2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Дополнение к основным правилам форума:
Любые попытки доказательства сначала должны быть явно выписаны для случая n=3



Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней. На страницу 1, 2  След.
 
 Доказательство теоремы Ферма для степени три
Сообщение08.12.2012, 11:47 


14/11/12
23
Доказательство теоремы Ферма для степени три

1. Рассмотрим уравнение:

$x^3+y^3=z^3. \qquad$ (1)
Теорема Ферма: уравнение (1) не имеет решений в целых числах.
Рассмотрим уравнение (1) при условии $(x, y, z)$ целые положительные числа:
$0<x<y<z. \qquad$ (2)
Пусть $x=A, \qquad A$ - целое число. Уравнение (1) запишем в виде:
$z^3-y^3=A^3, \qquad z>y>A. \qquad$ (3)
Целое число $A^3$ представим в виде разложения на целочисленные множители:
$A^3=V \cdot U, \qquad U>V \geq 1. \qquad$ (4)
$(V, U)$ - целочисленные множители, на которые можно разложить целое число $A^3$ при условии $U>V \geq 1.$ С учётом (2) и (4), уравнение (3) можно представить в виде системы двух уравнений:
$z-y=V, \qquad$ (5)
$z^2+zy+y^2=U. \qquad$ (6)
С учётом (5), уравнение (3) примет вид:
$(V+y)^3-y^3=A^3. \qquad$ (7)
Для уравнения (3) справедливо условие
$z<A+y. \qquad$ (8)
С учётом (5), неравенство (8) есть
$A>V. \qquad$ (9)
При условии $V \geq A$, уравнение (7) не имеет решений в целых числах $(y, V, A)$.
Итак, для уравнения (7), имеем следующие условия:
$(V+y)>A, \qquad y>A>V. \qquad$ (10)
В уравнении (7), $(V, A)$ - целые числа одной чётности, по определению.

2. При условии $V=1$, уравнение (7) имеет вид:

$(1+y)^3-y^3=A^3, \qquad y>A \geq 3. \qquad$ (11)
$A$ - нечётное число, по определению. Уравнение (11) не имеет решения в целых числах $(y, A)$.
При условии $V=2$, уравнение (7) имеет вид:
$(2+y)^3-y^3=B^3, \qquad y>B \geq 2. \qquad$ (12)
$B$ - чётное число, по определению. Представим чётное число $B$ в общем виде:
$B=2^N \cdot A, \qquad N \geq 1, \qquad$ (13)
$A$ - нечётное число, $A \geq 1$.
С учётом (13) и при условии $y=2m, \qquad m \geq 1$, уравнение (12) есть:
$(1+m)^3-m^3=2^{3(N-1)} \cdot A^3. \qquad$ (14)
При условии $N=1$, уравнение (14) принимает вид (11): $m=y, \qquad m>A \geq 3$.
При условии $N \geq 2$, равенство (14) невыполнимо, левая часть равенства -нечётное число.
С учётом (13) и при условии $y=2m-1, \qquad m \geq 1$, уравнение (12) есть:
$(2m+1)^3-(2m-1)^3=2^{3N} \cdot A^3. \qquad$ (15)
Равенство (15) преобразуем к виду:
$12m^2+1=2^{3N-1} \cdot A^3. \qquad$ (16)
Для целых чисел $(m, A)$, равенство (16) невыполнимо, левая часть равенства - нечётное число.

3. Рассмотрим уравнение (7) при условии $V \geq 3$.

