2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Редукция динамической системы
Сообщение15.03.2007, 14:26 


15/03/07
3
имеется система ДУ вида
p' = A p^2 +B q^2
q' = C pq

где p = p(t), q = q(t); A, B, C - константы. Известно, что p и q существуют на интервале 0,T

необходимо получить (из этой ДС) некоторое ДУ относительно отношения f = p/q вида

(*) f' = F(f).

Ситуация такая - в одной умной книжке берут систему, которую я написал, потом говорят
"integrating once the dynamic system we obtain ... " - выписывают уравнение типа (*). Видимо, есть какой-то метод такого решения не до конца, интегрируют от нуля до T, наверно...

Короче, мне надо разобраться, как это (*) получается. Крутил, крутил, ничего не придумал, мало опыта работы с ДС.

Спасибо заранее всем, кто откликнется.

[/math]

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение15.03.2007, 15:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Хм... Получить уравнение относительно отношения $f=\frac pq$ нетрудно: делим первое уравнение на второе и получаем однородное дифференциальное уравнение первого порядка:
$$\frac{dp}{dq}=\frac{Ap^2+Bq^2}{Cpq}\text{.}$$
Далее полагаем $p=qf$, $\frac{dp}{dq}=f+q\frac{df}{dq}$, и получаем уравнение
$$f+q\frac{df}{dq}=\frac ACf+\frac BC\frac 1f\text{,}$$
или, после упрощения, уравнение с разделяющимися переменными
$$q\frac{df}{dq}=\frac{(A-C)f^2+B}{Cf}\text{.}$$
Но это, кажется, не совсем то, что нужно?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение15.03.2007, 16:05 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Можно было интегрировать до конца заменой $q=e^t.$ Это даёт
(A-C)f^2+B=Dq^{2(A-C)/C}.$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение15.03.2007, 16:51 


15/03/07
3
To Someone
да, не совсем то - хотелось бы получить
зависмость f от t, а не от q

To Руст
немного странная замена q = e^t. Получается, что я предполагаю наличие такого решения.
А q(t) должно существовать конечное время (blow-up)
Вы не ошиблись?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение15.03.2007, 17:01 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
На это можно не обращать внимания, имелось ввиду ввести новую переменную ln(q) (у вас t имелось, значит можно чем то другим обозначать). Но при интегрировании, всё равно пришлось вернутся к q, поэтому эта переменная не понадобилась.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение15.03.2007, 20:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
У Руста переменная $t$ - это совсем не то же самое, что $t$ у Вас. Эта замена, собственно говоря, и не нужна. Разделяя переменные в последнем уравнении, получим
$$\frac{Cfdf}{(A-C)f^2+B}=\frac{dq}q\text{.}$$
Если $C=A$, то уравнение имеет общее решение
$$Cf^2=B\ln q^2+D\text{,}$$
где $D$ - произвольное число. Умножая на $q^2$, получим
$$Cp^2=q^2(B\ln q^2+D)\text{.}$$
Если $C\neq A$, то уравнение имеет общее решение
$$(A-C)f^2+B=D|q|^{\frac{2(A-C)}C}\text{,}$$
или, после умножения на $q^2$,
$$(A-C)p^2+Bq^2=D|q|^{\frac{2A}C}\text{.}$$

Этого достаточно, чтобы нарисовать фазовый портрет.

Добавлено спустя 2 часа 24 минуты 55 секунд:

Возможен другой подход. Из Ваших уравнений получаем
$$f'=\left(\frac pq\right)'=\frac{p'q-pq'}{q^2}=\frac{(A-C)p^2+Bq^2}q\text{,}$$
или, после деления на $q$ и введения новой переменной по формуле $d\tau=qdt$, $\tau|_{t=0}=0$,
$$\frac{df}{d\tau}=(A-C)f^2+B\text{.}$$
1) Если $A=C$, то общее решение
$$f=B\tau+D\text{.}$$
2) Если $B=0$, то общее решение
$$f=\frac D{1+D(C-A)\tau}\text{.}$$
3) Если $\frac B{A-C}>0$, то общее решение
$$f=\sqrt{\frac B{A-C}}\tg\left(\sqrt{\frac B{A-C}}(A-C)\tau+D\right)\text{.}$$
4) Если $\frac B{A-C}<0$, то общее решение
$$f=\sqrt{\frac B{C-A}}\frac{e^{\sqrt{\frac B{C-A}}(C-A)\tau}+De^{-\sqrt{\frac B{C-A}}(C-A)\tau}}{e^{\sqrt{\frac B{C-A}}(C-A)\tau}-De^{-\sqrt{\frac B{C-A}}(C-A)\tau}}\text{,}$$ и ещё есть частное решение $$f=-\sqrt{\frac B{C-A}}\text{.}$$
Во всех случаях константа $D$ определяется из начальных условий.

