2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Найдите уравнение по корню.
Сообщение13.01.2013, 20:54 
Аватара пользователя


13/04/10
152
Архангельская обл.
Найдите пожалуйста коэффициенты уравнения восьмой степени,
если известно что это целые числа и есть корень этого уравнения:
$x=-1-\sqrt{2}-\sqrt{4+2\sqrt{2}}+\sqrt{8+4\sqrt{2}+2\sqrt{20+14\sqrt{2}}}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Найдите уравнение по корню.
Сообщение13.01.2013, 21:30 
Заслуженный участник


27/04/09
28128

(Читерство. Но подозреваю, вам нужно не решение, а ответ.)

Wolfram Mathematica 8 писал(а):
Код:
In[1]  :=  MinimalPolynomial[-1 - Sqrt[2] - Sqrt[4 + 2 Sqrt[2]] + Sqrt[8 + 4 Sqrt[2] + 2 Sqrt[20 + 14 Sqrt[2]]], x]
Out[1] :=  1 - 8 x - 28 x^2 + 56 x^3 + 70 x^4 - 56 x^5 - 28 x^6 + 8 x^7 + x^8
:mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: Найдите уравнение по корню.
Сообщение13.01.2013, 21:50 
Аватара пользователя


13/04/10
152
Архангельская обл.
arseniiv в сообщении #671262 писал(а):

(Читерство. Но подозреваю, вам нужно не решение, а ответ.)

Wolfram Mathematica 8 писал(а):
Код:
In[1]  :=  MinimalPolynomial[-1 - Sqrt[2] - Sqrt[4 + 2 Sqrt[2]] + Sqrt[8 + 4 Sqrt[2] + 2 Sqrt[20 + 14 Sqrt[2]]], x]
Out[1] :=  1 - 8 x - 28 x^2 + 56 x^3 + 70 x^4 - 56 x^5 - 28 x^6 + 8 x^7 + x^8
:mrgreen:

Нет, почему же. Хорошо бы увидеть и решение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найдите уравнение по корню.
Сообщение13.01.2013, 23:16 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
В том и читерство — нет у меня решения, а только ответ.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найдите уравнение по корню.
Сообщение14.01.2013, 01:05 
Заслуженный участник


20/07/09
4026
МФТИ ФУПМ
Надо сделать гениальный трюк: "заметим, что наш корень есть $\tg\dfrac{\pi}{32}$".
Далее уже проще. Ну как проще - если заранее знаешь ответ, то можно подогнать решение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найдите уравнение по корню.
Сообщение14.01.2013, 04:05 
Аватара пользователя


13/04/10
152
Архангельская обл.
Nemiroff в сообщении #671345 писал(а):
Надо сделать гениальный трюк: "заметим, что наш корень есть $\tg\dfrac{\pi}{32}$".
Далее уже проще. Ну как проще - если заранее знаешь ответ, то можно подогнать решение.

Не нашел формулы для тангенса восьмикратного угла. Пришлось выводить:
$\tg \left(8a \right)=\frac{8\tg a-56\tg^3 a+56\tg^5 a-8\tg^7 a}{1-28\tg^2 a+70\tg^4 a-28\tg^6 a+\tg^8 a}$
если Вы имеете ввиду эту формулу, то за догадку спасибо, но хотелось бы такое решение которое не зависит от этого.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найдите уравнение по корню.
Сообщение14.01.2013, 05:55 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Vvp_57 в сообщении #671365 писал(а):
... но хотелось бы такое решение которое не зависит от этого.
Решение чего? Если этой задачи:
Vvp_57 в сообщении #671248 писал(а):
Найдите пожалуйста коэффициенты уравнения восьмой степени,если известно что это целые числа и есть корень этого уравнения: ...
то это делается стандартным способом. Как олимпиадная задача она интереса не представляет. Это обычная учебная задача.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найдите уравнение по корню.
Сообщение16.01.2013, 00:28 


26/11/09
34
Обозначим $1+\sqrt2=a$, тогда $3+2\sqrt2=a^2$, $4+2\sqrt2=a^2+1$, $20+14\sqrt2=a^2(a^2+1)$ и $x=-a-\sqrt{a^2+1}+\sqrt{2a^2+2+2a\sqrt{a^2+1}}$ - один из корней уравнения $x^2+2(a+\sqrt{a^2+1})x-1=0$. Далее, $x^2+2ax-1=-2\sqrt{a^2+1}x$ возводим в квадрат, и $x$ - один из корней уравнения $x^4+4ax^3-6x^2-4ax+1=0$. Далее, $x^4+4x^3-6x^2-4x+1=-4\sqrt2x(x^2-1)$ возводим в квадрат, и $x$ - один из корней уравнения $x^8+8x^7-28x^6-56x^5+70x^4+56x^3-28x^2-8x+1=0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найдите уравнение по корню.
Сообщение16.01.2013, 19:10 
Аватара пользователя


13/04/10
152
Архангельская обл.
vmg
Большое спасибо!
Мне удалось дойти до уравнения $x^2+2(1+\sqrt2+\sqrt{4+2\sqrt2})x-1=0$, но что делать дальше,
как найти еще три таких же уравнения? Теперь все ясно! Попробую на других уравнениях, у меня их очень много, и степенью больше.
Это уравнение выбрал из-за того что числа не большие.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group