С учётом (4), представим уравнение (7) в виде:
$V^2+3yV-(U-3y^2)=0, \qquad y>A>V \geq 3. \qquad$ (17)
При условии $U>3y^2, \qquad (A>3V)$, уравнение (17) имеет одно положительное решение:
$2V= \sqrt{4U-3y^2}-3y. \qquad$ (18)
Решение (18) для $2V$ есть целое число при условии:
$4U-3y^2=9d^2, \qquad$ (19)
$d$ - целое число.
С учётом (19), решение (18) имеет вид:
$2V=3(d-y), \qquad d>y. \qquad$ (20)
Согласно (20), $(d, y)$ целые числа одной чётности.
При условии $d>y$, для целых чисел $(d, y)$, имеет место равенство:
$d=y+2k, \qquad k \geq 1. \qquad$ (21)
С учётом (21), решение (20) принимает вид:
$V=3k, \qquad k \geq 1, \qquad$ (22)
$(k, V)$ - целые числа одной чётности.
С учётом (21), равенство (19) имеет вид:
$U=3(d^2-k \cdot d+k^2), \qquad d>k \geq 1. \qquad$ (23)
С учётом (4) и (22), запишем (23) в виде:
$n^3-m \cdot n^2+m^{2} \cdot n-3A^3=0, \qquad$ (24)
$n=3k, \qquad m=3d. \qquad$ (25)
В уравнении (24), введем новую переменную
$t=n- \frac{m}{3}. \qquad$ (26)
С учётом (26), уравнение (24) принимает вид:
$t^3+3p \cdot t+2q=0, \qquad$ (27)

$p=2(\frac{m}{3})^2, \qquad 2q=7(\frac{m}{3})^3-3A^3. \qquad$ (28)

С учётом (25), выражения (26) и (28) имеют вид:
$t=3k-d, \qquad$ (29)
$p=2d^2, \qquad 2q=7d^3-3A^3. \qquad$ (30)
Согласно (10) и (21), справедливо неравенство $d>y>A$.
Согласно (30), $p>0, \qquad q>0$. Число действительных решений уравнения (27) зависит от знака дискриминанта $D=q^2+p^3$. Так как $D>0$, то уравнение (27) имеет одно действительное решение и два мнимых (мнимые решения не рассматриваем). Для решения уравнения (27) применим формулы Кардана [1]. В результате действительное решение уравнения (27) равно:

$t=(\frac{1}{2})^{1/3} \cdot ((r-s)^{1/3}-(r+s)^{1/3}), \qquad$ (31)

$r=\sqrt{s^2+32d^6}, \qquad$ (32)

$s=7d^3-3A^3, \qquad d>A. \qquad$ (33)

С учётом (21), (29) и (31), решение уравнения (7) для $y$ равно:

$y=d+ \sqrt[3]{4} \cdot ((r+s)^{1/3}-(r-s)^{1/3}), \qquad$ (34)

Согласно (32), для целых чисел $(s, d), \qquad r$ или целое число, или иррациональная величина.

4. Запишем (32) в виде:

$s^2+2u^2=r^2, \qquad u=4d^3. \qquad$ (35)
Так как $d>A$, то для (35) справедливо неравенство $r>s>u$. При условии $r=m \cdot u, \qquad s=n \cdot u$, равенство (35) имеет вид:
$m^2-n^2=2, \qquad m>n \geq 1.$
Для целых чисел $(m, n)$, данное равенство невыполнимо. В этом случае, $(s^2+2u^2)$ не является полным квадратом целого числа. Следовательно, $r$ иррациональное число и решение (34) для $y$ не является целым числом.
Если $(s, u, r)$ взаимно простые числа и $(s, r)$ нечётные числа, то решения уравнения (35) есть:
$s= \pm (a^2-2b^2), \qquad u=a \cdot b, \qquad r=a^2+2b^2. \qquad$ (36)
$(a, b)$ - положительные, взаимно простые числа; $a$ - нечётное число, $s$ - положительное число.
Формулы (36) дают все решения в целых положительных и взаимно простых числах $(s, u, r)$, [2].
Согласно (33), если $(d, A)$ целые числа разной чётности, то $s$ - нечётное число.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство теоремы Ферма для степени три
Сообщение08.12.2012, 12:18 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
gennady в сообщении #655756 писал(а):
2. При условии $V=1$, уравнение (7) имеет вид:

$(1+y)^3-y^3=A^3, \qquad y>A \geq 3. \qquad$ (11)
$A$ - нечётное число, по определению. Уравнение (11) не имеет решения в целых числах $(y, A)$.
А где доказательство того, что уравнение (11) не имеет решений? Вы полагаете, это очевидно? На самом деле, это доказать ничуть не проще, чем доказать ВТФ для $n=3$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство теоремы Ферма для степени три
Сообщение08.12.2012, 13:47 


14/11/12
23
Продолжение темы.

