2-1^2$
$3^3=6^2-3^2$ (26)
$4^3=10^2-6^2$
$5^3=15^2-10^2$
........
Просуммируем левые и правые части уравнений:
$1^3+2^3+3^3+....+n^3=(1+2+3+...+n)^2$ (27)
Сумма кубов чисел от 1 до n есть квадрат суммы этих чисел.
Интересно представить это геометрически.
Если по осям x-y последовательно откладывать 1, затем 2 и т. д. , то площадь каждого последующего квадрата, построенного на каждом шаге, за исключением площади предыдущих будет кубом.
Допустим, сделали 7 шагов, значит, площадь квадрата
$(1+2+..+7)^2=28^2$
При 6-ти шагах площадь $21^2$, таким образом:
$7^3=28^2-21^2$
И действительно:
$7^3=7(7^2)=(4^2-3^2)7^2=28^2-21^2$
Геометрически можно представить (27) по-другому: вокруг квадрата со стороной 1
чертим квадраты со сторонами 3,6,10,15…(см.(26)) и площадь каждого последующего квадрата, построенного на каждом шаге, за исключением площади предыдущих будет кубом .
Если в формуле (27) взять n=21,то
$1^3+2^3+3^3+....+21^3=231^2$ . (28)
Интересно, что сторона основания пирамиды Хеопса – практически 231 м.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Ферма, сумма кубов и пирамида Хеопса
Сообщение19.01.2013, 13:57 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
VALERI2 в сообщении #673622 писал(а):
Я уже приводил это доказательство в работе, размещённой год назад на этом сайте
(«Великая теорема Ферма. Полное элементарное доказательство») и никаких
вразумительных контраргументов не последовало.
Ну хоть бы новенькое что придумали, чем прошлогоднюю ерунду переписывать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Ферма, сумма кубов и пирамида Хеопса
Сообщение19.01.2013, 14:36 


17/05/11
27
Ваш контраргумент очень вразумителен!

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Ферма, сумма кубов и пирамида Хеопса
Сообщение19.01.2013, 14:52 
Заслуженный участник


08/04/08
8556
VALERI2 в сообщении #673622 писал(а):
Предположим, что:
$x^4+y^4=z^4$ (13)
VALERI2 в сообщении #673622 писал(а):
В целых числах это уравнение неразрешимо, поэтому и исходное
предположение (13) – неверно. Т.к. рассуждения справедливы для
любого чётного показателя в (13), большего 2, то для чётных степеней можно считать
теорему Ферма доказанной.
Я уже приводил это доказательство в работе, размещённой год назад на этом сайте
(«Великая теорема Ферма. Полное элементарное доказательство») и никаких
вразумительных контраргументов не последовало.
Вы вообще книжки читали хоть какие-нибудь?! Тот факт, что уравнение $x^4+y^4=z^4$ неразрешимо, доказал еще Ферма, причем от него осталось явное доказательство, которое теперь и приводится во всех книгах. Т.е. четный показатель уже с 17-го века никому неинтересен.

Остальное к ВТФ не относится почти никак.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Ферма, сумма кубов и пирамида Хеопса
Сообщение19.01.2013, 14:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14424
VALERI2, а вот картинка к сумме кубов
http://dxdy.ru/post251121.html#p251121

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Ферма, сумма кубов и пирамида Хеопса
Сообщение19.01.2013, 14:56 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
VALERI2 в сообщении #673622 писал(а):
С учётом сказанного выше положим:
$m-n=1$ , (18)
Ещё раз: введение дополнительного ограничения $m-n=1$ не обосновано. Приведите доказательство того, что $m-n=1$.

-- Сб янв 19, 2013 19:00:38 --

Sonic86 в сообщении #673652 писал(а):
Тот факт, что уравнение $x^4+y^4=z^4$ неразрешимо, доказал еще Ферма
ТС настаивает на том, что он тоже доказал этот факт, чего на самом деле, конечно, не наблюдается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Ферма, сумма кубов и пирамида Хеопса
Сообщение19.01.2013, 15:27 


17/05/11
27
Уважаемый Заслуженный участник Sonic86!
Создаётся впечатление, что Вы знаете только один чётный показатель - 4.
Ну, извините...

-- Сб янв 19, 2013 16:30:03 --

Уважаемый gris, картинка красивая. Спасибо.

