n-е простое число

[RIP]

Пусть $p_n$ - $n$-е простое число, $P_n=p_1p_2\ldots p_n$. Тогда

$$p_{n+1}=-\biggl\lfloor\log_2\biggl(\sum_{d|P_n}\frac{\mu(d)}{2^d-1}-\frac12\biggr)\biggr\rfloor.$$

[Руст]

Забавная формула. Только надо менять знак под логарифмом.

$$p_{n+1}=-\biggl\lfloor\log_2\biggl(\sum_{d|P_n}\frac 12 -\frac{\mu(d)}{2^d-1}\biggr)\biggr\rfloor.$$

Доказывается легко разложением $\frac{1}{2^d-1}=\sum_{k=1}^{\infty }2^{-kd}$.

[RIP]

Формула верная, $1/2$ не суммируется.

[Руст]

Да. Я ошибся, считая что при d=1 1/(2-1)=1/2. соответственно получается степенью x=1/2 коэффициент $\sum_n x^m \sum_{d|m, d\le p_n}\mu (d)$. Поэтому первый коэффициент для которого коэффициент отлично от нуля это m=p(n+1).