Из второго Вашего уравнения после деления на $q^2$ получается уравнение
$$\frac 1q\frac{dq}{d\tau}=f\text{,}$$
откуда определяется
$$q=Ee^{\int_0^{\tau}f(\tau)d\tau}$$
(константа $E$ определяется из начальных условий). Во всех случаях интеграл легко выражается через элементарные функции, но я уж не буду всё это выписывать.

Наконец, осталось определить $t$ по формуле
$$t=\int_0^{\tau}\frac{d\tau}{q(\tau)}\text{.}$$

Решение получается, таким образом, в параметрической форме. Из него можно найти всё, что потребуется.

А что за уравнение написано в той "умной книжке"?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение15.03.2007, 22:12 


15/03/07
3
Спасибо за такие подробные ответы и интерес к теме.
Собственно, мне требуется только доказать, что $ f < 1$
при условиях $f(0)=f(T)=1$

To Someone
система там такая

$\dot p = \frac{1}{4}(2p^2+q^2); $
$\dot q = \frac{3}{4}pq$

уравнение для $f=\frac{p}{q}$:
$ \dot f = \frac{1}{2}D_0(1-f^2)^{-0.5} ,$
$t \in (0,T),$
$f(0)=f(T)=1$,
где
$D_0 = \frac{2}{T}B(\frac{3}{2},\frac{1}{2})$

где B - бета-функция. Откуда она берётся - ума не приложу.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение16.03.2007, 14:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Ага. Как получить уравнение, я понял: из уравнения
$$(A-C)f^2+B=D|q|^{\frac{2(A-C)}C}\text{,}$$
находим
$$q=\pm\left(\frac{(A-C)f^2+B}D\right)^{\frac C{2(A-C)}}\text{;}$$
подставляя это выражение в
$$f'=\frac{(A-C)p^2+Bq^2}q=q((A-C)f^2+B)=Dq\frac{(A-C)f^2+B}D\text{,}$$
получим
$$f'=\pm D\left(\frac{(A-C)f^2+B}D\right)^{\frac{2A-C}{2(A-C)}}$$
(в этом уравнении нужно взять знак "$+$" при $q>0$ и знак "$-$" при $q<0$).
В Вашем случае $A=\frac 12$, $B=\frac 14$, $C=\frac 34$, так что получается
$$f'=\begin{cases}\pm 2D^{\frac 32}(1-f^2)^{-\frac 12}\text{ при }D>0\text{,}\\ \mp 2(-D)^{\frac 32}(f^2-1)^{-\frac 12}\text{ при }D<0\text{.}\end{cases}$$
Из сравнения с тем, что Вы написали, следует, что $D>0$, $D_0=4D^{\frac 32}$, $q>0$. Откуда берётся $B\left(\frac 32,\frac 12\right)=\frac{\pi}2$, мне непонятно.
Однако указанные там граничные условия выглядят очень странно: решение этого уравнения имеет вид
$$f\sqrt{1-f^2}+\arcsin f=D_0t+D_1\text{,}$$
и $f$ не может принимать одинаковые значения в различные моменты времени (впрочем, это следует уже из того, что производная $f$ положительна при всех $t\in(0,T)$). Так что либо там написана какая-то глупость, либо Вы что-то не так поняли.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение17.03.2007, 15:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Сам плохо подумал. Надо было особые случаи рассмотреть. Эти мои рассуждения хороши при $D\neq 0$, а при $D=0$ эти преобразования не получаются. Зато при $D=0$ для определения $f$ получаем уравнение $(A-C)f^2+B=0$; если $A-C\neq 0$ и $\frac B{A-C}<0$, то получаем постоянные решения $f=\pm\sqrt{\frac B{C-A}}$. В частности, в Вашем случае это решения $f=\pm 1$. Они не удовлетворяют уравнению $f'=\frac{D_0}{2\sqrt{1-f^2}}$ и не могут быть из него получены, так как теряются в процессе вывода этого уравнения.

Из этого следует, что если $f(0)=1$, то $f(t)=1$ при всех $t$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group