5. $d$ - нечётное число, $A$ - чётное число.

Согласно (33), (35) и (36), числа $(a, b)$ равны:

$a \cdot b=2d^3, \qquad a=d^3, \qquad b=2. \qquad$ (37)

Так как $d>A>V \geq 3$, то $a>b$. С учётом (36) и (37), числа $(s, r)$ равны:

$s=d^6-8, \qquad r=d^6+8. \qquad$ (38)

С учётом (38), решение (34) имеет вид:

$3y=2d^2+d-4. \qquad$ (39)

Согласно (39), $y$ целое число при условии

$d=3A, \qquad$ (40)

Кроме того, должно выполняться хотя бы одно из неравенств:

$d-4=3A_2, \qquad d^2-2=3A_3. \qquad$ (41)

$(A_1, A_2, A_3)$ - нечётные числа.
С учётом (40), равенства (41) примут вид:

$3(A_1-A_2)=4, \qquad 3(3A_1^{2}-A_3)=2. \qquad$ (42)

Для нечётных чисел $(A_1, A_2, A_3)$ справедливы равенства:

$A_1-A_2=2m, \qquad 3A_1^{2}-A_3=2n. \qquad$ (43)

С учётом (43), равенства (42) имеют вид: $3m=2, \qquad 3n=1$. Для целых чисел $(m, n)$ данные равенства невыполнимы. Итак, если $d$ нечётное число, то согласно (34) и (39), решение для $y$ не является целым числом.
С учётом (33) и (38), получим уравнение для нечётного числа $d$:

$d^6-7d^3+(3A^3-8)=0. \qquad$ (44)

Уравнение (44) имеет решения:

$2d^3=7 \pm \sqrt{81-12A^3}. \qquad$ (45)

Так как $A>V \geq 3$, то $12A^3>81$. Следовательно, уравнение (44) не имеет вещественных решений. Итак, $d$ не может быть нечётным числом.

6. $d$ - чётное число, $A$ - нечётное число.
Чётное число $d$ представим в общем виде:

$d=2^{N} \cdot A_o, \qquad N \geq 1, \qquad A_o \geq 3. \qquad$ (46)
$A_o$ - нечётное число.
Согласно (33), (36) и (46), числа $(a, b)$ равны:

$a \cdot b=2^{3N+1} \cdot A_o^3, \qquad a=A_o^3, \qquad b=2^{3N+1}. \qquad$ (47)

С учётом (47), числа $(s, r)$ равны:

$s= \pm (A_o^6-2^{3(2N+1)}), \qquad r=(A_o^6+2^{3(N+1)}). \qquad$ (48)

А. При условии $a^2>2b^2$, решение (34) есть:

$3y=2A_o^2+2^{N} \cdot A_o-2^{2(N+1)}. \qquad$ (49)

Согласно (49), $y$ целое число при условии:

$A_o=3A_1. \qquad$ (50)

Кроме того, должно выполняться хотя бы одно из неравенств:

$A_o-2^{N+2}=3A_2, \qquad A_o^2-2^{2N+1}=3A_3. \qquad$ (51)

$(A_1, A_2, A_3)$ - нечётные числа. С учётом (50), равенства (51) примут вид:

$3(A_1-A_2)=2^{N+2}, \qquad 3(3A_1^2-A_3)=2^{2N+1}. \qquad$ (52)

