Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
Автор Сообщение
 Не в сети
 Корни полинома с рациональными коэффициентами.
Сообщение08.01.2013, 14:28 
111
Появился: 12/03/11
Сообщения: 327
Существует ли способ нахождения корней полинома с рациональными (целыми) коэффициентами?
Возможно, они должны принадлежать какому-то еще более узкому множеству...
Интересуют, именно точные методы.

 Профиль  
                  
 Не в сети
 Re: Корни полинома с рациональными коэффициентами.
Сообщение08.01.2013, 14:37 
Заслуженный участник
51
Появился: 27/06/08
Сообщения: 2397
Откуда: Волгоград
DLL в сообщении #668783 писал(а):
Существует ли способ нахождения корней полинома с рациональными (целыми) коэффициентами?
Точные методы существуют только для полиномов степени не выше четвертой (или специального вида).
Цитата:
Возможно, они должны принадлежать какому-то еще более узкому множеству...
Интересуют, именно точные методы.
С нахождением рациональных корней проблем нет. Это должны быть дроби, числитель которых делит свободный член полинома, а знаменатель - его старший коэффициент (предполагается, что полином имеет целые, взаимно простые в совокупности коэффициенты).

Не сложно найти также корни исходного полинома, являющиеся корнями его множителей, имеющих степень не выше 4-й, при разложении исходного полинома над полем $\mathbb Q$.

 Профиль  
                  
 Не в сети
 Re: Корни полинома с рациональными коэффициентами.
Сообщение08.01.2013, 15:07 
Заслуженный участник
11
Появился: 09/01/12
Сообщения: 866
VAL в сообщении #668788 писал(а):
Точные методы существуют только для полиномов степени не выше четвертой (или специального вида).

Почему? Для полиномов степени не выше четвертой корни выражаются в радикалах. Чем это точнее тета-функций, с помощью которых выражаются корни полиномов пятой степени?

 Профиль  
                  
 Не в сети
 Re: Корни полинома с рациональными коэффициентами.
Сообщение08.01.2013, 15:46 
Заслуженный участник
51
Появился: 27/06/08
Сообщения: 2397
Откуда: Волгоград
apriv в сообщении #668805 писал(а):
VAL в сообщении #668788 писал(а):
Точные методы существуют только для полиномов степени не выше четвертой (или специального вида).

Почему? Для полиномов степени не выше четвертой корни выражаются в радикалах. Чем это точнее тета-функций, с помощью которых выражаются корни полиномов пятой степени?
Примерно тем же, чем интеграл, выраженный через элементарных функциях, лучше выраженного в специальных.
Иными словами, я согласен, что не лучше. Скорее, традиционнее.
А что касается "точнее". Полагаю, ответ выраженный в радикалах, имеет абсолютную точность и в этом смысле не может быть улучшен.

В общем, надо поинтересоваться, какая форма представления корней приемлима для ТС

 Профиль  
                  
 Не в сети
 Re: Корни полинома с рациональными коэффициентами.
Сообщение08.01.2013, 15:54 
Заслуженный участник
11
Появился: 09/01/12
Сообщения: 866
VAL в сообщении #668828 писал(а):
Примерно тем же, чем интеграл, выраженный через элементарных функциях, лучше выраженного в специальных.

Я еще понимал, что такое «радикал», а вот что такое «элементарная функция», совершенно непонятно (у этого термина вроде бы нет общепринятого определения).
Цитата:
А что касается "точнее". Полагаю, ответ выраженный в радикалах, имеет абсолютную точность и в этом смысле не может быть улучшен.

А что означает «абсолютную точность»? Казалось бы, и для радикалов, и для тета-функций есть какие-то ряды, которые позволяют их вычислять; есть всякие красивые соотношение между ними, и т. д.

 Профиль  
                  
 Не в сети
 Re: Корни полинома с рациональными коэффициентами.
Сообщение08.01.2013, 17:35 
Заслуженный участник
51
Появился: 27/06/08
Сообщения: 2397
Откуда: Волгоград
apriv в сообщении #668831 писал(а):
А что означает «абсолютную точность»?
Отсутствие округления.
Цитата:
Казалось бы, и для радикалов, и для тета-функций есть какие-то ряды, которые позволяют их вычислять; есть всякие красивые соотношение между ними, и т. д.
Еще раз. Не вижу предмета для спора. Просто сначала необходимо договориться какая-именно форма представления корней является приемлимой.
Например, выражение "наименьший вещественный корень полинома $x^9-6x^8+x^5-3x-1$" тоже является формой представления вполне конкретного корня данного полинома. Причем с абсолютной точностью. Но для многих конкретных нужд такое представление будет неудовлетворительным.

 Профиль  
                  
 В сети
 Re: Корни полинома с рациональными коэффициентами.
Сообщение08.01.2013, 19:44 
Заслуженный участник
111
Появился: 20/12/10
Сообщения: 4788
VAL в сообщении #668788 писал(а):
С нахождением рациональных корней проблем нет. Это должны быть дроби, числитель которых делит свободный член полинома, а знаменатель - его старший коэффициент (предполагается, что полином имеет целые, взаимно простые в совокупности коэффициенты).
Это так, если коэффициенты многочлена не слишком велики. А иначе что-то вроде алгоритма Берлекэмпа должно работать.

 Профиль  
                  
 Не в сети
 Re: Корни полинома с рациональными коэффициентами.
Сообщение08.01.2013, 20:01 
Заслуженный участник
51
Появился: 27/06/08
Сообщения: 2397
Откуда: Волгоград
nnosipov в сообщении #668923 писал(а):
VAL в сообщении #668788 писал(а):
С нахождением рациональных корней проблем нет. Это должны быть дроби, числитель которых делит свободный член полинома, а знаменатель - его старший коэффициент (предполагается, что полином имеет целые, взаимно простые в совокупности коэффициенты).
Это так, если коэффициенты многочлена не слишком велики. А иначе что-то вроде алгоритма Берлекэмпа должно работать.
Ну, аглоритм Берлекэмпа (в сочетании с гензелевским подъемом) уместно применять для более общей задачи факторизации полинома над $\mathbb Q$. А если нужны только корни, а кандидатов слишком много, вполне можно ограничиться ситом по нескольким модулям.

 Профиль  
                  
 Не в сети
 Re: Корни полинома с рациональными коэффициентами.
Сообщение11.01.2013, 13:50 
111
Появился: 12/03/11
Сообщения: 327
Цитата:
Это так, если коэффициенты многочлена не слишком велики. А иначе что-то вроде алгоритма Берлекэмпа должно работать.

Это я так понимаю, речь идет о разложении полинома на неприводимые над полем $\mathbb Q$?

 Профиль  
                  
 Не в сети
 Re: Корни полинома с рациональными коэффициентами.
Сообщение11.01.2013, 14:23 
Заслуженный участник
51
Появился: 27/06/08
Сообщения: 2397
Откуда: Волгоград
DLL в сообщении #670236 писал(а):
Цитата:
Это так, если коэффициенты многочлена не слишком велики. А иначе что-то вроде алгоритма Берлекэмпа должно работать.

Это я так понимаю, речь идет о разложении полинома на неприводимые над полем $\mathbb Q$?
Изначально речь шла о нахождении корней.
А потом (воспользовавшись отсутствием топикстартера) каждый заговорил о наболевшем :-)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group