Теория вероятностей

[max(Im)]

Решается такая задача с несимметричной монетой. Несимметричность ее заключается в том, что либо орел выпадает не менее, чем в два раза чаще решки, либо наоборот (оба варианта априорно равновероятны). Взяли, значит, эту монетку и кинули 10 раз, 7 раз выпал орёл. Надо найти апостериорную вероятность того, что орёл выпадает не менее, чем в два раза чаще решки.
Как я делаю по указанию задачи:
Пусть $p$ -- вероятность выпадения орла. Рассмотрим два события:

$$ A = \{p \in R[0,1/3]\} \text{ и } \overline{A} = \{p \in R[2/3,1]\}, $$

по условию $P(A)=P(\overline{A})= 1/2.$ Пусть $\xi$ -- число орлов в проведенном эксперименте в 10 бросаниях. Эта случайная величина имеет биномиальное распределение с параметрами $10$ и $p.$ Надо найти $P(\overline{A}\,|\,\xi = 7).$
По формуле Байеса:

$$ P(\overline{A}\,|\,\xi = 7)=\dfrac{P(\xi=7\,|\,\overline{A})\cdot P(\overline{A})}{P(\xi=7\,|\,\overline{A})\cdot P(\overline{A})+P(\xi=7\,|\,{A})\cdot P({A})}. $$

В указании написано: Заметим, что

$$ P(\xi = 7 \,|\, \overline{A}) = \int\limits_{2/3}^1 P(\xi = 7\,|\,p) P(dp\,|\,\overline{A}) = 3\int\limits_{2/3}^1 P(\xi = 7\,|\,p) dp $$

Что такое $P(\xi = 7\,|\,p)$ -- я вроде понимаю -- вероятность 7 орлов при условии их выпадения с вероятностью $p.$ А вот что такое $P(dp\,|\,\overline{A})$ ? Понятно, что тут интеграл по всем возможным $p,$ и что-то вроде формулы полной вероятности. Но откуда берется тройка?

[--mS--]

Тройка - плотность равномерного распределения на отрезке $[2/3,\,1]$.