Для нечётных чисел $(A_1, A_2, A_3)$ справедливы равенства:

$A_1-A_2=2m, \qquad 3A_1^2-A_1=2n. \qquad$ (53)

С учётом (53), равенства имеют вид:

$3m=2^{N+1}, \qquad 3n=2^{2N}. \qquad$ (54)

Для целых чисел $(m, n)$ равенства (54) невыполнимы. Итак, если $d$ чётное число, то согласно (34) и (49), решение для $y$ не является целым числом.
С учётом (33) и (48), получим уравнение для нечётного числа $A_o$:

$A_o^6-7 \cdot 2^{3N} \cdot A_o^3-(2^{3(2N+1)}-3A^3)=0. \qquad$ (55)

Уравнение (55) имеет решения:

$A_o^3=7R \pm \sqrt{81R^2-3A^3}, \qquad R=2^{3N-1}. \qquad$ (56)

При условии $A^3>27R^2$, уравнение (55) не имеет вещественных решений. При условии $32R^2>3A^3$, уравнение (55) имеет одно решение, а при условии $81R^2>3A^3>32R^2$, два положительных решения.

В. При условии $2b^2>a^2$, уравнения для $(y, A_o)$ имеют вид:

$3y=2^{2(N+1)}+2^{N} \cdot A_o-2A_o^2. \qquad$ (57)

$A_o^6+7 \cdot 2^{3N} \cdot A_o^3-(2^{3(2N+1)}+3A^3)=0. \qquad$ (58)

Для уравнения (57 должно выполняться условие (50). Кроме того, должно выполняться хотя бы одно из равенств:

$2^{N+2}+A_o=3A_2, \qquad 2^{2N+1}-A_o^2=3A_3. \qquad$ (59)

С учётом (50), равенства (59) примут вид:

$3(A_2-A_1)=2^{N+2}, \qquad 3(3A_1^2+A_3)=2^{2N+1}. \qquad$ (60)

Для нечётных чисел $(A_1, A_2, A_3)$ справедливы равенства:

$A_2-A_1=2m, \qquad 3A_1^2+A_3=2n. \qquad$ (61)

Для целых чисел $(m, n)$ равенства (62) невыполнимы. Итак, если $d$ чётное число, то согласно (34), (49) и (57), решение для $y$ также не является целым числом.
Уравнение (58) имеет одно положительное решение:

$A_o^3= \sqrt{81R^2+3A^3}-7R, \qquad R=2^{3N-1}. \qquad$ (63)

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство теоремы Ферма для степени три
Сообщение08.12.2012, 14:23 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
gennady в сообщении #655782 писал(а):
Продолжение темы.
Это неинтересно. Вы совершаете те же ошибки, что и в предыдущей своей теме. Ну, и новые дыры в Ваших рассуждениях появляются (см. мой пост выше). Вы их заделывать собираетесь?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство теоремы Ферма для степени три
Сообщение08.12.2012, 15:29 


14/11/12
23
P.S. Пропущенное выражение (62).

С учётом (61), равенства (60) имеют вид:

$3m=2^{N+1}, \qquad 3n=2^{2N}. \qquad$ (62)

Для целых чисел $(m, n)$ равенства (62) невыполнимы.

Продолжение темы.

7. Рассмотрим решения (56) и (63). Введем обозначения:

$P_{1,2}^2=R^2 \mp (\frac{A}{3})^3. \qquad$ (64)

Знак $(-)$ относится к $P_1$, знак $(+)$ относится к $P_2$.
Если $A=3C_{1,2}, \qquad (C_1, C_2)$ - нечётные числа, то $(P_{1}^2, P_{2}^2)$ целые числа. В этом случае, $(P_1, P_2)$ или целые числа, или иррациональные величины.
А. Рассмотрим уравнение

$R^2-P_{1}^2=C_{1}^2, \qquad R=2^{3N-1} \qquad$ (65)

