2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Пара вопросов по книге S. Ramanan "Global Calculus"
Сообщение19.12.2012, 21:40 
Аватара пользователя


04/12/10
115
Добрый вечер. Надеюсь, пишу в подходящий раздел. Помогите понять пару мест в упомянутой книге.

1. В разделе про дифференциальные операторы высших порядков вводится connection algebra как фактор тензорной алгебры пространства дифференциальных операторов первого порядка $T(\mathcal D^1)$ по идеалу, порождённому $m(1) - 1$.

И вот тут-то у меня и затык -- я не понимаю, что означает вторая 1. $m(f)$ -- обозначение дифференциального оператора, полученного из функции f -- т.е. просто вложение пространства функций в пространство дифференциальных операторов. Так что $m(1)$ -- просто умножение на 1. А что такое вторая 1?

Гугление по "connection algebra" нашло лишь вики, основанною на той же книжке. И там, соответственно, та же непонятность. Вот, если что, страница про эту алгебру: http://diffgeom.subwiki.org/wiki/Connection_algebra

2. В начале раздела о связностях в векторных расслоениях пишут точную последовательность

$0 \rightarrow \mathcal A \rightarrow \mathcal D^1 \rightarrow \mathcal T \rightarrow 0$,

где $\mathcal A, \mathcal D^1, \mathcal T$ -- пучки гладких функций, дифференциальных операторов первого порядка, векторных полей на многообразии, соответственно. А потом пишут точную последовательность, которую я не понимаю:

$0 \rightarrow Hom(\mathcal E, \mathcal A) \rightarrow \mathcal D^1(\mathcal E, \mathcal A) \rightarrow \mathcal Hom(\mathcal E, \mathcal T) \rightarrow 0$,

где $\mathcal E$ -- предположительно, пучок гладких сечений некоторого векторного расслоения,
а $D^1(\mathcal E, \mathcal A) = Hom(\mathcal E, \mathcal D^1)$.

Потом говорится, что связность -- это задание расщепления этой последовательности. Что в первой последовательности $\mathcal D^1$ канонически распадалась на $\mathcal A$ и $\mathcal T$, а во втором случае распадается, но не канонически.

Собственно, что такое $Hom(\mathcal E, \mathcal A)$? "Как слышится, так и пишется" -- "поточечная(в точках базы) функция" на сечениях векторного расслоения? Немного смущает, что такой гомоморфизм не кажется самой естественной конструкцией. Пусть, например, наше векторное расслоение $E = T S^2$. Где в народном хозяйстве используются $Hom(\mathcal E, \mathcal A)$?

Интуитивно ясно, что если научиться строить по сечению расслоения сечение касательного расслоения базы(собственно, $Hom(\mathcal E, \mathcal T)$), это будет похоже на задание связности как горизонтальных пространств. Но что-то не получается этот шаг понимания сделать. Не проясните?

 Профиль  
                  
 
 Re: Пара вопросов по книге S. Ramanan "Global Calculus"
Сообщение20.12.2012, 03:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
В первом случае, как я понял, 1 --- это единица в тензорной алгебре пространства $\mathcal D_1$. А $m(1)$ --- просто элемент пространства $D_1$. Т. е. до факторизации $1$, $m(1)$, $m(1)\otimes m(1)$ и т. д. --- разные элементы, а хочется, чтобы были одинаковыми.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пара вопросов по книге S. Ramanan "Global Calculus"
Сообщение20.12.2012, 06:15 
Аватара пользователя


04/12/10
115
g______d,
Точно! Спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение20.12.2012, 06:36 
Супермодератор
Аватара пользователя


20/11/12
5728
 i  Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Перенёс в соответствующий раздел

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group