-- Сб янв 19, 2013 16:36:15 --

Уважаемый nnosipov, я Вам уже объяснял в прошлом году, что
$m-n=1$ , конечно же , частный случай. Но ведь правило на то и есть правило, что ему
должны подчиняться ВСЕ ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Ферма, сумма кубов и пирамида Хеопса
Сообщение19.01.2013, 16:07 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
VALERI2 в сообщении #673675 писал(а):
Но ведь правило на то и есть правило, что ему
должны подчиняться ВСЕ ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ.
Такие логические ошибки со временем, видимо, только усугубляются. Но Вы всё же попробуйте найти в какой-нибудь книжке доказательство неразрешимости уравнения $x^4+y^4=z^4$ и сравнить со своим, хотя бы ради любопытства.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Ферма, сумма кубов и пирамида Хеопса
Сообщение19.01.2013, 16:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
VALERI2 в сообщении #673675 писал(а):
Но ведь правило на то и есть правило, что ему
должны подчиняться ВСЕ ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ.
Сформулируйте это правило.

Возьмём, например, в равенствах (2), (3), (4) $m=8$, $n=5$. Тогда $x=39$, $y=80$, $z=89$. Как здесь получить $m-n=1$? Продемонстрируйте, пожалуйста.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Ферма, сумма кубов и пирамида Хеопса
Сообщение19.01.2013, 17:02 


17/05/11
27
Уважаемый Sоmeone.
Ваш пример -такой же частный случай.
А правило (лемма) цитирую из "Введения в теорию алгебраических чисел" М.М.Постникова:
"Для ЛЮБЫХ взаимно простых положительных чисел m и n разной чётности формулы (2)-(4) доставляют состоящее из положительных целых чисел
примитивное решение уравнения (1) с чётным y. Обратно, ЛЮБОЕ состоящее из положительных чисел примитивное решение (x,y,z) уравнения (1), для которого
y чётно, выражается формулами (2)-(4), где m и n - взаимно простые числа разной чётности" (n меньше m и нумерация формул соответствует моему тексту).
Обращаю внимание на слово "ЛЮБЫЕ" , т.е. $m-n=1$ (частный случай) должен подчиняться этому правилу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Ферма, сумма кубов и пирамида Хеопса
Сообщение19.01.2013, 17:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/07
762
VALERI2 в сообщении #673622 писал(а):
$1^3+2^3+3^3+....+21^3=231^2$ . (28)
Интересно, что сторона основания пирамиды Хеопса – практически 231 м.

Но самое интересное, что строители основания пирамиды Хеопса пользовались современной метрической системой :shock:

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Ферма, сумма кубов и пирамида Хеопса
Сообщение19.01.2013, 17:10 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
VALERI2, а почему Вы выбрали именно этот частный случай? Почему не $m-n=3$, например? Не кажется ли Вам, что для того, чтобы сделать общее утверждение (о несуществовании никаких решений у уравнения $x^4+y^4=z^4$), нужно рассмотреть ВСЕ частные случаи?

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Ферма, сумма кубов и пирамида Хеопса
Сообщение19.01.2013, 17:59 


17/05/11
27
Уважаемый Коровьев, полностью с Вами согласен.
Похоже, строители были не глупее нас.

-- Сб янв 19, 2013 19:01:41 --

Уважаемый nnosipov, потому что этого достаточно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Ферма, сумма кубов и пирамида Хеопса
Сообщение19.01.2013, 18:10 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
VALERI2 в сообщении #673774 писал(а):
Уважаемый nnosipov, потому что этого достаточно.
А почему достаточно? Почему, например, уравнение $x^4+y^4=z^4$ не может иметь решений в случае, когда $m-n=3$ или $m-n=2013$? Как это следует из Ваших рассуждений?

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Ферма, сумма кубов и пирамида Хеопса
Сообщение19.01.2013, 19:46 


17/05/11
27
Прочитайте же повнимательней лемму в моём ответе Semeone.
Есть правило, по которому ЛЮБОЕ сочетание чисел m и n даёт состоящее из целых положительных чисел решение x,y,z
уравнения (1) и обратно. $m-n=1$ - в том числе.
Но если переменные будут по (13), то уже НЕ ВСЕ m и n удовлетворяют этому правилу.
Т.е., если брать переменные в квадрате, четвёртой и т.д., то при $m-n=1$ или правило неверно, или переменные не могут быть
таковыми. Поскольку первое отпадает, остаётся второе.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.  [ Сообщений: 26 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group