$R$ чётное число, $(P_1,C_1)$ нечётные числа, $R>P_1, \qquad R>C_1, \qquad P_{1}^2 \neq C_{1}^3$.
Целое число $C_{1}^3$ представим в виде разложения на целочисленные множители:

$C_{1}^3=V_1 \cdot U_1, \qquad U_1>V_1 \geq 1. \qquad$ (66)

$(V_1, U_1)$ - целочисленные множители, на которые можно разложить целое число $C_{1}^3$, при условии $U_1>V_1 \geq 1$. $(V_1, U_1, C_1)$ - нечётные числа, по определению.
С учётом (66), уравнение (65) можно представить в виде системы двух уравнений [3]:

$R-P_1=V_1, \qquad R+P_1=U_1. \qquad$ (67)

Из уравнений (67), имеем решения:

$2R=U_1+V_1, \qquad 2P_1=U_1-V_1. \qquad$ (68)

Рассмотрим решение (68) для $R=2^{3N-1}$:

$V_1+U_1=2^{3N}. \qquad$ (69)

Так как $(V_1, U_1)$ нечётные числа, поэтому равенство (69) можно записать в виде:

$m+n+1=2^{3N-1}, \qquad m \geq 1, \qquad n \geq 1. \qquad$ (70)

В (70), $(m, n)$ целые числа разной чётности. Представим равенство (70) для $i$- го шага итерации:

$m_i+n_i+1=2^{3N-1-i}, \qquad i=(1,3N-2). \qquad$ (71)

Для шага итерации $i=3N-2$, равенство (71) имеет вид:

$m_{3N-2}+n_{3N-2}=1. \qquad$ (72)

Для целых чисел $(m_{3N-2}, n_{3N-2})$ равенство (72) невыполнимо. Следовательно, для нечётных чисел $(V_1, U_1)$, равенство (69) также невыполнимо.

В. Рассмотрим уравнение

$P_{2}^2-R^2=C_{2}^3 \qquad$ (73)

$(P_2, C_2)$ - нечётные числа, $P_2>R, \qquad R^2 \neq C_{2}^3$. Целое число $C_{2}^3$ представим в виде разложения (66):

$C_{2}^3=V_2 \cdot U_2, \qquad U_2>V_2 \geq 1. \qquad$ (74)

$(V_2, U_2, C_2)$ - нечётные числа.
С учётом (74), уравнение (73) имеет решения:

$2P_2=U_2+V_2, \qquad 2R=U_2-V_2. \qquad$ (75)

Рассмотрим решение (75) для $R=2^{3N-1}$:

$U_2-V_2=2^{3N}. \qquad$ (76)

Так как $(V_2, U_2)$ нечётные числа, то равенство (76) можно записать в виде:

$m-n=2^{3N-1}, \qquad m>n \geq 1. \qquad$ (77)

В (77), $(m, n)$ целые числа одной чётности. Представим равенство (77) для $i$- го шага итерации:

$m_i-n_i=2^{3N-1-i}, \qquad m_i>n_i \geq 1, \qquad i=(1,3N-1)$ (78)

$(m_i, n_i)$ целые числа одной чётности. Для шага итерации $i=3N-1$, равенство (78) имеет вид:

$m_{3N-1}-n_{3N-1}=1. \qquad$ (79)

Для целых чисел $(m_{3N-1}, n_{3N-1})$ равенство (79) невыполнимо. Следовательно, для нечётных чисел $(V_2, U_2)$, равенство (76) также невыполнимо.
Итак, $(P_1, P_2)$ не являются целыми числами. Согласно (65) и (73), $(P_{1}^2, P_{2}^2)$ целые числа. следовательно, $(P_1, P_2)$ иррациональные числа. Таким образом, согласно (56) и (63), $A_o$ иррациональное число.
Итак, для целых чисел $(d, A), r$ - иррациональное число. Следовательно, для целых чисел $(y, d, A)$, равенство (34) невыполнимо. Таким образом, уравнение (7) не имеет решения в целых числах $(y, V, A)$ , а уравнение (1) - в целых числах $(x, y, z)$.

