2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 mn и (m+1)(n+1) -- квадраты
Сообщение14.01.2013, 14:35 
Аватара пользователя
Доказать, что существует бесконечно много пар натуральных чисел $(m, n)$, таких что $m\ne n$ и при этом $mn$ и $(m+1)(n+1)$ являются квадратами целых чисел.

 
 
 
 Re: mn и (m+1)(n+1) -- квадраты
Сообщение14.01.2013, 14:48 
Искать в виде $m=a^2$, $n=b^2$, решая затем уравнение Пелля.

 
 
 
 Re: mn и (m+1)(n+1) -- квадраты
Сообщение14.01.2013, 14:51 
Аватара пользователя
nnosipov в сообщении #671490 писал(а):
Искать в виде $m=a^2$, $n=b^2$, решая затем уравнение Пелля.

Не обязательно. Хотя, ход Ваших мыслей мне тоже нравится. Но вот представьте себе, что эту задачу задали в младших классах, в которых об уравнениях Пелля не слыхивали, зато знают ФСУ...

-- 14.01.2013, 15:05 --

(Оффтоп)

Иными словами,

Стоит статУя
В лучах заката,
А вместо Пелля
Торчит ФСУ!

 
 
 
 Re: mn и (m+1)(n+1) -- квадраты
Сообщение14.01.2013, 15:36 
Ktina в сообщении #671494 писал(а):
зато знают ФСУ...
У меня есть одно предположение, что бы это (ФСУ) могло значить. Но в любом случае ничего, кроме Пелля, я здесь не вижу. Сдаюсь.

 
 
 
 Re: mn и (m+1)(n+1) -- квадраты
Сообщение14.01.2013, 15:52 
Ktina

Вы имеете ввиду формулу сокращенного умножения?

 
 
 
 Re: mn и (m+1)(n+1) -- квадраты
Сообщение14.01.2013, 16:00 
Аватара пользователя
DjD USB в сообщении #671530 писал(а):
Ktina

Вы имеете ввиду формулу сокращенного умножения?

Да.

-- 14.01.2013, 16:01 --

nnosipov в сообщении #671516 писал(а):
У меня есть одно предположение, что бы это (ФСУ) могло значить. Но в любом случае ничего, кроме Пелля, я здесь не вижу. Сдаюсь.

Можно уже писать решение, или есть ещё желающие помыслить нестандартно?

 
 
 
 Re: mn и (m+1)(n+1) -- квадраты
Сообщение14.01.2013, 16:04 
Ktina в сообщении #671535 писал(а):
Можно уже писать решение, или есть ещё желающие помыслить нестандартно?
Кажется мне что будет сейчас рекурентная формула решенийй уравнения....Пелля.
Давайте

 
 
 
 Re: mn и (m+1)(n+1) -- квадраты
Сообщение14.01.2013, 16:08 
Аватара пользователя
Shadow в сообщении #671538 писал(а):
Кажется мне что будет сейчас рекурентная формула решенийй уравнения....Пелля.
Давайте

Я напишу решение, а Вы попробуйте догадаться, через какую ФСУ я к нему пришла.
$$m=k^2-1; n=(k^2-1)\cdot 4k^2$$

-- 14.01.2013, 16:09 --

Естественно, $k>1$ и натуральное.

 
 
 
 Re: mn и (m+1)(n+1) -- квадраты
Сообщение14.01.2013, 16:32 
Вот так фокус ... Сражён. Хотя нет, не сражён. Это тоже Пелль, но другой конструкции: ищем в виде $m=a$, $n=ab^2$.

 
 
 
 Re: mn и (m+1)(n+1) -- квадраты
Сообщение14.01.2013, 16:33 
Аватара пользователя
Если $n, m$ - решение, то решением будет и $(2n+1)^2-1, \;\; (2m+1)^2-1$

 
 
 
 Re: mn и (m+1)(n+1) -- квадраты
Сообщение14.01.2013, 16:42 
Аватара пользователя
nnosipov в сообщении #671547 писал(а):
Вот так фокус ... Сражён. Хотя нет, не сражён. Это тоже Пелль, но другой конструкции: ищем в виде $m=a$, $n=ab^2$.

Да, тоже Пелль. Но додуматься до этого решения можно, не зная, что это тоже Пелль.

-- 14.01.2013, 16:43 --

TOTAL в сообщении #671548 писал(а):
Если $n, m$ - решение, то решением будет и $(2n+1)^2-1, \;\; (2m+1)^2-1$

Гениально.

 
 
 
 Re: mn и (m+1)(n+1) -- квадраты
Сообщение14.01.2013, 16:49 
А откуда, кстати, задача?

 
 
 
 Re: mn и (m+1)(n+1) -- квадраты
Сообщение14.01.2013, 16:57 
Аватара пользователя
nnosipov в сообщении #671556 писал(а):
А откуда, кстати, задача?

http://math.kgsu.ru/or2003/t031012a.html
Только я решения там не нашла :-(

-- 14.01.2013, 16:58 --

Может, кому-нибудь известно официальное решение?

-- 14.01.2013, 16:59 --

Номер задачи 7

 
 
 
 Re: mn и (m+1)(n+1) -- квадраты
Сообщение14.01.2013, 17:11 
Ktina в сообщении #671558 писал(а):
http://math.kgsu.ru/or2003/t031012a.html
Спасибо, будем знать. Хотя, по-моему, сайт в некотором запустении, шансы найти официальное решение малы. Сюжет, конечно, не нов, но конкретно эта задача мне незнакома.

 
 
 
 Re: mn и (m+1)(n+1) -- квадраты
Сообщение19.01.2013, 12:16 
nnosipov, красивая задача, мне тоже понравилась

 
 
 [ Сообщений: 18 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group