1. Бронштейн И. Н., Семендяев Л. А. Справочник по математике, гл. 2.4., М., Наука 1986.
2. Гельфонд А. О. Решение уравнений в целых числах. М., Наука 1983.
3. Овчинников Г. И. Решение уравнения Пифагора в целых числах.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство теоремы Ферма для степени три
Сообщение08.12.2012, 15:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5903
Новосибирск
gennady, Ваши откровения никто не читает, так что Вы совершенно напрасно отмахиваетесь от nnosipovа, как от надоедливой мухи.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство теоремы Ферма для степени три
Сообщение08.12.2012, 17:56 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
gennady в сообщении #655756 писал(а):
Следовательно, $r$ иррациональное число и решение (34) для $y$ не является целым числом.
Не доказано, конечно. Сколько ни говори "халва", во рту слаще не станет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство теоремы Ферма для степени три
Сообщение08.12.2012, 21:51 
Заблокирован по собственному желанию
Аватара пользователя


18/05/09
3612
 ! 
gennady в сообщении #655782 писал(а):
Продолжение темы.
Всякое "продолжение темы" без ответа на заданный здесь вопрос бессмыссленно.
При непоявлении оного тема будет трактоваться как Пурга.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство теоремы Ферма для степени три
Сообщение09.12.2012, 12:01 


14/11/12
23
Ответ смотрите в теме:

уравнение $(1+y)^3-y^3=a^3$ не имеет решения в целых числах.

Продолжение темы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство теоремы Ферма для степени три
Сообщение10.12.2012, 16:01 


27/03/12
449
г. новосибирск
Уважаемый dennady1! Благодаря формулам Абеля равенства (5) и (6) справедливы только для 1-го случая ВТФ, для 3-й степени. А этот случай (для 3-й степени) многократно доказан на форуме.

-- 10.12.2012, 19:02 --

Уважаемый dennady1! Благодаря формулам Абеля равенства (5) и (6) справедливы только для 1-го случая ВТФ, для 3-й степени. А этот случай (для 3-й степени) многократно доказан на форуме.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство теоремы Ферма для степени три
Сообщение10.12.2012, 21:21 


14/11/12
23
Vasily!

1. Если не трудно, напишите для меня формулы Абеля, о которых Вы упоминаете.

2. Выражения (5) и (6), это следствия разложения:

$z^3-y^3=(z-y)(z^2+zy+y^2)=V \cdot U$,

$(y, z)$ - целые положительные числа, $z>y>0$,

$(V, U)$ - целочисленные множители, $U>V \geq 1$.

$x^3=A^3=V \cdot U$, $A$ - целое положительное число.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство теоремы Ферма для степени три
Сообщение11.12.2012, 14:14 


27/03/12
449
г. новосибирск
gehhady! Для второго случая ВТФ, когда X кратно 3, числа U и V не будут взаимно простыми, а будут иметь общий делитель равный 3.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство теоремы Ферма для степени три
Сообщение11.12.2012, 16:25 


14/11/12
23
Vasily!

1. Где формулы Абеля?

2. В (5) и (6), $(V, U)$ - целочисленные множители и они не должны быть взаимно простыми, хотя могут быть и взаимно простыми. Если $A$ - нечётное число, то $V_1=1$ и $U_1=A^3$ взаимно простые.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство теоремы Ферма для степени три
Сообщение11.12.2012, 16:54 


31/12/10
1555
М.М.Постников."Введение в теорию алгебраических чисел". стр 24
(там формулы Абеля)

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство теоремы Ферма для степени три
Сообщение11.12.2012, 20:40 


14/11/12
23
Спасибо!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.  [ Сообщений: 26 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group